Задачи на составление уравнений

Задачи на составление уравнений.

 Выполнила Поморова Ольга, ЗНОг-107

 

Задачи на движение.

1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 94км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист. Скорость пешехода на 16 км/ч меньше скорости велосипедиста. Найти скорость каждого, если известно, что встретились они через 4ч и пешеход сделал в пути получасовую остановку.

Решение:

Пусть скорость пешехода равна х км/час, тогда скорость велосипедиста (х+16) км/ч. Отправляются навстречу друг другу одновременно. Встречаются через 4 часа. Пешеход делал в пути получасовую остановку. Значит шел до встречи 4-0,5=3,5 часа, велосипедист до встречи ехал 4 час.

Итак, путь пешехода 3,5х км, а путь велосипедиста 4(х+16) км. Сумма по условию 94. Составляем уравнение:

4(x+16)+3,5x=94;

4x+64+3,5x=94;

7,5x=30;

x=30:7,5;

x=300:75

x=4.

Скорость пешехода 4км/ч, велосипедиста 16+4=20км/час

Ответ: 4км/ч; 20км/ч.

2. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 минут после выхода у лодки испортился мотор, и лодку течением реки через 3 часа принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?

Решение:

Пусть x км/ч скорость течения реки. Моторная лодка против течения реки шла со скоростью (10-x) км/ч. В пути была 45 минут.

 часа.

Путь против течения равен   Далее лодка с испорченным двигателем плыла по течению со скорость x км/ч 3 часа обратно к пристани. Весь этот путь равен 3∙x км. Но расстояния туда и обратно равны:

 

Ответ: 2 км/ч.

Задачи  на работу и производительность труда.

1. Два крана наполняют чан водой. Один кран заполняет чан на 22 мин дольше другого. Если они работают вместе, то чан наполнится водой за 1 час. Сколько времени потребуется работать каждому крану, чтобы наполнить чан?

Решение.

1. Пусть кран  А наполняет чан за х мин,  а кран В наполняет чан за у мин, тогда производительность каждого крана будет соответственно  и  (примем объем в чане за 1).

2. Из условия  следует, что первый кран наполняет  чан на 22 мин дольше. Отсюда х–у=22.

3. Так как  два крана при одновременной  работе наполняют чан за 1 ч  = 60 мин, то = 60 мин, .

4. Составим  систему и решим ее:    

 

Ответ: 132 мин; 110 мин.

2. Заказ по выпуску машин завод должен выполнить за 20 дней, но уже за 18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал на 3 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод?

Пусть х машин выпустил завод.

	А (шт.)	N (шт. в день)	t (дни)
По плану	x-6		20
Фактически	х	(на 3 шт больше, чем по плану)	18

Тогда

 

           х+54=3·180; х+54=540; х=540-54; х=486

Ответ: 486 штук.

Задачи на проценты.

1. При выполнении работы по математике 12% учеников совсем не решили задачу, 32% решили с ошибками, остальные 14 человек решили верно. Сколько учащихся в классе.

Решение.

Пусть в классе х учеников. 14 человек составляет 100% - (12% + 32%) = 56%.

Вычислить х: .

Ответ: 25 уч.

 

2. Девочка сначала прочитала 45 страница, а потом еще несколько страниц, что составило 60% от прочитанного в первый раз. Сколько страниц в книге, если прочитано     книги?

Решение.

Не все задачи обязательно решать, составляя уравнение. Во второй раз девочка прочитала 60% от 45 страниц. Это 0,6 ∙ 45 = 27(стр.) За оба раза девочка прочитала 45+27=72(стр.) По условию это  книги.

Значит нужно найти число, по его части 

Ответ: 84 страницы.

Задачи с  целочисленными неизвестными.

1. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 рублей. Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, и каждому пришлось внести на 1 рубль больше. Сколько студентов участвовало в покупке?

Решение: Пусть x рублей – стоимость магнитофона, y – первоначальное число студентов.
Тогда каждому студенту пришлось затратить рубля, а предполагалось     рублей, что на 1 рубль меньше.
Откуда следует уравнение

Выразим из этого  уравнения y через x,решив для этого его как квадратное уравнение,

 

Второе соотношение  по смыслу не удовлетворяет условию  задачи, т.к. число студентов –  натуральное число.

С другой стороны, т.к.   , то для y имеем соотношение .
В этих пределах находится  лишь одно натуральное число		.

Таким образом, первоначальное число студентов  составило 20 человек, а участвовали  в покупке 18, при этом магнитофон стоил 180 рублей.

 

 

 

2. Имеется некоторое количество проволоки. Если её намотать на катушки, на которые помещается 800 метров проволоки, то одна катушка будет намотана не полностью. То же самое произойдет, если пользоваться только катушками, на которые помещается 900 метров проволоки, причем таких катушек понадобится на три меньше. Если же проволоку наматывать на катушки, на которые помещается 1100 метров, то таких катушек понадобится ещё на шесть меньше, но при этом все такие катушки будут намотаны полностью. Сколько метров проволоки было?

Решение: Обозначим через l искомое число метров проволоки, n – число катушек вместимостью 800 метров.

Тогда имеем систему:
Откуда

Так как n – натуральное, то n = 32 и l = 25300.

Ответ: 25300 метров.

Задачи на концентрацию.

1. Имеется 200г 30%-го раствора уксусной кислоты. Сколько г воды нужно добавить к этому раствору, чтобы получить 6%-ный раствор уксусной кислоты?

Решение.

х г воды надо добавить к раствору.

	Процентное содержание кислоты	Вес раствора, г	Вес кислоты, г
Данный раствор	30%	200	200 * 0,3
Новый раствор	6%	200 + х	0,06(200 + х)

0,06(200 + х) = 60, 
200 + х = 1000, 
х = 800.

Ответ: 800г. воды надо добавить.

1. Сколько г 15%-ного раствора соли надо добавить к 50 г 60%-ного раствора соли, чтобы получить 40%-ный раствор соли.

Решение.

	Процентное содержание соли	Вес раствора, г	Вес соли, г
Первый раствор	15%	х	0,15х
Второй раствор	60%	50	0,6 * 50
Смесь	40%	х + 50	0,4(х + 50)

0,4(х + 50) = 0,15х  + 30, 
0,4х + 20 = 0,15х + 30, 
0,25х = 10, 
х = 40.

Ответ: 40г. 15%-ного раствора соли надо добавить.