Визначений інтеграл та його застосування

Визначений інтеграл та його застосування

 

Підготувала

учениця 11-Г класу 

Балог Сабріна

    Нехай F – первісна функції f на проміжку І, a і b належать проміжку І, де a<b. Різницю F(b) – F(a) називають визначеним інтегралом функції f на відрізку [a;b]. Цю рівність називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Готфрід Вільгельм Лейбніц  
(1646-1716)

 

   «Загальне мистецтво знаків являє собою неймовірний довідник, оскільки воно розвантажує уяву. Треба думати про те, щоб позначення були зручними для відкриттів.

   Позначення коротко виражають і відображають сутність речей. Тоді дивовижним чином скорочується робота думки.»

Лейбніц

Ісаак Ньютон 
(1643-1727)

 

«Розумом він перевершив рід людський» 

Лукрецій

  Отже, для обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца потрібно:

• Знайти будь-яку первісну F функції f на відрізку [a;b];
• Обчислити значення первісної F у точках  x=b та x=a;
• Знайти різницю F(b) – F(a).

Властивості визначеного  інтеграла

 

1)Визначений інтеграл  з однаковими межами інтегрування  дорівнює нулю:

 

2) Від переставлення  меж інтегрування інтеграл змінює  знак на протилежний:

3) Якщо функція f(x)  інтегрована на максимальному  з відрізків [a;b], [a;c], [c;b],  то справедлива рівність

 

4) Сталий множник С  можна винести за знак визначеного  інтеграла

5) Визначений інтеграл  від суми інтегрованих функцій  дорівнює сумі визначених інтегралів  від цих функцій:

 

6) Якщо всюди на відрізку  [a;b] маємо f(x)≥0 (a<b), то: 

7) Якщо всюди на відрізку  [a;b] маємо f(x)≤g(x) (a<b), то:

 

 

8) Якщо функція f(х)  неперервна на відрізку [a;b],  то на цьому відрізку знайдеться  така точка с, що: 

Геометричний зміст визначеного  інтеграла

 

Площу S криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y=f(x) і  прямими y=0, x=a і x=b (a>b) , можна обчислити  за формулою

S=F(b) – F(a), 

    де F – будь-яка первісна функції f на відрізку [a;b].

де S- площа фігури, обмеженої  графіком функції y = f(x) і прямими  х = а, х = b і y = 0.

Площа фігури, обмеженої графіками  функцій f(x), g(x) і прямими х = а і  х = b дорівнює:

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!