Задачи в обучении математике

Для выработки правильного понимания школьниками поставленной задачи можно рекомендовать соблюдение следующих требований:

1. начинайте изучение условия задачи с аккуратно выполненных схем. Помните, что правильное графическое представление условия задачи означают по существу четкое, ясное и конкретное представление о всей задачной ситуации в целом;

2. представьте ясно и детально все основное, связанное с данной задачей. Обстоятельно выясните, что дано, что надо найти; выделите при этом главное в тексте условия задачи и сконцентрируйте на нем своё внимание. Выделите на чертеже данные и искомые величины различными яркими цветами;

3. проверьте тщательно каждое выдвигаемое в процессе решения задачи положение контрольными вопросами вида: что это означает, какие имеются основание для данного утверждения, какую пользу можно извлечь из данного факта?

1. проверьте, однозначно ли сформулирована задача. Нет ли в условии задачи избыточных или недостающих данных?

Говоря о первой из этих требований, отметим, что оно особенно важно при решении геометрических задач, где наглядный и четкий чертеж позволяет иной раз с первого же взгляда обнаружить возможные пути решения.

Немаловажную роль в успешном решении задач играет целенаправленность поиска решения, т.е. сознательное ограничение числа проб и ошибок, характерных для начальной его стадии.

Иногда учащийся не в состоянии самостоятельно проанализировать задачу и решить ее без помощи учителя. Однако в этом случае не следует сообщать ему готовое решение, а тем более заставлять школьника заучить данный в готовом виде способ действия.

При создании оптимальных условий, которые бы активизировали мыслительную деятельность учащихся при решении задач, весьма часто применяется особый дидактический прием, называемый системой подсказок. Система подсказок, состоящая из вспомогательных задач, вопросов и т.д., не подменяя мышление школьника, придает ему нужное направление, т.е. делает поиск решения целенаправленным.

Полезность упорядочения поисковой деятельности в процессе решения задач школьникам следует продемонстрировать на эффективно подобранной задаче и ее решении.

Например, представьте себе, говорит учитель, что ваш друг задумал некоторое натуральное число в промежутке от 1 до 1024. Чтобы угадать задуманное число, вы будете отвечать на вопросы “да” и “нет”. Может показаться невероятным, но достаточно всего лишь десяти вопросов, чтобы наверняка отгадать любое такое число.

Пусть задуманное число 1.

Спрашиваем:

1. Задуманное больше 512 (половину промежутка 1024)? – Нет.

2. Оно больше 256? – Нет.

3. Оно больше 128 (половину того промежутка, в каком оно может быть)? – Нет.

4. Оно больше 64? – Нет.

5. Оно больше 32? – Нет.

6. Оно больше 16? – Нет.

7. Оно больше 8? – Нет.

8. Оно больше 4? – Нет.

9. Оно больше 2? – Нет.

10. Это число 1? – Да.

Итак, постепенно уменьшая область поисков, мы решили задачу. Попробуйте сами решить эту задачу в предположении, что ваш друг задумал число 720; пусть ваш сосед по парте задумает число – угадайте его!

Решение задач требует наличие у школьников так называемых комбинационных способностей, под которыми понимают умение сделать подходящий выбор в условиях избытка активных и пассивных знаний. Понятно, что поиск и отбор полезной для решения данной задачи информации также должен быть целенаправленным. Нередко этот выбор может быть легко осуществлен при обращении к подходящей аналогии.

Отыскание подходящих аналогий активизируется вопросами: “Где мы раньше встречали что – либо подобное, видели что – либо родственное, встречали одинаковые характерные свойства?”

Для простоты отыскания аналогии полезно применять сравнительные чертежи, вспомогательные формулировки.

Применяя аналогию при решении задач, часто бывает полезным изменять формулировку задачи.

Например, пусть в условии некоторой задачи говорится о том, что треугольники АВС делится прямой MN, параллельной основанию на две части (Треугольник и трапецию), площади которых относятся как 2:3.

Еще не начиная решения этой задачи, школьники вспомнят известную им аналогичную по содержанию теорему об отношении площадей подобных треугольников. Но наличие в условии отношения площадей треугольника и трапеции может затормозить стремление использовать эту теорему при решении задачи.

Для этого достаточно сказать, что треугольник АВС делится прямой MN на два треугольника, отношение площадей которых легко установить.

Наконец, аналогия может оказаться полезной на начальном этапе решения задачи. Если уже на этом этапе удается сравнить данную задачу с задачами, решенными ранее, то сходство условий, требований, способа решения и т.д., часто сразу “наталкивает” учащихся на плодотворные идеи при планировании решения.

Очевидно, что решение многих математических задач сводится к решению некоторых частных задач, а последние, в свою очередь, расчленяются на простые задачи, решение которых или постулируется (например, в задачах на построение), или же находится из определений и аксиом.

Учителю необходимо научить ребят видеть составные задачи в ходе решения основной, научить составлять их, так как только благодаря такой работе возможен успешный поиск решения задач.

До недавнего времени в школьном обучении математике мало уделялось внимания такому важному виду математической деятельности учащихся, каким является самостоятельное составление тех или иных математических задач. Умение школьников составлять свои задачи по заранее известным условиям, по аналогии с данной задачей и т.д. является весьма ценным.

Например, дано уравнение: 8х – 3 = 5х +6. Составить задачу, решение которой приводит к решению этого уравнения.

Показ учителем способа составления некоторой задачи превращает аналогичное задание не только в доступное для всех, но даже – в стандартное. Помощь учителя должна быть и в этом случае дидактически разумной.

Рассмотрим пример того, как решение готового уравнения сопровождается самостоятельным составлением аналогичных уравнений:

Такая форма “параллельных” записей облегчает учебную деятельность школьников по составлению задач.

Значительно оживляют уроки математики и дидактические весьма полезны различные занимательные задачи, нешаблонные вопросы и “задачи на смекалку”.

Задачи – шутки и вопросы на сообразительность (для устного решения).

1. На дереве сидело 10 птиц. Охотник выстрелил и подстрелил одну птицу. Сколько птиц осталось на дереве?

2. Как из трех спичек, не ломая их, образовать четыре?

В такого рода задачах необходимо увидеть и преодолеть психологический барьер.

Задачи типа “Внимателен ли ты?” Такие вопросы и задачи развивают внимание и наблюдательность школьников.

1. Сколько углов на чертеже?

2. Сколько кубиков на чертеже?

Очень интересными, своеобразными задачами являются так называемые дудлы, которые обычно вызывают у ребят большое желание самим придумывать и задавать их друг другу.

Что это такое?

Возможны ответы: на рисунке а – проходящий вдоль забора солдат с собакой; на рисунке б – человек в сомбреро, едущий на велосипеде, т.д.

Полезными и нужными являются задачи на отыскание всевозможных закономерностей. Такие задачи формируют навыки математического мышления: умение анализировать, обобщать, находить закономерности.

Какое слово надо выкинуть как “из ряда вон выходящее”: кортик, падеж, стакан, книга, паркет?

Учителю полезно использовать подобного рода задачи не только на внеклассных занятиях по математике, но и на обычных уроках.

Чем же должен руководствоваться учитель при подборе учебных задач?

Рассмотрим памятку для анализа педагогической ценности задачи:

1. Какую учебную цель преследует данная задача?

2. Какие элементы математического образования имеются в виду?

3. Необходима ли именно эта задача?

4. Почему такие, а не другие.

5. Почему выбрана такая фабула задачи?

6. Почему взяты такие, а не другие числовые данные?

7. Отвечают ли числовые данные реальной обстановке, в которой могла бы возникнуть аналогичная задача?

8. Интересна ли задача для учащихся, увлекательна, естественная ли постановка вопроса, вызывает ли она у учащихся интерес к ответу или способу решения, чем именно?

9. Сможет ли учащийся самостоятельно решить данную задачу? Что он для этого должен знать, уметь, помнить, представлять себе? Если учащийся не сможет этого сделать, о чем будет свидетельствовать этот факт?

10. Чем и в какой мере ему может и должен помочь учитель?

11. Как эта задача связана с предшествующий и последующей учебной работой учащегося? И т.д.

Давая такую оценку каждой учебной задаче, учитель сумеет при минимальной затрате учебного времени добиться хороших результатов как в обучении, так и в развитии математического мышления школьников.

Но учиться не только должен сам уметь оценивать задачу, выявляя все ее полезные учебные качества, он должен научиться этому и учащихся.

Даже очень хорошие учащиеся, получив ответ на вопрос задачи и тщательно изложив ход ее решения, закрывают тетрадь, пологая работу законченной. Учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца. Этот взгляд он должен прививать и своим ученикам. всегда остается что – нибудь, над чем можно и нужно поразмышлять; всегда можно усовершенствовать любое решение, глубже его осмыслить, выявить полезную и новую для учащихся информацию. Поэтому после решения каждой задачи следует еще раз оглянуться назад, обратить внимание на метод, который был использован, попытаться найти другие пути решения, выявить то, что необходимо помнить.

Решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач, так как при оценке способов решения задачи активно работают такие умственные операции, как анализ, сравнения, обобщения и другие. А это, несомненно, оказывает свое положительное влияние на развитие математического мышления школьников.

Прежде чем говорить о том, какие математические задачи следует рассматривать в школьном курсе математики и как обучать школьников решению задач, нужно уточнить, что следует понимать под термином “задача”.

Например, уравнение 11423*х = 616842 представляет проблемную ситуацию для любого человека. Но проблемную ситуацию является понятием относительным. Например, ситуация, выраженная уравнением х+9=10, является проблемной для начинающего школьника и не является таковой для учащихся старших классов.

Числовое равенство 123+2*х=197 становится задачей, если оно сопровождается целевым заданием “решить уравнение”.

Решить задачу – значит преобразовать данную проблемную ситуацию или установить, что такое преобразование в данных условиях (или в данной среде) невозможно.

Естественно определить процесс решения задачи как целенаправленную мыслительную или практическую деятельность человека, осуществляющего решение задачи. 

Глава II. Анализ процесса решения задачи .

2.1. Характеристика основных этапов решения задачи.

Процесс решения учебной задачи можно разделить на 4 основные этапы: осмысление условия задачи (анализ условия), поиск и составление плана решения, осуществление плана решения, изучение (исследование) найденного решения.

Осмысление условия задачи (1 этап).

1). Умение анализировать требование задачи.

Под анализом требования задачи понимается выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи. Одним из важнейших компонентов умения анализировать требование задачи является умение преобразовывать требование задачи в ему равносильное.