Уравнение авторегрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н₀ – гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков;

Н₁ – гипотеза о наличии положительной автокорреляции остатков;

Н^*₀ – гипотеза о наличии отрицательной автокорреляции остатков;

 

Выдвинутые гипотезы принимаются  или отклоняются с вероятностью (1-α) в зависимости от того, в какой  отрезок попадает значение критерия d:

0<d<d_L – гипотеза Н₁, есть положительная автокорреляция остатков;

d_L<d<d_U – зона неопределенности;

d_U<d<4-d_U – принимается гипотеза Н0, автокорреляция остатков отсутствует;

4-d_U<d<4-d_L - зона неопределенности;

4-d_L<d<4 - принимается гипотеза Н^*₀ , есть отрицательная автокорреляция остатков;

Зададим уровень значимости α=0,05; по таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений n=9 и числа независимых переменных модели k¹=2 критические значения: d_L=0,63; и d_U=1,7.

Получим следующие промежутки внутри интервала [0;4]:

0         d_L=0,63       d_U=1,7  2          4- d_U=2,3     4- d_L=3,37        4 

 

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для этой модели

  

попадает в промежуток d_U<d=1,75<4-d_U, то есть принимается гипотеза Н0, автокорреляция остатков отсутствует.

7. Рассчитаем параметры линейного уравнения авторегрессии с тремя факторами x_t , y_t-1 и t.

Уравнение авторегрессии с учетом фактора времени t:

Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных.

Построим в стандартизованном масштабе:

Стандартизованные коэффициенты β₁,β₂, β₃ найдем из системы:

 

 

Составим расширенную матрицу  и решим систему уравнений  методом Гаусса:

Перепишем систему  уравнений в матричном виде и  решим его методом Гаусса

	1	0.93	0.92	0.98
	0.93	1	0.94	0.96
	0.92	0.94	1	0.9

 

от 2; 3 строк  отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 0.93; 0.92

	1	0.93	0.92	0.98
	0	0.1351	0.0844	0.0486
	0	0.0844	0.1536	-0.0016

 

2-ую строку  делим на 0.1351

	1	0.93	0.92	0.98
	0	1	844/1351	486/1351
	0	0.0844	0.1536	-0.0016

 

от 1; 3 строк  отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 0.93; 0.0844

	1	0	458/1351	872/1351
	0	1	844/1351	486/1351
	0	0	3407/33775	-2159/67550

 

3-ую строку  делим на 3407/33775

	1	0	458/1351	872/1351
	0	1	844/1351	486/1351
	0	0	1	-2159/6814

 

от 1; 2 строк  отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 458/1351; 844/1351

	1	0	0	2565/3407
	0	1	0	1900/3407
	0	0	1	-2159/6814

 

Ответ:

	β1 = 0,753
	β2 = 0,558
	β3 = -0,317

 

Проверка найденного решения.

Подставим найденные параметры  β₁,β₂, β₃ в третье уравнение системы:

Уравнение в стандартизованном  масштабе:

 

Для построения уравнения в естественной форме вычислим коэффициенты b₀,c₁ ,c₂ и а.

Уравнение в естественной форме:

 

8. Оценим тесноту связи совместного влияния факторов - x_t , y_t-1 и t на результат y_t с помощью показателя множественной корреляции  R_{yt, xt, yt-1} и его квадрата - коэффициента детерминации R²_{yt, xt, yt-1.}

Коэффициент множественной корреляции:

Коэффициент множественной детерменации:

Вывод. Так как

 

 То зависимость y_t от x_t,y_t-1 характеризуется как сильная (тесная), в которой 98,35% государственных расходов (y_t) определяются вариацией учтенных в модели факторов: реальным объемом чистого экспорта (x_t) и государственными расходами с запаздывнием (лагом) на 1 период (y_t-1, τ=1).  Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 1,65% от общей вариации y_t.

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Оценим статистическую значимость уравнения авторегрессии и коэффициента детерминации R²_{yt, xt, yt-1} с помощью F-критерия Фишера.

Н₀ – гипотеза о статистической незначимости показателя детерминации

R²y_t, x_t, y_t-1(Fфакт=0) и уравнения регрессии в целом.

 

n – общее число наблюдений (n=10); m – число параметров при независимых переменных  x_t ,y_t-1 и t (m=3).

По таблице значения F-критерия Фишера при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k₁=m=3, k₂=n-m-1=10-3-1=6 находим F_кр. – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α: F_кр.=4,76.

Так как  , то гипотеза Н₀ отвергается, то есть статистически значим, как и линейное уравнение авторегрессии с тремя факторами x_t , y_t-1 и t.

10. Оценим с помощью частного F-критерия Фишера F_{t част} статистическую значимость присутствия фактора t в уравнении.

Н₀ – гипотеза о несущественности прироста , за счет включения в модель фактора t.

Так как  , то гипотеза Н₀ отвергается, то есть приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообразности включения фактора x_t после фактора y_t-1.

Так как  , то гипотеза Н₀ принимается, то есть приходим к выводу о статистической незначимости приростf за счет включения в модель фактора tпосле фактора x_t, y_t-1.

11. Оцените статистическую значимость коэффициента c₂ линейной авторегрессионной модели с помощью t-критерия Стьюдента.

Н₀ – гипотеза о статистической незначимости коэффициентов (о равенстве их нулю).

По таблице критических точек  распределения Стьюдента, по заданному  уровню значимости  α=0,05 и числу степеней свободы k=n-m-1=10-3-1=7 определяем t_кр. для двухсторонней критической области:  t_кр.=2,4469.

;

Вывод. Так как  , то гипотеза Н₀ принимается, то есть для уравнения линейной авторегрессии является статистически незначимым.

 

12. Оцените целесообразность включения в модель фактора времени t.

Вычислим скорректированный коэффициент  множественной детерменаци:

 
Для авторегрессионной модели с двумя факторами

Для авторегрессионной модели с тремя факторами

Вывод. Так как , но незначительно (0,0073), то включать в модель с двумя факторами , которая является статистически значимой и имеет статистически значимые коэффициенты, дополнительно третий фактор t – нецелесообразно.