Законы распределения непрерывной случайной величины

Найдем вероятность попадания  СВ в интервал (a,b):

3.3. Функция надежности.

Пусть некоторое устройство начинает работать в момент времени t₀ = 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т НСВ - длительность времени безотказной работы устройства. Если устройство проработало безотказно время меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Тогда функция распределения F(t)=P(T<t)=1- e^-mt определяет вероятность отказа устройства за время t.

Найдем вероятность противоположного события- безотказной работы за время  t:

.

Функция R(t) называется функцией надежности.

Выясним смысл числовых характеристик  и параметра распределения.

Математическое ожидание - это среднее  время между двумя ближайшими отказами устройства, а величина обратная математическому ожиданию (параметр распределения)- интенсивность отказов, т.е. количество отказов в единицу времени.  

Пример. Время безотказной работы устройства распределено по закону

Найти среднее время безотказной  работы устройства, вероятность того, что устройство не откажет за среднее  время безотказной работы. Найти  вероятность отказа за время t= 100 часов.

Решение:

По условию интенсивность отказов m =0,02. Тогда среднее время между двумя отказами, т.е. математическое ожидание М(Х)=1/0,02=50часов. Вероятность безотказной работы за этот промежуток времени вычислим по функции надежности:

По функции F(t) вычислим вероятность отказа за время t =100 часов:

Контрольные вопросы.

1.      Сформулировать равномерный закон распределения. Записать дифференциальную и интегральную функции.

2.      Записать формулы для вычисления числовых характеристик равномерно распределенной случайной величины.

3.      Сформулировать нормальный закон распределения. Записать дифференциальную и интегральную функции.

4.      Описать свойства дифференциальной функции нормально распределенной случайной величины. Пояснить геометрический смысл параметров нормального распределения.

5.      При каких значениях параметров функция плотности нормального распределения называется плотностью стандартной нормальной случайной величины?

6.      Записать формулу для вычисления вероятности отклонения нормально распределенной СВ от математического ожидания.

7.      Сформулировать правило трех сигм и пояснить его суть.

8.      Сформулировать показательный закон распределения. Записать дифференциальную и интегральную функции.

9.      Каков смысл параметра показательного распределения, если в качестве СВ рассматривать время безотказной работы устройства? Какими выражениями параметр распределения связан с числовыми характеристиками?

10.  Вероятность какого события определяет функция надежности?