Задача Ердеша-Морделла

R_A+R_c + R_E≥p.

Розв’язання:

Спосіб 1.

Нехай довжини сторін АВ, СВ, CD, DE, EF і FA рівні а, Ь, с, d, е і f відповідно. Побудуємо AP^BG, AS^EF, DQ^.BC, DR^EF. Тоді PQRS - прямокутник і BF≥PS=QR. Отже, 2BF≥ PS + QR і тоді (ми скористалися тим, що ÐA = ÐD, ÐB = ÐE і ÐC = ÐF).

Аналогічно,

Запишемо вирази для R_A,R_C і R_E  

Таким чином,

отже, (R_A+R_{C +} R_E)≥р. Рівність досягається тоді і тільки тоді, коли ÐA = ÐB = ÐC і BF^BC, тобто у разі правильного шестикутника.

Спосіб 2.

Розглянутий шестикутник ABCDEF можна отримати з деякого трикутника KLM, провівши прямі, паралельні сторонам цього трикутника (див. малюнок).

Нехай KL = m, LM = k, МК = l, ÐLKM = , висота до сторони LM дорівнює h, коефіцієнти подібності (гомотетіі) трикутників КСВ, DLE і AFM по відношенню до трикутника KLM рівні відповідно х, у, z. Зрозуміло, що

(ми допускаємо нижче  і випадки рівності). Якщо R - радіус кола, описаного навколо трикутника ABF,

Оцінюючи аналогічно інші радіуси і виражаючи сторони шестикутника через k, I, m, х, у, z, отримаємо, що нам достатньо довести нерівність

Ця нерівність лінійно відносна х, у, z. Але змінні  х, у, z невідмінні і задовольняють умову  (*) (насправді вони більше нуля і нерівності (*) строгі, але ми кілька розширюємо область їх зміни). Областю зміни їх є багатогранник в координатному просторі (х; у ; z) з вершинами (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0; 1; 0), (0, 0, 1), (1/2, 1/2, 1/2). Досить перевірити, що неравність (**) виконується в цих вершинах. Наприклад,при х = у = z = 1/2 і при х = у = z = 0 отримуємо нерівність

воно легко доводяться складанням очевидних нерівностей

Для інших трьох вершин нерівність (**) очевидна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновок:

    Часто на олімпіадах різного рівня потрібне застосування класичних нерівностей для оцінки якихось величин. Це нерівності: Кош і, Міньковского, Гелдера, нерівність Ердеша-Морделла та інші. 
     У наведеній роботі освітлений матеріал, як за допомогою леми довести нерівність Ердеша-Морделла, крім того показано застосування нерівності Ердеша-Морделла для доказу інших нерівностей, що зустрічаються в задачах алгебри, геометрії,показано різні типи доведень нерівності,а також наведено приклади еквівалентні чудовій нерівності Ердеша-Морделла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  використаної  літератури:

1. Шклярський Д.О., Ченцов  М.М., Яглом І.М. Геометричні нерівності  й завдання на максимуми і  мінімуми. Математична наука, 2000 рік.

2. Маршалл А., Олкін І.  Нерівності: теорія мажорізаціі  та її застосування: переклад  з англійської. М. Світ, 2005 рік.

3. Тот Л.Ф., Расположения  на плоскости, на сфере и  в пространстве

4. Берже М., Геометрия.  Том 1

5.Журнал «Молодой учёный»  2012 05 (Том3)

6.А. Егоров Треугольники и неравенства // Квант. — 2005. — № 2. — С. 32—33.

7.Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "«A visual proof of the Erdős-Mordell inequality»", Forum Geometricorum Т. 7: 99–102

8.Bankoff, Leon (1958), "«An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem»", American Mathematical Monthly Т. 65 (7): 521

9.Erdős, Paul (1935), "«Problem 3740»", American Mathematical Monthly Т. 42: 396

10.Kazarinoff, D. K. (1957), "«A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles»", Michigan Mathematical Journal Т. 4 (2): 97–98

11.Mordell, L. J. & Barrow, D. F. (1937), "«Solution to 3740»", American Mathematical Monthly Т. 44: 252–254