Закон больших чисил

 

Требуется найти  вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

 

Крайние значения интервала отклоняются от математического  ожидания на одну и ту же величину, а  именно – на 500. Тогда можно записать с учетом неравенства Чебышева:

Отсюда получаем:

Т.е. искомая вероятность  будет не меньше, чем 0,99.

 

Пример. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 3. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,3.

 

Требуется найти  вероятность

Неравенство Чебышева в случае суммы случайных величин  имеет вид:

 

 

 

Если среднее  квадратическое отклонение не превосходит 3, то, очевидно, дисперсия не превосходит 9. Величина e по условию задачи равна 0,3.

Тогда . Отсюда получаем при n=2500:

 

Пример. Выборочным путем требуется определить среднюю длину изготавливаемых деталей. Сколько нужно исследовать деталей, чтобы с вероятностью, большей чем 0,9, можно было утверждать, что средняя длина отобранных изделий будет отличаться от  математического ожидания этого среднего (средняя длина деталей всей партии) не более, чем на 0,001 см.? Установлено, что среднее квадратическое отклонение длины детали не превышает 0,04 см.

По условию  если среднее квадратическое отклонение не превышает 0,04, то дисперсия, очевидно, не превышает (0,04)². Также по условию задано, что

Если преобразовать  соотношение, стоящее в скобках  и после этого применить неравенство  Чебышева, получаем:

 

 

 

Т.е. для достижения требуемой  вероятности необходимо отобрать более 16000 деталей.

Описанный подход, как видно, позволяет решить множество  чисто практических задач.

 

Пример. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной, при каждой проверке одна и та же и равна 0,2. Определить вероятность того, что среди 50 наугад выбранных деталей бракованных окажется не менее 6.

 

Для того, чтобы  воспользоваться теоремой Муавра - Лапласа найдем математическое ожидание и дисперсию количества бракованных деталей в 50 – ти отобранных:

 

Фактически  в задаче требуется определить вероятность  того, что бракованных деталей  будет не менее шести, но и, очевидно, не более 50- ти.

 

Значения функции Лапласа находятся по таблице. Конечно, значения функции Лапласа Ф(10) в таблице нет, но т.к. в таблицах указано, что Ф(3)=1,0000, то все значения от величин, превышающих 3 также равны 1. Дополнительно см. Функция Лапласа.

 

Пример. Известно, что 60% всего числа изготавливаемых заводом изделий являются изделиями первого сорта. Приемщик берет первые попавшиеся 200 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них окажется из от 120 до 150 изделий первого сорта?

Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна, очевидно, 0,6.

Математическое  ожидание числа изделий первого  сорта равно:

 

По теореме Муавра - Лапласа  получаем:

Пример. Проверкой установлено, что 96% изделий служат не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 15000 изделий. Найти вероятность того, что со сроком службы менее гарантируемого будет от 570 до 630 изделий.

Вероятность того, что срок службы изделия будет  менее гарантированного равна:

1 – 0,96 = 0,04

Математическое  ожидание числа таких изделий  равно 

По теореме  Муавра - Лапласа получаем:

 

 

6.3 Вероятность редких событий.

Применение формулы  Бернулли сопряжено с расчетами  трех факториалов, что при достаточно больших значениях n, k, n-q,  осложняет задачу. Поэтому статистики математики разработали ряд примерных методов, заменяющих формулу Бернулли при решении некоторых частных и общих задач.

Пример: Определение вероятности  появления редких событий , k-раз, в n независимых  испытаниях. Причем подразумевается нефиксированное, а бесконечно большое количество испытаний. Такая вероятность определяется по формуле Пуассона (альтернативные независимые события)

 

где k – число появления событий в n независимых испытаниях,

- математическое ожидание (среднее число появлений события в n испытаний)

Формула Пуассона выводится  из формулы Бернулли и после ряда преобразований выглядит следующим образом, где k – количество раз, которое произойдет редкое событие.

Эта формула применяется  в прикладных разработках, в теории массового обслуживания (теории очередей), которая используется для расчета  оптимального числа точек обслуживания, числа бензоколонок, числа рабочих  мест операционистов в банке (такое число, чтобы не было очередей).

Кроме того, формула Пуассона применяется в ситуациях, когда  не требуется высокая точность расчетов, а вероятность события p не велика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

 

      Таким образом, рассмотрев теорию вероятности, ее историю и положения и возможности, можно утверждать, что возникновение данной теории не было случайным явлением в науке, а было вызвано необходимостью дальнейшего развития технологии и кибернетики, поскольку существующее программное управление не может помочь человеку в создании таких кибернетических машин, которые, подобно человеку,  будут мыслить самостоятельно.     

И именно теория вероятности  может способствовать появлению  искусственного разума.     

«Процессы управления , где бы они ни протекали – живых организмах, машинах или обществе,- происходят по одним и тем же законам», - провозгласила кибернетика. А значит, и те, пусть еще не познанные до конца, процессы, что протекают в голове человека и позволяют ему гибко приспосабливаться к изменяющейся обстановке, можно воспроизвести искусственно в сложных автоматических устройствах.      

Где же пределы, которых могут  достичь кибернетические машины?  

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованных источников и литературы

1.     Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука,1965г.  
2.     Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984г.  
3.     Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2001г.  
4.     Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.2, 1984г.

5. Г.И. Мишкевич «Доктор занимательных наук»

6. Е.П. Бударина    «Теория вероятности и математическая статистика»

8.И.В. Волков    « Высшая математика»

9. Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., «Элементарное введение в теорию вероятностей»