Задачи по "Высшей математике"

Условия задачи

Решить систему линейных уравнений:

методом Крамера,

методом Гаусса,

 

x + y + z = 6,

- x + y - z = 0,

x + 2y - 3z=1.

 

матричным методом.

Решение

Методом Крамера:

1. Первое условие – матрица квадратная

 

1   1    1

-1   1   -1

1   2   -3

3. Второе условие  .

 

1   1    1

-1   1   -1

1   2   -3

= = - 3 – 1 – 1 – 1 – 3 + 2 = - 8

 

6   1    1

0   1   -1

1   2   -3

 

Вывод: СЛУ можно решить методом Крамера.

 

= - 18 – 1 – 1 + 12 = - 8

 

1   6    1

-1   0   -1

1   1   -3

= 0 – 6 – 1 – 18 + 1 = - 24

1   1    6

-1   1    0

1   2    1

= 1 – 12 – 6 + 1 = - 16

;  ;  ;

 

1 + 3 + 2 = 6,

- 1 + 3 - 2 = 0,

1 + 6 – 6 = 1.

;  ;  ;

 

Проверка:

Ответ: x = 1; y = 3; z = 2.

 

Метод Гаусса.

x + y + z = 6,

- x + y - z = 0,

x + 2y - 3z=1.

1   1    1 6

-1   1   -1 0

1   2   -3 1

 

(- 1)

x + y + z = 6,

- x + y - z = 0,

x + 2y - 3z=1.

 

 

 

Матрица треугольная. Следовательно, существует единственное решение.

 

1 + 3 + 2 = 6,

- 1 + 3 - 2 = 0,

1 + 6 – 6 = 1.

z = 2

y = - 5 + 8

y = 3

x + 3 + 2 = 6

x = 1

Ответ: x = 1; y = 3; z = 2.

 

Матричный метод.

4. Первое условие - матрица квадратная;
5. Второе условие .

         -1    5  -2

A^*=  -4   -4    0

         -3   -1   2

Вывод: решение есть и  оно единственное.

 

 

        6

B=   0

        1

          x

X =    y

          z

               1 2 _  1  2      1  1

    -1 -3     1 -3     1 -1

 

A^* = _   -1  1     1  1  _  1 -1

              -1 -3     1 -3     1 -1

 

    -1  1 _  1  1       1 -1

     1  2     1  2       1  1

          1   -1   1

A^т =   1    1    2

          1   -1  -3

          1   1   1

A =   -1   1  -1

          1   2  -3

 

Проверка:

 

               -1    5  -2

A^-1=   -4   -4   0

               -3   -1   2

               -1    5  -2       1   1   1     -1-4-3   5-4-1  -2+2

E =   -4   -4   0      -1   1  -1    =    1-4+3  -5-4+1  2-2    =

               -3   -1   2      1    2  -3      -1-8+9  5-8+3  -2-6

     x                  -1    5  -2       6     - 8  1

     y       =   -4   -4   0       0     =   - 24    =     3

     z                  -3   -1   2       1      -16  2

          -8    0   0      1   0   0

=    0   -8   0     =    0   1   0

           0    0  -8      0   0   1

 

Ответ: x = 1, y = 3, z = 2.

 

Задача  №2

 

Условия задачи

В ящике 18 одинаковых бутылок  пива без этикеток. Известно, что  треть из них "Жигулевское". Случайным  образом выбирают 3 бутылки. Вычислите  вероятность того, что среди них: а) только пиво сорта "Жигулевское"; б) ровно одна бутылка этого сорта.

Решение задачи

Вариант 1

m - число благоприятствующих  исходов;

n - общее число всех возможных исходов;

 

;

;

;

 

Ответ: вероятность того, что среди выбранных бутылок  будут только бутылки пива сорта "Жигулевское", равна 0,025.

Вариант 2

 

1. ;
2. ;

 

Ответ: вероятность того, что среди выбранных бутылок  будет одна бутылка пива сорта "Жигулевское", равна 0,485.

 

Задача №6

1. Используется локальная т-ма Муавра-Лапласа  
   Р(150,300)=(1/8,66)*φ((150-153)/8,66)≈  
   (1/8,66)*φ(-0,35)=0,3752/8,66=0,04333  
   аналогичный здесь: http://otvet.mail.ru/question/53218538/  
   2) Используется интегральная т-ма Муавра-Лапласа:  
   Р(150 < X < 200))=Ф((200-153)/8,7)-Ф((150-153)/8,7)  
   ≈Ф(5,43)-Ф(-0,35)=0,5+0,136=0,636  
   Аналогичный пример здесь: http://otvet.mail.ru/question/51290068/

p = 0.51 
q = 0.49 
n = 300 
 
а) Локальная теорема Лапласа 
 
m = 150 
 
б) Интегральная теорема Лапласа 
 
m1 = 150 
m2 = 200 . В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A1, B1, C1, D1. Найдите: 
а) длину ребра A1B1; 
б) косинус угла между векторами ; 
в) уравнение ребра A1B1; 
г) уравнение грани A1B1C1; 
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань A1B1C1; 
е) координаты векторов , и докажите, что они образуют линейно независимую систему; 
ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер A1D1 и B1C1 соответственно; 
з) разложение вектора по базису , 
если A1(3, 0, 1), B1(1, 3, 0), C1(4, -1, 2), D1(-4, 3, 5).

1.  
   а) Найдем координаты вектора А1В1. 
   ____ 
   А1В1 = {1 - 3; 3 - 0; 0 - 1} = {-2; 3; -1} 
    
   ____ 
   А1В1 = корень квадратный из ( (-2)'' + 3'' + (-1)'') = корень квадратный из 14. 
   ('' - 2) 
   Длина ребра А1В1 равна - квадратный корень из 14. 
    
   б) А между какими векторами то?  
    
   в) Координаты точки А1(3,0,1) обозначим как Хо = 3, Уо = 0, Zо = 1, а координаты точки В1(1,3,0) так - Х1 = 1, У1=3, Z1=0. И воспользуемся уравнением прямой в пространстве: 
   (Х-Хо)/(Х1-Хо)=(У-Уо)/(У1-Уо)=(Z-Zo)/Z1-Zo) 
   Следовательно, уравнение ребра А1В1 имеет вид: (Х-3)/(1-3)=(У-0)/(3-0)=(Z-1)/(0-1) 
   (Х-3)/-1=У/3=(Z-1)/-1 
    
   г) Координаты векторов А1В1{-2,3,-1} и А1С1{1,-1,1} обозначим соответственно Х1=-2, У1=3, Z1=-1 и X2=1, Y2=3, Z2=1. 
   Векторное произведение данных векторов: 
   ____ ____ 
   А1В1*А1С1={Y1*Z2-Y2*Z1; Z1*X2-Z2*X1; X1*Y2-X2*Y1}={3*1-3*(-1); -1*1-1*(-2); -2*3-1*3}={6; 1; -9} 
   Т.к. данный вектор перпендикулярен грани А1В1С1, то воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку (Хо, Уо, Zо) перпендикулярно вектору {А,В,С}:  
   А*(Х-Хо)+В*(У-Уо)+C*(Z-Zо)=0 
   Подставим координаты точки А1(Хо=3,Уо=0,Zо=1) и координаты перпендикулярного вектора А=6,В=1,С=-9 в это уравнение. Получаем уравнение грани А1В1С1. 
   6*(Х-3)+1*(У-0)+(-9)*(Z-1)=0 
   6Х-18+У-0-9Z+9=0 
   6X+Y-9Z-9=0 
    
   д) Вектор {А,В,С} является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1В1С1. Воспользуемся уранвением прямой в пространстве, проходящей через точку (х*,у*,z*) с заданным направляющим вектором: 
   (х-х*)/А=(у-у*)/В=(z-z*)/С, где х*, у*, z* - координаты точки D1. 
   (Х+4)/6=(У-3)/1=(Z-5)/-9 
   (Х+4)/6=(У-3)=(Z-5)/-9 
    
   е) Координаты каких векторов? 
   ж) Найдем сначала координаты точек M и N. 
   M=((Ха1+Хd1)/2; (Ya1+Yd1)/2; (Za1+Zd1)/2) = ((3-4)/2; (0+3)/2; (1+5)/2) = (-0,5; 1,5; 3) 
   N=((Хb1+Хc1)/2; (Yb1+Yc1)/2; (Zb1+Zc1)/2) = ((1+4)/2; (3-1)/2; (0+2)/2) = (2,5; 1; 1) 
   ___ 
   MN = {2+0; 1-1,5; 1-3} = {2; -0,5; -2} 
    
   з) Какого вектора и по какому базису?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

Пример 1. Сравнить для изотопа водорода ₁Н² силы гравитационного и кулоновского взаимодействия электрона и ядра изотопа.

Решение:

ДАНО:

q₁ = e^- = -1.6 ·10^-19Кл

q₂ =½e^-½ = 1.6 ·10^-19Кл

m₁ = 9.1·10^-31 кг

m₂ = 3.3425 ·10^-27кг

1/4pe₀ =9 ·10⁹ Н м²/Кл²

G = 6.67·10^-11 Н м²/кг²

Определить: F₁/F₂

Решение:

Сила электростатического  взаимодействия электрона и протона F₁ , находящегося в ядре изотопа водорода определяется законом Кулона:

                                     F₁ = q₁q₂/4pe₀ r² = e²/ 4pe₀ r²

Сила гравитационного  взаимодействия электрона и ядра F₂ определяется законом всемирного тяготения:

                                     F₂ = G m₁m₂/r²

Сравнивая две  силы, возьмем отношение этих сил:

F₁/F₂ = q₁q₂/4pe₀ r² : G m₁m₂/r² = q₁q₂ /4pe₀ × G m₁m₂ =

=(1.6 ·10^-19)² 9×10⁹/(6.67 10^-11×9.1×10 ^-31×3.3425×10^-27)=

=2.56 ×9 /6.67×9.1×3.3425×10^{-38+9+11+31+27}

=0.11356×10³⁹»1.14×10³⁸ .

Ответ: F₁/F₂ =1.14×10³⁸ .

 

Пример 2.Оценить возможный радиус черной дыры для звезды, масса которой больше солнечной массы в 10 раз.

Решение:

ДАНО:

М = 10M₀ = 10×2×10³⁰кг=2×10³¹кг.

G =6.67×10¹¹Нм²/кг².

с = 3·10⁸ м/с.

Определить: R_ч.д

Решение:

Радиус черной дыры  (без учета эффектов общей  теории относительности) находится  из условия равенства второй космической  скорости и скорости света.

 Вторая космическая скорость - это скорость, с которой тело  может уйти за пределы поля  тяготения. Она находится из  условия закона сохранения энергии  в точке, удаленной от центра  тяготения на расстояние R, и на  бесконечном расстоянии: 

                                     Е_{пот R} + E_{кин R} = Е_{пот ¥} + Е_{кин ¥}                                                        

                                     mV²/2 - GmM/R = 0 + 0                                                                 

           ________

V_II = Ö 2GM/R          - вторая космическая скорость

Приравнивая вторую космическую скорость  к  скорости света, получаем:

         _______

с =  Ö 2GM/R                                                                                 

Откуда R = 2GM/c²                                                                         

R = 2×6.67×10^-11×2×10³¹/(3×10⁸)² =(2×6.67×2/9) ×10^-11+31-16=2.9644×10⁴м »29.6 ×10³м »30 км.

Ответ: R_{ч д} » 30 км.

 

Пример 3. Определить расстояние в световых годах до галактики по ее красному  смещению Dl =10 нм линии l = 486 нм.

Решение:

Н =75 км×с^-1/Мпк.

Dl =10 нм.

l = 486 нм.

Определить: R.

При удалении галактики со скоростью V согласно эффекту  Доплера для смещения Dl в красную сторону (в сторону удлинения длины волны)  линии   излучения l  справедливо соотношение (при небольшом удалении):

                                         Dl/l = V/c ,

где c - скорость света.

Отсюда скорость удаления галактики равна:

                                          V = c ×Dl/l .

Вычислим  скорость, чтобы узнать скорость удаления:

V = 3×10⁸×10/486 =0.062×10⁸ м/с =62×10⁵ м/c =6200 км/с.

По закону Хаббла скорость удаления пропорциональна  расстоянию до галактики:

                                           V = H ·R.

Примем постоянную Хаббла Н = 75 км×с^-1/Мпк.

Расстояние  до галактики будет:

R = V/H = 6200/75 = 82.7 Мпк.

Учтем, что 1 парсек = 3.26 световых года, а 1 Мпк =10⁶ пк. Тогда

R =269×10⁶ cв. лет.

Ответ: галактика удалена на 269 млн. световых лет.

 

 

Пример 4.

В результате соударения a- частицы с ядром атома бора  ₅В¹⁰ образовались два новых ядра. Одним из этих ядер стало ядро атома водорода ₁Н¹.                                                                                                                                                                                                  

Определите порядковый номер и массовое число второго  ядра. Дать символическую запись ядерной  реакции и определить ее энергетический эффект.

        Решение:

 Обозначим неизвестное ядро  символом _ZX^A. Так как a- частица представляет

 собой ядро гелия ⁴He₂, запись реакции имеет вид

                                            

                                                                      ₂He⁴ + ₅B¹⁰ ® ₁H¹ + _ZX^A

Применив  закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4+10=1+А, откуда А=13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2+5=1+Z, откуда Z=6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода ₆С¹³. Окончательно записываем реакцию: