Задача потребительского выбора

Государственное образовательное казенное учреждение

высшего профессионального  образования

«РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ»

Ростовский  филиал

Кафедра информационных таможенных технологий и информатики

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по  дисциплине «Математический анализ»

на  тему «Задача потребительского выбора»

 

Выполнила: Д.Р. Бабченкова студентка 1-го курса  очной формы обучения экономического  факультета, группа 1Б/Э Подпись:       Научный руководитель: Цвиль М.М., кандидат физико-математических наук, доцент. Подпись:

 

 

 

Ростов-на-Дону

2011

Содержание

 

Введение                                                                                                                       3

1. Функция полезности.                                                                                              4

2. Линии безразличия                                                                                                 6

3. Оптимизация функции полезности.                                                                      8

4. Задача потребительского выбора для произвольного числа товаров               13

5. Уравнение Слуцкого                                                                                             17

Заключение                                                                                                               21

Список литературы                                                                                                  22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Подходя к изучению математического анализа, важно отметить, что он является одной из важнейших отраслей экономики, поскольку занимается методами количественного исследования разных процессов изменения; изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление)

Тема «Задача  потребительского выбора» является частью экономики. Экономика актуальна  тем, что она всегда  занимала и занимает много места в нашей  жизни. Она изучает такие важные моменты, как ведение народного хозяйства, то как люди и общество выбирают способ использования ограниченных ресурсов, возможности приложения законов, теорий, предложений, разработанных экономической теорией непосредственно для функционирования отдельных элементов экономических систем. Ещё в IV веке до н. э. Ксенофонт написал произведение под названием «Домострой» (др.-греч. "Οἰκονομικός"), переведённое Цицероном на латынь как лат. Oeconomicus. Всеобщее признание термин получил после того как был употреблен в заглавии труда Джона Стюарта Милля. Как самостоятельная наука экономика выделилась в XVIII веке с выходом в свет книги Адама Смита «Исследование о природе и причинах богатства народов» (распространённое название «Богатство народов») в 1776 году. Однако по замечанию Й. Шумпетера, внутреннюю логику экономических явлений понимали и до Адама Смита, но на интуитивном, преднаучном уровне.

Таким образом, целью данной курсовой работы является изучение потребительского выбора.

Задачи, стоящие  перед нами в процессе выполнения работы, следующие:

всесторонне рассмотреть  задачу потребительского выбора, ее составные  части, дать их краткую характеристику;подвести итоги проделанной работы.

 

 

1. Функция  полезности.

Пусть потребитель  располагает некоторой суммой средств, которые он полностью тратит на приобретение и потребление набора товаров. Этот набор товаров потребитель покупает исходя из имеющихся средств и собственные предпочтений. Математическая модель такого поведения называется моделью потребительского выбора.

Рассмотрим потребительский  набор из двух товаров ( х, у), где х и у — количество едениц первого и второго товаров соответственно. Потребительский набор — это точка в системе прямоугольных координат хОу с координатами (х, у). Потребитель из каждых двух наборов  либо не видит между ними разницы, либо отдает предпочтение какому-либо из них.

Отношение потребителя к возможным наборам  товаров называется выбором потребителя.

Если  каждому набору ( х, у) поставить в соответствие потребительскую оценку этого набора в виде некоторого числа и, то получим функцию полезности потребителя и( х, у).

Если  набор А= предпочтительнее набора В=( х ,у ), то и и(А) > и(В). Каждый потребитель имеет свою функцию полезности.

Функция полезности обладает следующими свойствами.

1. Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого приводит к росту потребительской оценки:

٠ при х   х имеем

٠ при у   у имеем

Отсюда  следует 

 

Первые  частные производные от функции  полезности потребителя называются предельными полезностями существующих продуктов:

 

предельная  полезность первого продукта.

 

           предельная полезность второго продукта.

 

Для предельных полезностей первого  и второго продуктов используются также обозначения:

 

2. Предельная  полезность продукта уменьшается, если объем потребления растет:

 

 

 

Это свойство называется законом убывания предельной полезности.

3. Предельная  полезность продукта увеличивается,  если количество другого продукта:

 

 

Последнее свойство справедливо не для всех товаров. Например, если товары могут полностью замещать друг друга, то свойство не выполняется

 

 

 

 

 

 

2. Линии безразличия

Линии уровня функции полезности потребителя, проходящие через потребительские  наборы (х, у) с одним и тем же уровнем удовлетворения потребностей покупателя, называются линиями безразличия.

Множество линий безразличия называется картой линий безразличия.

На  рисунке изображены линии безразличия, имеющие уровни полезности потребителя 

Линии безразличия не касаются и не пересекаются. При увеличении уровня функции полезности линии безразличия смещаются вправо и вверх. Для примера на рисунке справедливо равенство

Из приведенных выше свойств  функции полезности следует, что  линия безразличия в системе  координат хОу является убывающей и выпуклой вниз функцией. Действительно, дифференциал функции полезности и=f(х, у) при движении вдоль линии уровня равен нулю:

Отсюда  следует, что 

 

 

Так как числитель и знаменатель  дроби — величины положительные (свойство 1), то производная функции  безразличия у=у(х) является отрицательной, т.е. Эта функция является убывающей.

Вторая производная функции у=у(х) находиться путем дифференцирования

 

 

 

 

Так как первое слагаемое числителя  положительно в силу свойств 1 и 2 функции  полезности, второе слагаемое числителя также положительно в силу свойств 1 и 3 функции полезности, то вторая производная функции безразличия у=у(х) является величиной положительной. Отсюда следует, что линии безразличия выгнуты вниз.

Если приращения координат по осям  х  и  у  обозначить соответственно через                         то справедливо приближенное равенство

 

 

Сопоставим данное равенство с  рисунком, найдем:

(2)

 

Дробь -       называется нормой замены первого продукта вторым,              а производная -        - предельной нормой замены первого продукта вторым. Если известна функция полезности и=f(х,у) , то норма замены рассчитывается  по формуле (2). норма замены показывает, на сколько должен потребитель увеличить (уменьшить) потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей.

 

 

 

3. Оптимизация функции полезности.

Задачей потребительского выбора называется определение такого потребительского набора (х₀, у₀), который максимизирует его функцию полезности при заднном бюджетном ограничении. Этот набор называют оптимальным для потребителя, или локальным рыночный равновесием потребителя.

Бюджетным ограничением называется денежная сумма (доход), предназначенная на покупку данного набора товаров.

Бюджетное ограничение I и цены на первый товар р₁ и второй товар р₂ связаны соотношением

При помощи математических символов задачу математического  выбора можно записать в виде:

 

 

При условиях

(3)

 

Множество наборов товаров, доступное для потребителя, представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой

Основные свойства задачи потребительского выбора.

1. Решение задачи (х₀, у₀) не изменится при любом монотонном преобразовании функции полезности и=f(х, у) и неизменном бюджетном ограничении. Монотонным преобразованием функции полезности может быть ее умножение на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему еденицы. При монотонном преобразовании функции полезности ее свойство 1 должно сохраняться, а свойства 2 и 3 могут теряться или приобретаться. То есть, если функция полезности в задаче потребительского выбора не обладает свойствами 2 и 3, она тем не менее может описывать реальное поведение потребителя.

2. Решение задачи потребительского  выбора не изменится, если все  цены и доход увеличатся (уменьшатся) в одно и тоже число раз.  Действительно, поскольку цены  и доход не входят в функцию  полезности, а умножение на положительное  число правой и левой частей бюджетного ограничения

делает его эквивалентным сходному, то задача остается той же, что и  первоначально.

При решении задачи математического  выбора (3) бюджетное ограничение               

 будет выполняться в виде равенства

Это связано с тем, сто значение функции полезности увеличивается при увеличении  х  и  у  (свойство 1 функции полезности), т.е. максимум лежит на крайних правых и верхних точках (см. рисунок). Таким образом, задачу математического программирования можно заменить задачей на условный экстремум:

при условиях

(4)

где и(х, у) — целевая функция;                                                                                                                                                                                                              

• функция связи.

Функция Лагранжа этой задачи имеет  вид 

Составляем систему линейных уравнений, для чего приравниваем нулю первые частные производные функции  Лагранжа:

 

 

 

 

 

 

Умножим первое уравнение на р₁, второе - на р₂ и вычтем второе уравнение из первого:

 

 

Таким образом, система уравнений  для укороченной подозрительной точки функции Лагранжа имеет  вид:

(5)

 

(6)

Сопоставив (5) с (2), получим

т.е. норма замены первого продукта вторым равна отношению цены первого продукта к цене второго.

Геометрический смысл условного  экстремума функции  

в точке (х₀, у₀) состоит в том. Что градиенты целевой функции

и функции связи —

выходящие из точки (х₀, у₀), обязательно расположены на одной прямой, перпендикулярны линиям уровней функций f(х, у) и g(х, у), а линии уровней функций f(х, у) и g(х, у), содержащие (х₀, у₀), касаются в этой точке (рисунок).

Градиент функции f(х, у) в точке (х₀, у₀)

направлен вправо вверх, так как функция полезности и=f(х, у) возрастает в этом направлении (свойство 1)

Градиент функции g(х, у) в точке (х₀, у₀)

также направлен вправо вверх, так  как

а р₁ и р₂ положительны по условию задачи.

Пример. Функция полезности для двух товаров имеет вид и=ху. Бюджетное ограничение I и цены на первый товар р₁ и второй товар р₂ связаны соотношением

Определить характеристики оптимального набора для потребителя и функции  спроса на товары ( оптимальное количество каждого из приобретаемых товаров).