Вычисление пределов функций

 

Содержание:

 

 

 

1. Вычисление пределов функций 3

2. Исследовать точки разрыва функции 4

3. Вычислить производные функций 6

4. Вычисление локальных и глобальных экстремумов функций 7

5. Исследование функций и построение графиков 8

Список литературы 11

 

 

 

 

1. Вычисление пределов функций

 

б)

 

в)  

 

г)  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Исследовать точки разрыва функции

Функция y=f(x) задана различными выражениями для различных областей изменения аргумента x. Требуется:

1. Найти точки разрыва функции, если они существуют;
2. Найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва;
3. Построить график функции.

 

 

Решение:

Функция непрерывна на каждом из интервалов (−∞; 0) , (0 ; 1) , (1;+∞) .

Исследуем на непрерывность  точки x = 0, x =1.

Пусть x = 0. Найдем пределы слева и справа:

 

 

Пределы слева и справа не равны, один из пределов бесконечен, поэтому функция прерывается в точке x=0, разрыв второго рода.

Найдем односторонние  пределы в точке  x = 1:

 

 

Пределы слева и справа конечны но не равны, поэтому функция прерывается в точке x =1, разрыв первого рода.

По найденным пределам строим схематичный чертеж.

3. Вычислить производные функций

a)

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

в)

 

 

 

 

4. Вычисление локальных и глобальных экстремумов функций

 

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на заданном отрезке.

, (-1;1)

Решение:

Для того, чтобы найти  экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и  корни этого уравнения будут  экстремумами данной функции:

Дифференцируем сумму  почленно и выносим , если надо константы из под знака производной:

 

Используем цепочку правил, , где u=:

 

, где n=2:

Выносим константы:

 

Приравниваем производную  к нулю и находим корни уравнения:

 

x=0. Точка: (0, 1) Экстремум функции.

5. Исследование функций и построение графиков

 

 

Решение:

1. Область определения функции x ≠ , функция определена для всех x кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль: то есть D( y) = (−∞;1/2)∪(1/2;+∞) . Рассмотрим предел:

 

То есть x=1/2 – двусторонняя вертикальная асимптота.

2. Точки пересечения с осями координат:

Точка пересечения графика  функции с осью координат Y:

 График пересекает  ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в

  

y=0. Точка: (0, 0)

Точки пересечения графика  функции с осью координат X:

 График функции пересекает  ось X при y=0, значит нам надо  решить уравнение:

  

    x=0. Точка: (0, 0)

3. Функция общего вида:

 

4. Экстремумы функции:

 

Производная -1 есть ноль:

 

Производная x есть 1:

 

Приравниваем производную  к 0, решаем уравнение, получаем корни  уравнения, то есть точки экстремума функции:

1. x=0. Точка: (0, 0)
2. x=1. Точка: (1, 2)

Интервалы возрастания и  убывания функции:

 Найдем интервалы,  где функция возрастает и убывает,  а также минимумы и максимумы  функции, для этого смотрим  на ведет себя функция в  экстремумах при малейшем отклонении  от экстремума:

 Минимумы функции в  точках: *1

 Максимумы функции  в точках: *0

 Возрастает на промежутках: (-, 0] U [1, ).

 Убывает на промежутках: [0, 1].

5. Выпуклость и точки перегиба:

Найдем точки перегибов  для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная  равняется нулю, корни полученного  уравнения будут точками перегибов  указанного графика функции,  + нужно  подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:

Вычислим вторую производную:

 

Решаем это уравнение  и его корни будут точками, где у графика перегибы:

x=1/2. Точка: (1/2, )

 Интервалы выпуклости, вогнутости:

 Найдем интервалы,  где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет  себя функция в точках изгибов:

 Вогнутая на всей  числовой оси/

6. Асимптоты:

Вертикальные асимптоты:

 Есть: x=1/2

 Горизонтальные асимптоты графика функции:

 Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+ и x->-.

lim , x->+ = , значит горизонтальной асимптоты справа не существует.

lim , x->- = - , значит горизонтальной асимптоты слева не существует.

Наклонные асимптоты вида y=kx+b

k=

уравнение наклонной асимптоты справа: y=1*x

b=

уравнение наклонной асимптоты справа: y=1*x

7. Четность и нечетность функции:

Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x)

 и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:

= - "Нет"

= - "Нет"

 значит, функция не является ни четной ни нечетной.

8. График функции:

Список литературы:

 

1. Бесов О.В. Методические указания по математическому анализу. Курс лекций по математическому анализу (для студентов 1-го курса). - М.: МФТИ, 2004. - 65 с.
2. Казимиров Н.И. Математический анализ. Конспект лекций для специальности "Физика". - Петрозаводск, 2002. - 92 с.
3. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть 1. Ряды. Интегральное исчисление. Теория функций. 3-е изд.: Пер. с нем. Д.А. Райкова. - М.: Наука, 1978. - 392 с.
4. Шилов Г.Е. Математический анализ [Текст]: Специальный курс. / Г.Е. Шилов. - Изд. 2-е. - Москва, 1961. - 437 с.