Задача о раскрое

  МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  им. А.И.ГЕРЦЕНА»

Волховский  филиал.

Кафедра  менеджмента 

Реферат

По  дисциплине: математика

ПО  ТЕМЕ:

«Задача о раскрое» 
 

Выполнила:

Студент 2 курса

дневного  отделения

направления «Менеджмент»

группы  № МО-24

Мишин Евгений Сергеевич. 

Научный руководитель:

Заекина Екатерина Сергеевна. 
 

Волхов

2011 год

                                            Задача о раскрое.

  Проблема оптимального раскроя возникает во многих производствах. В машиностроении, деревообработке, швейном производстве возникает необходимость раскроя материала. Простейшие задачи раскроя связаны с перевозкой линейного материала (прутки), более сложная математическая задача имеет место при раскрое листового и объемного материала.

Задача оптимального раскроя материалов заключается  в определении наиболее рационального  способа раскроя имеющегося материала  (бревна,  стальные полосы,  кожа и т.д.),  при котором будет изготовлено наибольшее количество готовых изделий в заданном ассортименте или будет достигнуто наименьшее количество отходов.

    Пусть на обработку поступает   a единиц сырьевого материала одного вида (например, a бревен одной длины). Из него требуется изготовить комплекты, в каждый из которых входит  n видов изделий в количестве, пропорциональном числам . Имеется  m способов раскроя (обработки) данного материала, т.е. известны величины ,

определяющие количество единиц изделий при способе раскроя единицы сырьевого материала.

    Определить план раскроя,  обеспечивающий максимальное количество комплектов. Согласно условиям задачи имеем таблицу раскроя:

    

    Пусть – количество единиц сырьевого материала, раскраиваемого вариантом .

    Тогда количество изделий 1-го вида равно: 

                  

    Принимая во внимание условие комплектности, имеем:

                  

где – количество комплектов.

    Аналогичные равенства можно записать и для всех остальных видов изделий,  т.е. условие комплектности приводит к системе ограничений:

     

очевидно,

         

(на раскрой  поступает a единиц сырьевого  материала), а также

         

Цель задачи – максимизировать количество комплектов:

         

Итак, приходим к математической модели задачи о  раскрое:

 

Чтобы выразить целевую функцию через переменные достаточно воспользоваться любым из соотношений:

  

                                          
 
 

                                            Пример.

  Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины - по 2 метра. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны и других размеров, для чего производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров приведены в табл.

Заказ	Ширина рулона (м)	Количество рулонов
1	0,5	150
2	0,7	200
3	0,9	300

 
Требуется найти математическую модель для суммарной величины потери бумаги.

 Рассмотрим все возможные варианты раскроя стандартного рулона, соответствующие данные приведем в табл.

Ширина рулона(м)	Варианты раскроя рулона						Минимальное количество рулонов
	1	2	3	4	5	6
0,5	0	2	2	4	1	0	150
0,7	1	1	0	0	2	0	200
0,9	1	0	1	0	0	2	300
Отходы в м	0,4	0,3	0,1	0	0,1	0,2	-

 
Определим переменные:  
X_j - количество стандартных рулонов, разрезаемых по варианту j, j =1, 2, 3,4,5, 6.  
Ограничения непосредственно связаны с требованием обеспечить изготовление требуемого количества нестандартных рулонов. Используя данные табл., получим:  
2Х₂ + 2 Х₃ + 4 Х₄ + Х₅= 150 - количество рулонов шириной 0,5 м,  
X₁ + Х₂ + 2 Х₅ = 200 - количество рулонов шириной 0,7 м,  
X₁ + Х₃ + 2 Х₆ =300 - количество рулонов шириной 0,9 м.  

Выражение для  суммарной величины потерь бумаги (отходы) (в м) имеет вид  
0,4Х₁ + 0,3 Х₂ + 0,1 Х₃ + 0,1 Х₅ + 0,2 Х₆.                                                                    Таким образом, математическая модель в общем виде имеет вид  
min f(x = 0,4 X₁ + 0,3Х₂ + 0,1Х₃ + 0,1Х₅ + 0,2Х₆.  
при ограничениях:  
2Х₂ + 2 Х₃ + 4 Х₄ + Х₅ = 150  
Х ₂ + Х₂ + 2 Х₅ = 200  
Х ₂ + Х₃ + 2 Х₆ = 300

                                                      Вывод.

ЗАДАЧА О РАСКРОЕ — частный случай задач о комплексном использовании сырья, обычно сводящихся к методу линейного программирования.

Выработанный  математиками метод решения «задач о раскрое» помогает с наименьшими отходами использовать прутки и листы металла, листы стекла, картона и других материалов при раскрое их на заданное количество деталей различных размеров.