Видатний математик Пьєр де Ферма

У наслідку Ферма пояснить своє захоплення

числами в листі англійським математикам Дигби й Броункеру. Цей лист має спеціальний підзаголовок:

“Другий виклик Ферма математикам” . Ферма пише: “Навряд чи хто-небудь може запропонувати або навіть зрозуміти чисто арифметичні задачі. Тому що хіба Арифметика не тлумачилася скоріше геометрично, чим арифметично. Це підтверджує більшість праць древніх і нових авторів; підтверджують це й праці самого Диофанта. Він трохи більше інших віддалився від геометрії, коли почав викладати Аналітикові в раціональних числах; однак і ця частина не зовсім позбавлена геометрії, що цілком довели книги Виета “Зететика” , де метод Диофанта переноситься на безперервні величини, а виходить, і на геометрію....  Лише я, немов идущий спереду факелоносец, пропоную вам для доказу або побудови наступну теорему або задачу. Якщо ви її вирішите, то зрозумієте, що задачі такого роду ні тонкістю, ні труднощами, ні способом доказу не уступають славнозвісним проблемам геометрії” .

Що ж шукав і що відкрив Пьер Ферма, займаючись

числами? Ризикнемо припустити, що найбільше Ферма цікавили способи побудови простих чисел. Він мріяв знайти явну формулу, що дозволяє швидко обчислювати як завгодно більші прості числа. На полях “Арифметики” він висловив припущення, що таким “генератором” простих чисел буде формула , n = 0,1,2,...

Дійсно, при n = 0,1,2,3,4 одержуємо прості

числа 3,5,17,257,65537. Ферма думав, що при всіх інших n числа F(n) - прості, і неодноразово пропонував своїм кореспондентам довести цей результат.

Знадобилося сто років, щоб Леонард Эйлер в 1733

г. спростував твердження Ферма. Це відбулося з подачі Християна Гольдбаха, що в 1729 р. писав находившемуся в Петербурзі Эйлеру: “ чиВідомо тобі зауваження Ферма про те, що всі числа виду саме 3,5,17 і т.д.. суть прості, причому сам він, по його визнанню, не зміг цього довести й, наскільки я знаю, після нього ніхто не довів” . Эйлер пари років подумав і показав, що вже при n = 5 число F(5) ділиться на 641:

.

Для одержання цього результату Эйлеру довелося

випробувати 160 дільників. Складовими виявилися й багато інших чисел Ферма (при n =6,7,8,9,10,11,12,15,16,18,23,36, 38,73) . Найбільше з відомих у даний момент складених чисел Ферма F(452) складається з 10135 цифр і ділиться на 27Ч 2455+1 (показане за допомогою ЕОМ) .  Справедливості заради варто підкреслити, що Ферма, уважаючи числа F(n) простими, ніколи не затверджував, що має у своєму розпорядженні доказ цього факту. З іншої сторони до теперішнього часу відомо стільки ж простих чисел Ферма, скільки зі знали в часи Ферма, а саме: 3,5, 17,257,65537.

Отже, Ферма помилявся. Його формула робила в

основному складові, а не прості числа. Однак, ідея “генерування” простих чисел була сприйнята з ентузіазмом. Усе той же аж ніяк не легковажний Эйлер запропонував багаточлен x2-x+41, що при всіх цілих x від 0 до 40 дає тільки прості числа. Эйлер не полінувався проробити ці обчислення, хоча прекрасно знав, що багаточлен із цілими коефіцієнтами не може при всіх натуральних значеннях аргументу приймати тільки прості значення. Сьогодні, незважаючи на зусилля сотень професіоналів і тисяч дилетантів, ми як і раніше не вміємо обчислювати як завгодно більші прості числа, хоча знаємо масу нюансів про їхній розподіл. Один із самих яскравих результатів цієї області належить академікові Пафнутію Львовичу Чебышеву (1850) : число простих чисел не переважаючих n приблизно дорівнює при n ® Ґ.

Ферма помилився, але Ферма був би не Ферма, якби

дозволив хоч одній своїй теоремі безславно канути в лету. “Прокляті числа як перевертні” вилазили в самих далекі від теорії чисел дослідженнях. В 1796 р. 19-літній студент Геттингенского університету Карл Фрідріх Гаусс зробив сенсацію, довівши теорему:

правильний багатокутник може бути побудований за допомогою циркуля й лінійки тоді й тільки тоді, коли число його сторін дорівнює 2ap1p2... pb, де всі прості числа pi є числами Ферма, тобто мають вигляд. Те була помста Ферма пихатим геометрам. Теорема Гаусса підвела риску під багатовіковими суперечками щодо можливості побудови правильних багатокутників і заощадила масу часу аматорам математики. Із цієї теореми треба, що можна побудувати правильні 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- і інші багатокутники й не можна побудувати, наприклад, правильні 7-, 11-, 13- косинці. Для невіруючих Гаусс не полінувався побудувати правильний 17-косинець.

Займаючись таємницями простих чисел Ферма

сформулював багато положень про представимости чисел квадратичними формами. Наприклад, він виявив наступні дивно прості й глибокі закономірності:

1. Формою x2+y2 представимы всі прості числа, які лежать у прогресії 4n+1, причому кожне з них представимо цією формою єдиним образом. Жодне просте число із прогресії 4n+3 не представимо суммою двох квадратів.

2. Формою x2+2y2 представимы всі прості числа, що лежать у прогресіях 8n+1 й 8n+3. Жодне просте число із прогресій 8n+5 й 8n+7 не представимо у вигляді x2+2y2.

3. Формою x2-2y2 представимы всі прості числа, що лежать у прогресіях 8n+1 й 8n+7. Жодне просте число із прогресій 8n+5 й 8n+3 не представимо у вигляді x2-2y2.

4. Формами x2+3y2 й x2+xy+y2 представимы всі прості числа, що лежать у прогресії 3n+1. Жодне просте число із прогресії 3n+2 не представимо зазначеними формами.

Ферма залишив украй мало пояснень, що дають

можливість установити, як йому вдалося одержати ці в вищого ступеня загальні результати. Лише перед смертю в листі до де Каркави Ферма частково обґрунтував положення (1) за допомогою свого методу нескінченного спуска. Можна лише пошкодувати сучасників Ферма, які регулярно одержували варіації на тему тверджень (1) - (4) як задачі. Перші повні докази цих тверджень удалося одержати лише Эйлеру. Попутно він сформулював дуже важливу теорему про подільність - так називаної квадратичний закон взаємності, доказ якого дав Гаусс. Через захоплення квадратичними формами пройшли Лагранж, Лежандр, Чебышев, а в наше століття - Вейль, Артин і багато інших блискучих математиків. Як завжди ідеї Ферма виявилися надзвичайно плідні в змісті побудови далеко, що йдуть узагальнень, і формування нових понять. Добра половина термінів сучасної абстрактної алгебри виникла зі спроб довести твердження Ферма.

Один з найважливіших результатів Ферма одержав

спеціальна назва “Мала теорема Ферма” . Це фундаментальний факт теорії подільності на прості числа: для будь-якого простого p і будь-якого aі 1, що не ділиться на p, різниця ap -1-1 ділиться на p. Наприклад, нехай a=5, p=2,3,7,11. Тоді 52-1-1=2Ч 2,53-1-1=3Ч 8,57-1-1=7Ч 2232,511-1-1=11Ч 8878. Ферма висловив цю теорему в листі Френиклю де Бесси в 1640 р. зі звичайним для нього зауваженням: “... я б Вам надіслав доказ, якби не побоювався бути занадто довгим” .

Перший доказ “Малої теореми Ферма” дав Лейбниц. Потім Эйлер, починаючи з 1736 р., публікує відразу три різних докази, які показують, що Ферма цілком міг уміти доводити свою теорему.  Нащадки часто шукали елементарні докази тверджень Ферма, намагаючись зрозуміти наскільки лукавив великий тулузец. Проблеми Ферма хвилювали Эйлера протягом всього життя. В 1760 р. він одержав істотне узагальнення його “Малої теореми” : нехай j (m)

• число натуральних чисел, що не перевершують m і взаємно простих з m. Тоді для будь-якого m і будь-якого aі 1, взаємно простого з m, різниця aj (m) -1 ділиться на m. Цю терему Эйлер скромно опублікував як четвертий доказ “Малої теореми Ферма” Нарешті, ми переходимо до викладу самої знаменитої теореми в історії математики. Ця теорема одержала популярність як “Велика теорема Ферма” (вона ж “Більша” , вона ж “Остання” ) . На сучасному це мові звучить так: не існує відмінних від нуля цілих чисел x, y й z, для яких має місце рівність при n>2.

Зрозуміло, ніякого рівняння у Ферма не було.

Він взагалі не знав знака рівності, а використав латинське eq. Приводимо твердження Ферма в оригінальному виді: “Куб, однак, на два куби або квадроквадрат на два квадроквадрата й взагалі ніяку нескінченно понад квадрат ступінь у дві ті ж назви неможливо розділити” . І не поставивши крапку, Ферма приписав:” я відкрив воістину дивний доказ цієї пропозиції. Але воно не вміщається на вузьких полях. “Цією фразою Ферма прокоментував задачу з Диофанта: “Заданий квадрат розкласти на два квадрати” . Дане зауваження є другим по рахунку зі зроблених їм на полях “Арифметики” . Перше стосувалося життєвих тим.

Неозначені рівняння (тобто рівняннями з

двома невідомими) виду цікавили стародавніх греків у зв'язку з теоремою Пифагора. Вони шукали (і знаходили) трійки цілих чисел, що утворять сторони прямокутного трикутника. Це означає, що при n =1,2 рівняння в рамці має незліченна множина рішень. Здогад Ферма полягала в тім, що при всіх інших n таких трійок не існує.

Навряд чи Ферма був першим, хто прийшов до

подібному до висновку. Наприклад, біля тисячі років тому узбецький математик Хамид ал-хадженди (що означає Хамид з Ленінабада) затверджував, що рівняння x3+y3=z3 не має рішень у цілих числах. Сьогодні ясно, що Хамид не мав ніяких шансів довести це твердження.

У відношенні Ферма достеменно відомо, що він

довів “Велику теорему” при n=4 на полях усе тієї ж “Арифметики” . І цей єдиний теоретико-числовий доказ Ферма дошедшее до наших днів. Протягом 20 років Ферма завзято намагається привернути увагу математиків до “Великої теореми” , пропонуючи частки випадки як задачі. Випадок n=3 він формулює в п'ятьох листах, причому в останньому листі (від серпня 1659 р.) пише, що довів теорему для n=3 методом спуска. Тим часом “Велику теорему” для загального випадку n>2 Ферма сформулював тільки один раз у згаданому зауваженні на полях “Арифметики” . Він не формулює її жодного разу в жодному з листів. Він пропонує тільки окремі випадки (n=3,4) , у відношенні яких упевнено говорить, що має у своєму розпорядженні доказ. Навіть у листі до де Каркави від 1659 р., у якому Ферма перераховує свої основні досягнення, про “Велику теорему” у загальному виді немає ні слова. Це може означати тільки одне: Ферма виявив пробіли у своєму “воістину дивному доказі”, які так і не зміг усунути.

Зрозуміло, це не остудило нащадків. Починаючи з

кінця XVII в. почалася небачена по своїй напруженості гонка за доказом “Великої теореми Ферма” . Оманна простота формулювання теореми прирекла тисячі шанувальників математики на марні пошуки доказу або спростування теореми. Більше ста років нікому із учених не вдавалося просунутися вперед навіть при розгляді окремих випадків конкретних значень показника n.

Перший серйозний результат був отриманий звичайно

же Эйлером (1768) . Він показав, що випадок n=4 унікальний.  Це єдиний приватний варіант “Великої теореми” , коли доказ має цілком елементарний характер.  Уже при n=3 виникають значні ускладнення.  Настільки істотні, що з'являється привід у черговий раз сумніватися в чесності Ферма. Эйлер довів теорему для випадку n=3, розглядаючи комплексні числа виду, де a, b - цілі числа. В XVII в. подібна єресь не могла прийти в голову навіть Ферма.

Строго говорячи, доказ Эйлера було

дефектним, оскільки він необґрунтовано переніс ряд властивостей звичайних чисел на числа виду . Зокрема він припускав одиничність розкладання таких чисел на прості множники. Для усунення пробілів у доказі Эйлера знадобилися принципово нові алгебраїчні абстракції: числові кільця й поля. Реалізацію цієї програми почав Гаусс, якому належить перше абсолютно строгий доказ “Великої теореми Ферма” для n=3.

Доказ для випадку n=5 запропонували майже

одночасно в атмосфері гострого суперництва два французи: Лежен-Дирихле й Лежандр (1825) . Обоє доказу були дуже складними. В 1839 р. теорема Ферма була доведена для наступного простого показника n=7. Це вдалося завдяки титанічним зусиллям Ламі.  Він же в 1847 р. оголосив, що довів теорему для всіх простих показників n>3. Однак пильний Лиувиль відразу ж виявив у міркуваннях Ламі помилку подібну з тієї, котру допустив Эйлер. Ламі був змушений визнати свою поразку.

Поки у Франції відбувалися ці події, в

Німеччини молодий математик Куммер завзято займається теоремою Ферма. Повторивши всі помилки Ламі, він прийшов до поняття “ідеальних чисел” , для яких розкладання на прості множники єдино. Узагальнення цього поняття привело до створення запаморочливих абстрактних конструкцій, які сьогодні вивчаються в спеціальному розділі алгебрі за назвою “Теорія ідеалів” . Куммер, що присвятив теоремі кілька десятків років, до кінця життя вмів доводити “Велику теорему Ферма” для всіх простих показників n <100. В 1857 р. йому була вручена премія Французької академії наук у розмірі 3 тис. франків. Роботи Куммера остаточно поховали надії на можливість доказу теореми Ферма елементарними засобами.  Стало ясно, що Ферма ніколи не мав і не міг мати доказу теореми в загальному виді.

Після Куммера серйозних зрушень у доказі

теореми Ферма не відбувалося аж до 1929 р., коли Вандивер, використовуючи метод Куммера, одержав у явному виді якісь умови, що дозволяють перевіряти істинність теореми для будь-якого простого показника. Із цього моменту доказ теореми для конкретного n звелося до чисто обчислювальних проблем, з якими легко справляються сучасні ЕОМ. У результаті до кінця сімдесятих років нашого сторіччя “Велика теорема Ферма” була доведена для всіх n <100000. Це дуже велике число, але це ще не всі n, а значить “Велика теорема Ферма” не доведена й не спростована.

“Верна або не вірна?” - так називався чудесний

науково-популярний ігровий фільм, що промайнув на екранах телевізорів на початку сімдесятих. Сучасний яйцеголовый математик, розклавши на пульті ЕОМ стародавні фоліанти, чаклує над киплячою ретортою. Він вирішив звернутися до останнього засобу. Вимовлено магічну формулу, лунає вибух, і в хмарі диму з'являється інтелігентного виду диявол (його блискуче грає молодий Кайдановский) . Помахуючи хвостом, нечистий чемно запитує, що завгодно клієнтові в обмін на безсмертну душу. “Я хочу знати, вірна або не вірна теорема Ферма” - утомилося ответствует математик. “Простите, хто кому не вірна?” - перепитує ошелешений диявол. “Велика або Остання теорема Ферма. Це математичне твердження. Воно або справедливо, або помилково. Я повинен це довідатися за всяку ціну” . Диявол обережно цікавиться щодо більше традиційних побажань - земні блага, вічна молодість і все таке.  Але математик уперто вимагає відповіді на прокляте питання.  Диявол, приречено зітхаючи, погоджується вникнути в суть проблеми. Математик пускається в пояснення: “Рівняння Ферма може бути вирішене в цілих числах, якщо показник дорівнює двом. Наприклад, три у квадраті плюс чотири у квадраті дорівнює п'яти у квадраті. Але якщо показник дорівнює трьом...” “Почекайте, - перебиває його диявол. - Як Ви сказали? Три у квадраті плюс чотири у квадраті...” , і диявол малює кінчиком хвоста: + Математик зі здивуванням дивиться на посланника пекла. Диявол безнадійно відстав і не знає елементарної алгебри! Прийде починати із самого початку. Через кілька хвилин диявол (а заодно й глядач) усвідомлює формулювання теореми й переймається її історією, що інтригує. Він повний оптимізму, йому не терпиться приступитися до рішення загадки: “Я всього лише повинен знайти три числа? Три звичайних числа, які задовольняють рівнянню на Ферма для деякого показника, наприклад, для трьох” . “Так, цього досить, щоб відкинути теорему” - відповідає математик, але диявол уже зник. Через кілька хвилин він знову сидить у кріслі: