Вероятностный мир

Вероятностный мир

С информацией, требующей  оценки ее правдоподобия, люди столкнулись  довольно давно. Формирование различных  количественных способов такой оценки, собственно, и стимулировало создание теории вероятностей. К тридцатым  годам математики развили так  называемый аксиоматический подход к пониманию вероятности. Ученым, сделавшим в этом направлении  завершающий шаг, стал московский математик  Андрей Николаевич Колмогоров. В его  замечательной книге «Основные  понятия теории вероятностей» описано, какие события А рассматривает  теория вероятностей и что следует  понимать под вероятностью их наступления  Р(А). Понимание вероятности как меры случайности события приняло строгие формы и послужило бурному развитию математической теории вероятностей, но не только. Сфера ее применения огромна — от систем массового обслуживания до статистической физики. Так появились различные вероятностные модели шумовых явлений, связанных с процессами, происходящими в электронных приборах, телефонных или других системах связи. Дальнейшие работы А. Н. Колмогорова, посвященные стационарным последовательностям случайных величин, послужили не только для теоретических исследований соответствующего класса процессов, но и для создания важнейших методов их интерполяции и прогнозирования. Эти работы составили весьма важный вклад в развитие теории информации на начальном этапе, а параллельно и в становление кибернетики. Холодная война определила в основном оборонный характер разработки информационных и управляющих систем, поэтому активное подключение ученых к исследованиям по теории информации в нашей стране произошло в первой половине 50-х годов. Практически параллельно с работами А. Я. Хинчина, также замечательного московского математика, А. Н. Колмогоров выполнил ряд исследований по обобщению результатов К. Шеннона, что позволило, опираясь на аксиоматический подход, принятый в теории вероятностей, ввести понятие количества информации в одном событии или процессе относительно другого. Более того, изучение А. Н. Колмогоровым различных способов определения количества информации — комбинаторного, вероятностного и алгоритмического — позволило приступить к логическому анализу самого понятия информации, в частности заключенной в тексте. Под его руководством были выполнены исследования по вычислениям энтропии русской речи для оценки ее «гибкости», т. е. «показателя разветвленности возможностей продолжения речи при заданном словаре и правилах построения фраз».

Примерно в эти  же годы под впечатлением бурно развивающейся  теории информации А. Н. Колмогоров предпринял пересмотр частотной концепции  понятия вероятности, выбрав в качестве объекта таблицы случайных чисел, которые были тогда в широком  научном и практическом употреблении. От того, как выбрана длина последовательности случайных чисел или размеры  таблицы, зависело качество различных  датчиков и даже систем, например криптографических. Предложенное строгое объяснение подходящего  выбора таблицы случайных чисел  привело в дальнейшем к пониманию  алгоритмической сложности и  к глубокому толкованию понятия  информации и вероятности. Основываясь  на том, что «случайность состоит  в отсутствии закономерности», А. Н. Колмогорову с помощью понятия  сложности конечного объекта  удалось строго объяснить выбор  случайной последовательности для  вычисления вероятности через частоту.

Логический анализ основных понятий теории вероятностей и, разумеется, теории информации привел А. Н. Колмогорова к необходимости  формального рассмотрения понятия  алгоритма и структур множеств в  функциональных пространствах. В частности, были введены оказавшиеся очень  полезными во многих разделах математики и приложений понятия e-энтропии и e-емкости  множеств, что позволило исследователям изучать наряду со структурой пространств  и динамические системы.

Мир математических моделей

Окружающий нас  мир многообразен, сложен, загадочен, красочен и прекрасен. Но лежащие  в нем основы, генерирующий его  механизм просты и действуют по простым  правилам. Об этом догадались уже древние  греки, положив в основу всего  огонь, землю, воду и воздух, и хотя они были далеки от истины, но предвидели существование еще и малых  частиц - атомов, движения и сочетания  которых порождают все сущее. Это была гениальная догадка, обоснованная только в XVIII-XIX веках. Наше современное  естествознание подтвердило эту  конкретную догадку об атомах и более  широкую общую о простоте основ.

То, что простые  правила могут порождать разнообразные  и сложные ситуации, видно на примерах шашек, шахмат и других игр. В этом смысле игра имитирует наш мир. Возможно, именно поэтому мы их так любим  и детям они так нужны.

Правила природы  все же сложнее правил игр, но они  тоже просты. Формально их можно  изложить за час-два, но научиться хорошо "играть" не так просто: подчас это требует всей жизни. Правила "игры природы" - это фундаментальные  законы механики и физики: законы Ньютона, законы электродинамики Фарадея-Максвелла, уравнения квантовой механики Шрёдингера и общей теории относительности  Эйнштейна, а также законы химии  и биологии, которые следуют из общих законов механики и физики, но не всегда понятно как.

То, к чему применяются  эти простые правила и законы или посредством чего осуществляются, - это окружающие нас объекты природы, которые мы в своем сознании имитируем  идеализированными моделями. Эволюция человеческой мысли привела к  тому, что для этой имитации создан специальный математический язык и  окружающие нас объекты - части природы - описываются математическими моделями. Математические модели могут быть очень  простыми, простыми, сложными и очень  сложными. Очень простые - это, например, геометрическая или материальная точка, точечный заряд. Простые - это те, о которых я буду вам рассказывать, сложные и очень сложные - это в принципе такие же, как простые, но много или очень много сложнее. Иерархия математических моделей подобна зданию, сложенному из очень простых частей: кирпичей, железных изделий, цемента, дерева, стекла и многого другого. Очень простые модели - это простейшие части, из которых сложено здание, простые - это его некоторые части, состоящие из очень простых, сложная модель - все здание и очень сложная - это целый город из зданий.

Можно думать, что  возрастающим по сложности реальным системам и объектам отвечают все  более и более сложные их модели. Но это не так. Сложному и очень  сложному реальному объекту могут  соответствовать простые модели. Дело в том, что модель не обязана  описывать все происходящее в  объекте во всех его деталях. Она  может описывать лишь кое-что, и  в первую очередь самое главное  и нам интересное или важное. Так, моделью города может быть его  карта, моделью земного шара - глобус. Вот о таких простых моделях  сложных и очень сложных объектов пойдет речь ниже.

ЗАГАДКА КАСПИЙСКОГО  МОРЯ

Черное и Каспийское моря произошли от одного древнего моря, которое было потом разделено Кавказскими горами на две части. Каспийское море замкнутое, Черное вытекает через Босфор и Дарданеллы в Средиземное море. Несмотря на это, Черное море намного солонее Каспийского. Это кажется необъяснимым, но вспомним, что у Каспийского моря есть залив Кара-Богаз-Гол. На первый взгляд кажется, что это ничего не меняет: ведь оно по-прежнему остается замкнутым. Однако это не так, поскольку перемешивания вод Каспийского моря и залива не происходит: вода из Каспия все время течет в залив. Может ли это привести к опреснению Каспия? Попробуем получить ответ на этот вопрос, построив соответствующую математическую модель. Учтем, что реки несут в Каспий чуть-чуть солоноватую воду, вода из Каспия перетекает в залив и там, как и в Каспии, испаряется. Обозначим: Q - общий приток вод в Каспий, I - превышение испарения над дождями в Каспии и I1 - в заливе, q - интенсивность перетекания воды из Каспия в Кара-Богаз-Гол. Тогда, очевидно, скорости и изменения объемов V и V1 в Каспии и заливе соответственно

И Каспий и залив уже давно наполнились, и объемы воды лишь незначительно меняются в зависимости от погоды и времени года. Пренебрегая этими очень малыми изменениями, будем считать , что влечет равенства

Q - I - q = 0, q + I1 = 0,

означающие уравновешенность притоков и оттоков воды в Каспии и заливе. При этом объемы воды в  Каспии и заливе достигают некоторых  равновесных величин V * и .

Воды рек приносят в Каспий соли. Пусть n - соленость вод рек, тогда соль прибывает в Каспий с интенсивностью Qn, а в залив - с интенсивностью qm, где m - соленость воды Каспия. Согласно этому, скорости изменения и количеств солей M и M1 в Каспии и заливе, очевидно, составляют

Из второго соотношения (3) следует, что количество солей  в заливе со временем неограниченно  растет. Как мы знаем, в заливе концентрация солей давно достигла насыщения  и тысячелетиями осаждается на дне  залива, образуя громадные залежи. Количество же солей в Каспии возрастает до тех пор, пока приток солей превышает  их отток qm. Увеличение солености Каспия замедляется с ростом его солености m и прекращается, достигнув равновесного значения, когда

Qn - qm = 0,

то есть когда  соленость m Каспия достигает равновесного значения m*, равного

Найти эту величину кажется очень трудно: нужно знать объем приносимой реками воды и ее соленость, нужно знать, сколько воды перетекает из Каспия в залив. Конечно, все это можно узнать, но совсем непросто. Но, оказывается, это не нужно. Действительно, из первого соотношения (2) следует, что Q = I + q, и поэтому

Далее из второго  соотношения (1) видно, что q = I1 , и поэтому

I / I1 - это отношение  интенсивностей испарения воды  в Каспии и заливе. Грубо приближенно  это соотношение равно отношению  площадей Каспия и залива, то  есть

Размеры Каспия примерно в 40 раз превышают размеры залива Кара-Богаз-Гол, так что m* ї 40n. Это даже меньше, чем соленость Каспия сегодня. То есть сегодня залив Кара-Богаз-Гол опресняет Каспийское море и делает это уже довольно давно. Это и объясняет, почему Каспийское море менее соленое, чем Черное, и дальше будет еще менее соленым. Но это в геологических масштабах времени.

Из рассказа, возможно, вы и не увидели, где же математическая модель и что, собственно, она описывает. Описывает она баланс вод и  солей в море и его заливе, а  сама модель - это дифференциальные уравнения (1) и (3). Первое уравнение (1) рассказывает, как меняются объемы воды в море и заливе, а второе (3) - как меняется в них количество солей.