Высшая математика и производные

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Тихоокеанский государственный  университет»

 

 

 

Кафедра «Математика»

 

 

Направление 190100.62 БНТК «Наземные  транспортно-технологические комплексы»

Профиль: СДМ Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Математика»

ВАРИАНТ № 8

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент БЗФУО (ДОТ)

группы СДМ(б)зу-22

1 года обучения

шифр зач. кн. 12041031128

Фамилия   Житник

Имя   Александр

Отчество  Иванович

Проверил:

___________________________

___________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

Хабаровск 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ЗАДАНИЕ 8 ………………………………………………………………………...3

ЗАДАНИЕ 18 7

ЗАДАНИЕ 28 10

ЗАДАНИЕ 48 12

ЗАДАНИЕ 58 14

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

ЗАДАНИЕ 8 16

ЗАДАНИЕ 18 18

ЗАДАНИЕ 28 19

ЗАДАНИЕ 38 20

ЗАДАНИЕ 68 23

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Высшая математика

 

Матрицы и действия с ними

 

Задание 8. Даны матрицы А и В

 

А=,     В=

 

Найти:

1) Произведение матриц  АхВ=С и определитель матрицы С;

2) Найти обратную матрицу  А^-1 для матрицы А. Сделать проверку.

 

Решение

1) Найдем произведение  матриц 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С =

Найдем определитель матрицы С

detС = =

 

2) Найдем обратную матрицу  А^-1

А=

detA==

 

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица А^-1 существует.

Найдем алгебраическое дополнение А₁₁ элемента а₁₁. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₁₁) элемента а₁₁.

М₁₁=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а₁₁, есть число четное (1+1=2) и выражение (-1)¹⁺¹=1, то алгебраическое дополнение элемента а₁₁ равно минору данного элемента.

А₁₁=

Найдем алгебраическое дополнение А₁₂ элемента а₁₂. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₁₂) элемента а₁₂.

М₁₂=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а₁₂, есть число нечетное (1+2=3) и выражение (-1)¹⁺²=-1, то алгебраическое дополнение элемента а₁₂ равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А₁₂=

Найдем алгебраическое дополнение А₁₃ элемента а₁₃. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₁₃) элемента а₁₃.

М₁₃=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а₁₃, есть число четное (1+3=4) и выражение (-1)¹⁺³=1, то алгебраическое дополнение элемента а₁₃ равно минору данного элемента.

А₁₃=

Найдем алгебраическое дополнение А₂₁ элемента а₂₁. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₂₁) элемента а₂₁.

М₂₁=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а₂₁, есть число нечетное (2+1=3) и выражение (-1)²⁺¹=-1, то алгебраическое дополнение элемента а₂₁ равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А₂₁=

Найдем алгебраическое дополнение А₂₂ элемента а₂₂. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₂₂) элемента а₂₂.

М₂₂=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а₂₂, есть число четное (2+2=4) и выражение (-1)²⁺²=1, то алгебраическое дополнение элемента а₂₂ равно минору данного элемента.

А₂₂=

Найдем алгебраическое дополнение А₂₃ элемента а₂₃. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₂₃) элемента а₂₃.

М₂₃=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а₂₃, есть число нечетное (2+3=5) и выражение (-1)²⁺³=-1, то алгебраическое дополнение элемента а₂₃ равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А₂₃=

Найдем алгебраическое дополнение А₃₁ элемента а₃₁. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₃₁) элемента а₃₁.

М₃₁=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а₃₁, есть число четное (3+1=4) и выражение (-1)³⁺¹=1, то алгебраическое дополнение элемента а₃₁ равно минору данного элемента.

А₃₁=

Найдем алгебраическое дополнение А₃₂ элемента а₃₂. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₃₂) элемента а₃₂.

М₃₂=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а₃₂, есть число нечетное (3+2=5) и выражение (-1)³⁺²=-1, то алгебраическое дополнение элемента а₃₂ равно минору данного элемента, взятого со знаком минус.

А₃₂=

Найдем алгебраическое дополнение А₃₃ элемента а₃₃. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3. Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (М₃₃) элемента а₃₃.

М₃₃=

Т.к. сумма номера строки и номера столбца, на пересечении  которых находится элемент а₃₃, есть число четное (3+3=6) и выражение (-1)³⁺³=1, то алгебраическое дополнение элемента а₃₃ равно минору данного элемента.

А₃₃=

 

Согласно теореме, обратная матрица найдена правильно, т.к.

=

 

 

Системы линейных уравнений

 

Задание 18. Дана система линейных уравнений

 

 

 

Решить систему тремя  способами:

1) методом Крамера

2) методом Гаусса;

3) средствами матричного  исчисления.

 

Решение

 

 

1) Решение методом Крамера

Дана система линейных уравнений (в матричном виде)

,    ,       

 

 

 

 

2) Решение методом Гаусса

Сформируем расширенную  матрицу

 

Применяя к расширенной  матрице последовательность операций, стремимся, чтобы каждая строка, кроме  первой начиналась с нулей, и число  нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Разделим строку 1 на а₁₁=2. Получим:

 

Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на а₂₁=4. Получим:

 

Вычтем из строки 3 строку 1 умноженную на а₃₁=1. Получим:

 

Разделим строку 2 на а₂₂=3. Получим:

 

Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на а₃₂=3/2. Получим:

 

Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на а₁₃=1. Получим:

 

Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на а₁₂=-1/2. Получим:

 

Заданная система уравнений  имеет единственной решение:

х₁  =0

х₂  =2

х₃  =1

3) Решение матричным методом

,    ,       

, значит 

Найдем детерминант матрицы А

detА = 6

Для нахождения обратной матрицы  вычислим алгебраические дополнения для  элементов матрицы А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем обратную матрицу ^А-1

 

Найдем решение:

 

Заданная система уравнений  имеет единственной решение:

х₁  =0, х₂  =2, х₃  =1

 

Элементы векторной алгебры

 

Задание 28. Даны четыре точки  А₁(х₁; у₁; z₁), А₂(х₂; у₂; z₂), А₃(х₃; у₃; z₃), А₄(х₄; у₄; z₄) – вершины пирамиды. Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между ребрами  А₁А₂ и А₁А₄;

3) площадь грани А₁А₂А₃;

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁А₂;

6) уравнение плоскости  А₁А₂А₃.

 

Решение

 

А₁(6, 1, 1), А₂(4, 6, 6), А₃(4, 2, 0), А₄(1, 2, 6)

1) Найдем длину ребра  А₁А₂

А₁А₂=

=

2) Найдем угол между  ребрами А₁А₂ и А₁А₄. Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ равен углу между векторами А₁А₂ и А₁А₄. Найдем:

А₁А₂=

А₁А₄=

Тогда угол a определим:

=

=

 

 

3) Найдем площадь грани  А₁А₂А₃. Для этого найдем векторное произведение

 

 

, т.е

 

Тогда площадь грани равна

 

4) Найдем объем пирамиды

Объем пирамиды, построенной  на векторах a₁(х₁;y₁;z₁), a₂(x₂;y₂;z₂), a₃(x₃;y₃;z₃) равен:

 

здесь x, y, z - координаты вектора.

Координаты векторов находим  по формуле:

X = x_j - x_i; Y = y_j - y_i; Z = z_j - z_i

здесь x_i, y_i, z_i - координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j - координаты точки А_j;

Например, для вектора A₁A₂.

X = x₂ - x₁; Y = y₂ - y₁; Z = z₂ - z₁

X = 4 - 6 = -2; Y = 6 - 1 = 5; Z = 6 - 1 = 5

A₁A₂(-2; 5; 5)

A₁A₃(-2; 1; -1)

A₁A₄(-5; 1; 5)

  

Где нашли как определитель матрицы

∆ =

5) Найдем уравнение прямой А₁А₂. Для этого используем общую формулу прямой:

 

 – каноническое уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Вектор =(-2, 5, 5) – направляющий вектор прямой.

6) Найдем уравнение плоскости  А₁А₂А₃

 

 

 

 

Уравнение плоскости А₁А₂А₃=, нормаль к плоскости

 

Предел функции

 

Задание 48. Вычислить пределы  функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ; 

б) ;

в) ;  

г)

 

Решение

а)

Ни числитель, ни знаменатель  этой дроби не имеют конечного  предела, так как они неограниченно  возрастают при неограниченном возрастании  , т.е. неопределенность . Поделим числитель и знаменатель дроби на .

Так как  , , , при величины бесконечно малые.

б)

Функция не определена при и поэтому разрывна в этой точке. Числитель и знаменатель в точке обращаются в нуль, неопределенность . Выделим общий множитель и сократим на него числитель и знаменатель, считая , .

Домножим числитель и знаменатель дроби на число сопряженное числителю:

в)

Поскольку числитель и  знаменатель обращаются в нуль при , то неопределенность .

Воспользуемся первым замечательным  пределом .

г)

Неопределенность  , воспользуемся вторым замечательным пределом .

Ответ: а) ; б) ;  в) ; г) .