О формулах расчета идеального веса, индексах массы тела и сопутствующие вопросы

О ФОРМУЛАХ РАСЧЕТА  ИДЕАЛЬНОГО ВЕСА, ИНДЕКСАХ МАССЫ ТЕЛА И СОПУТСТВУЮЩИЕ ВОПРОСЫ

 

В.В. Кромер, г. Новосибирск

 

В обороте находится  невероятное количество формул расчета  т.н. "идального" веса, предлагаются также и всевозможные индексы, и  в зависимсти от того, попадает ли рассчитанное значение индекса в предуготованный ему сставителем диапазон, принимается решение о степени соответствия истинного веса опять-таки идеальному.

Если ранее эти формулы  и индексы предъявлялись в  основном в печаном виде, и интересующимся предлагалось самостоятельно произвести вычисления, то теперь, в связи с развитием сетевых технологий, формулы "зашиваются" в красиво оформленные и выставленные в сеть "считалки" или "калькуляторы", и зачастую на одном сайте предоставляется возможность вычисления одного и того-же показателя по ряду в общем случае не совместимых и даже противоречивых формул.

В данной статье мы сделаем  попытку разобраться во всем этом разнообразии, и свести внешне непохожие, но построенные на одинаковом принципе формулы в одну более общую, а также предложить ряд вытекающих из тех-же принципов формул расчета идеального веса.

В основу любой формулы  для расчета идеального веса положены статистические данные. Обмеряется большая группа людей, они делятся по каким-то соображениям на типы, и для каждого типа устанавливается соотношение между ростом и весом. Если мы будем попросту усреднять соответствующие каждому значению роста значения веса, то полученные цифры окажутся завышенными, и рекомендовать их в качестве идеальных никак нельзя. Причина в том, что худоба отдельных представителей отобранной группы людей не компенсирует полноту других представителей (распределение весов не симметричное, а скошенное правостороннее), и средний вес окажется смещенным в сторону бóльших значений. Поэтому нормальным нужно считать вес, определенный с учетом жировых отложений. Предельно и емко упростил проблему Н.М. Амосов: "Толщина кожной складки – вот показатель, по которому нужно устанавливать свой вес".

Другая проблема –  нужно ли "давать скидку" на возраст. И вновь Амосов: "И ни в коем случае не прибавлять на возраст!" Для анализа формул идеального веса необходима таблица с соответствующей зависимостью. Таковых таблиц достаточно много, но мы исключим из рассмотрения те, где учитывается увеличение веса с возрастом (как, например, таблицы Егорова-Левитского) и те, где идеальные значения веса приводятся без указания допустимого разброса. Вот таблица, взятая нами за основу (по данным Metropolitan Life Insurance Co.). Приведены нижняя и верхняя границы нормального веса для мужчин с ростом от 160 до 185 см и женщин с ростом от 155 до 180 см, с принятым подразделением людей в соответствии с их телосложением на астеников, нормостеников и гиперстеников.

 

Идеальный вес мужчин в зависимости от роста и телосложения

Рост, см	Астеник		Нормостеник		Гиперстеник
160	52,2	55,8	54,9	60,3	58,5	65,3
165	54,9	58,5	57,6	63,0	61,2	68,9
170	57,9	62,0	60,7	66,6	64,3	72,9
175	61,5	65,6	64,2	70,6	68,3	76,9
180	65,1	69,6	67,8	74,5	71,9	80,9
185	68,6	73,2	71,4	79,0	75,9	85,4

 

Идеальный вес женщин в зависимости от роста и телосложения

Рост, см	Астеник		Нормостеник		Гиперстеник
155	44,9	48,6	47,2	52,6	50,8	58,1
160	47,6	51,2	49,9	55,3	53,5	60,8
165	50,3	53,9	52,6	58,9	56,7	64,4
170	53,4	57,5	56,1	62,9	60,2	67,9
175	57,0	61,0	59,7	66,5	63,8	71,5
180	60,5	65,1	63,3	70,1	67,3	75,9

 

Хорошим показателем  типа телосложения является окружность запястья, измеренная в самом узком месте. Вот таблица соответствия окружности запястья типу телосложения:

 

	Мужчины			Женщины
	Астеник	Нормостеник	Гиперстеник	Астеник	Нормостеник	Гиперстеник
Окружность запястья, см	< 18	18 – 20	> 20	< 15	15 – 17	> 17

 

Из таблицы следует, что границы диапазонов веса несколько перекрываются, т.е. верхняя граница веса астеника может быть выше нижней границы веса нормостеника и т.п.

Нанесем данные таблицы идеального веса мужчин на график (рисунок 1).

Рисунок 1. График идеального веса мужчин

 

Сделаем то же самое для  женщин (рисунок 2).

Рисунок 2. График идеального веса женщин

 

Всего на каждом из графиков 6 кривых, соответствующих двум границам идеального веса (верхней и нижней) и трем типам телосложения.

Экспериментальную зависимость можно аппроксимировать какой-либо теоретической кривой. Аппроксимация осуществляется по методу наименьших квадратов – подбирается кривая с такими параметрами, чтобы сумма квадратов отклонений точек теоретической кривой от точек экспериментальной кривой была наименьшей. Зрительно это условие будет восприниматься как приближение одной кривой к другой вплоть до почти полного слияния.

В качестве базы аппроксимирующих (приближающих) кривых воспользуемся набором аппроксимирующих функций, доступных в программе MS Excel. Наиболее простая из этих функций – линейная зависимость, т.е. между ростом и весом ищется наилучшая (в плане приближения) зависимость вида . На графике подобная зависимость отображается прямой линией. Вычислим значения a и b для приведенных на графиках 6 зависимостей, и сведем их параметры в таблицу.

Рисунок 3. Аппроксимация зависимостей идеального веса от роста прямыми линиями (для мужчин)

Рисунок 4. Аппроксимация зависимостей идеального веса от роста прямой линией (для женщин)

 

Параметры a и b аппроксимирующих линий сведены в таблицу.

 

		Астеники		Нормостеники		Гиперстеники
		Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя
Мужчины	a	0,6640	0,7080	0,6663	0,7543	0,7034	0,8020
	b	-54,507	-58,013	-52,168	-61,114	-54,658	-63,433
Женщины	a	0,6246	0,6600	0,6480	0,7149	0,6680	0,7120
	b	-52,332	-54,333	-53,740	-58,689	-53,173	-52,827

 

Видно, что значения a находятся между 0 и 1, ближе к единице, а значения b отрицательные. Возникает мысль сконструировать формулу "Вес равен росту минус некоторое число". В этой формуле значение a принимается равным единице. Такая формула известна и была предложена Броком. Это одна из самых известных формул идеального веса, согласно ей идеальный вес в килограммах равен росту в сантиметрах минус 100. Обычно при упоминании формулы Брока даже не указывают, рассчитана она на мужчин или на женщин. Нанесем на график рисунка 5 эту зависимость для мужчин. Видно, что в области больших ростов рекомендуемый вес завышен и соответствует лишь верхней границе веса гиперстеников. Возникает мысль отнимать не 100, а 105 или 110. Нанесем на график дополнительно эти две зависимости. Результат неудовлетворителен – если отнимать 110, в области малых ростов идет чрезмерное занижение веса. Более-менее удовлетворительно работает формула с вычитанием 105, но получаемая зависимость не параллельна статистическим зависимостям, пересекая их снизу вверх. Таким образом, оптимального вычитаемого значения попросту не существует. Причина заключается в том, что мы произвольно приняли наклон аппроксимирующей прямой , а он на самом деле меньше (в среднем 0,72 для мужчин и 0,67 для женщин).

Рисунок 5. Зависимости, соответствующие формуле Брока идеального веса мужчин

 

На рисунке 6 приведены  зависимости, соответствующие формуле  Брока идеального веса женщин. Из рисунка 6 следует, что применение формулы Брока для женщин требует поправок. На практике формула Брока модифицирована, и предлагается отнимать 100 при росте 155–165 см, 105 при росте 165–175 см, и 110 при росте 176 см и выше. Зависимость становится ступенчатой и приведена для мужчин на рисунке 7, и носит название формулы Брока-Бругша. Понятно, что для женщин пользоваться этой формулой в таком виде нельзя.

 

Рисунок 6. Зависимости, соответствующие формуле Брока идеального веса женщин

Рисунок 7. Зависимость, соответствующая формуле Брока-Бругша идеального веса мужчин

 

Попробуем преобразовать ступенчатую зависимость по формуле Брока-Бругша в опять-таки прямолинейную. Считаем, что 100 вычитается только при росте (точно) 160 см, 105 вычитается при росте 170 см, а 110 – при росте 180 см. Получаем зависимость . Выражение в скобках дает нам 100 при росте 160 и 110 при росте 180 с линейной зависимостью в промежутке. Выведенная нами формула упрощается путем раскрытия скобок, что дает (рост пополам минус 20). Эта формула – не что иное, как преобразованная и линеаризованная формула Брока-Бругша. Нанесем зависимость на рисунок 7. Формула имеет несомненные преимущества перед формулой Брока-Бругша – отсутствуют ступеньки на зависимости и не надо запоминать, сколько при каком росте вычитать. Однако из рисунка 7 следует, что наклон зависимости не вполне соответствует наклону кривых статистических зависимостей (пересекает их сверху вниз), поскольку средний наклон статистических зависимостей для мужчин определяется коэффициентом , а в последней формуле положено . Поскольку ближе к 0,72, чем , то и результаты лучше. Поскольку a примерно равно как для мужчин, так и для женщин, появляется возможность сконструировать формулу идеального веса с этим значением. Воспользуемся методом наименьших квадратов, положив , и определим для каждой из 6 статистических зависимостей значение b. Результат приведен в таблице.

 

		Астеники		Нормостеники		Гиперстеники
		Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя	Нижняя	Верхняя
Мужчины	b	55,0	50,9	52,2	46,0	48,3	39,9
		164,9	152,6	156,7	138,0	144,9	119,8
Женщины	b	59,4	55,5	56,9	50,6	53,0	45,2
		178,1	166,4	170,6	151,8	158,9	135,7

 

В той же таблице приведено утроенное значение b, поскольку конечная формула видится в виде . Значение c, как видно из таблицы, можно принять у мужчин за 160 для астеников, 145 для нормостеников и 130 для гиперстеников. Упрощенно формула звучит как "Два роста минус145, деленное на 3".

Для женщин значение c можно принять за 170 для астеников, 160 для нормостеников (откуда следует, что идеальный вес женщин согласно этим формулам на 5 кг меньше идеального веса мужчин того-же роста) и 145 для гиперстеников. И интересный вывод: если судить только по весу, то астеничные мужчины схожи с женщинами-нормостениками, а гиперстеничные женщины подобны мужчинам-нормостеникам.

Формул подобного типа известно очень много. Вот формулы К. Купера (после преобразования английских мер в метрические) для мужчин: и для женщин . Вот формула Габса для мужчин: .

И, наконец, формула из балльной системы  контроля функциональных возможностей сердечно-сосудистой системы и физической подготовленности КОНТРЭКС-2: для мужчин и для женщин. В этих формулах, в отличие от предыдущих, учитывается "разрешенная" прибавка в 250 грамм для мужчин и 200 грамм для женщин за каждый год прожитой сверх 21 года жизни. Скорей всего, в системе КОНТРЭКС эта прибавка введена для поощрения (в баллах) людей, этой разрешенной прибавкой не воспользовавшихся. После исключения из вышеприведенной формулы возраста и преобразования к каноническому виду получаем для мужчин и для женщин. Для сравнения на графиках рисунка 8 нанесены зависимости в соответствии с формулами Купера, Габса и КОНТРЭКС, а также по выведенной формуле для мужчин.