Типы множителей

Каждому из указанных типов  множителей знаменателя соответствуют простейшие рациональные дроби, а именно:

 -- простейшая дробь первого типа;

, где  , -- простейшая дробь второго типа;

 -- простейшая дробь третьего типа;

, где  , -- простейшая дробь четвёртого типа.  
Здесь и  -- некоторые постоянные.

Любая правильная дробь  раскладывается в сумму простейших дробей указанных четырёх типов.

Если в знаменателе  дроби  имеется множитель , то разложение будет содержать слагаемое в виде простейшей дроби первого типа , где  -- некоторое число.

Если имеется множитель  , где , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида , где , -- это простейшие дроби второго и (последняя) первого типа. (Следует заметить, однако, что непременно присутствует в разложении лишь слагаемое со старшей степенью, равной ; может оказаться, что некоторые, или даже все, остальные слагаемые имеют числители .)

Если в знаменателе  имеется множитель  , то разложение будет содержать слагаемое, равное соответствующей простейшей дроби третьего типа, , где и  -- некоторые числа.

Наконец, если имеется множитель  , где , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида , где ; -- это простейшие дроби четвёртого и (последняя) третьего типа. В разложении непременно присутствует лишь слагаемое со старшей степенью, равной , а остальные слагаемые могут в некоторых случаях оказаться равными 0.

Сказанное можно выразить формулой, дающей разложение правильной дроби в сумму простейших дробей:

(2.4)

 

где  -- некоторые постоянные. Эти постоянные отыскивают методом неопределённых коэффициентов, выписав разложение (2.4) в соответствии с видом разложения на множители знаменателя дроби .

Для отыскания неизвестных  постоянных методом неопределённых коэффициентов нужно, выписав разложение в сумму простейших дробей по формуле (2.4), привести к общему знаменателю сумму, стоящую в правой части. Заметим, что этот общий знаменатель, очевидно, равен . Получим, что в левой и правой части равенства стоят дроби с одинаковыми знаменателями; значит, и числители у них также тождественно равны. Числитель в правой части содержит неизвестные постоянные , а числитель левой части -- нет.

Далее можно действовать  одним из двух способов: либо, воспользовавшись тем, что числители тождественно равны друг другу, подставлять в  тот и в другой некоторые "удобные" значения и получать значения постоянных или линейные уравнения, которым они удовлетворяют; либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей: эти коэффициенты также совпадают вследствие тождественности числителей. Это также будет давать линейные уравнения, которым должны удовлетворять неизвестные коэффициенты. Оба описанных способа получения соотношений между коэффициентами можно комбинировать друг с другом так, чтобы найти коэффициенты наиболее удобным способом.

Приведём пример.         

Пример 2.11   Разложим рациональную дробь

в сумму простейших дробей и вычислим .

Заметим, что в знаменателе  этой дроби стоит многочлен  , для которого в предыдущем примере мы нашли разложение на множители: . Поэтому сумма будет состоять из двух слагаемых: простейшей дроби первого типа, соответствующей линейному множителю , и простейшей дроби третьего типа, соответствующей квадратичному множителю . Итак, вид разложения таков:

серия, соответствующая  , состоит из 1 слагаемого; серия, соответствующая , также содержит только 1 слагаемое. Через и обозначены неизвестные пока постоянные.

Для нахождения этих постоянных приведём правую часть к общему знаменателю:

Поскольку дроби в левой  и в правой частях этого равенства  тождественно равны и имеют одинаковые знаменатели, то тождественно равны  и их числители³:

Это равенство верно при  всех значениях  , в том числе и при . Подставим в левую и правую часть равенства и получим:

Последняя скобка равна 0, так  что получаем: откуда

Других "удобных" значений , то есть таких, чтобы какая-либо скобка в правой части обращалась в 0, больше нет, ведь квадратный трёхчлен , как мы проверяли ранее, не имеет вещественных корней. Так что далее мы можем либо подставлять "не вполне удобные" значения , вроде , либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях. Пойдём комбинированным путём: сначала подставим (заметим, что это -- то же самое, что приравнять друг к другу свободные члены левой и правой частей):

Это даёт нам равенство 

Поскольку уже известно , получаем:

Наконец, приравняем коэффициенты при : в левой части коэффициент равен 5, а в правой, после раскрытия скобок, он оказывается равным , так что , откуда

Итак, все три неизвестных  коэффициента найдены, и получено разложение

Теперь мы можем представить  интеграл от дроби  в виде:

Интеграл в первом слагаемом -- табличный:

(Здесь и далее  -- уже не найденный выше коэффициент разложения, а произвольное постоянное слагаемое.) В знаменателе дроби во втором интеграле выделим полный квадрат:

и сделаем замену :

Последний интеграл -- табличный:

а в предыдущем интеграле  нужно сделать замену , откуда и , так что этот интеграл приводится к виду . Итак,

Учитывая, что  и , получаем окончательно:

    

 

 

        Замечание 2.4   Если исходная правильная дробь является чётной функцией от , то есть содержит в числителе и знаменателе⁴ одни лишь чётные степени , то и в правой части разложения достаточно оставить одни лишь чётные относительно слагаемые. Действительно, если дробь имеет вид , где и  -- многочлены от переменного , то мы можем разложить на сумму простейших дробей правильную дробь , а потом подставить в каждом из слагаемых разложения вместо . Очевидно, что тогда все эти слагаемые, зависящие только от , будут чётными функциями. Например, разложение правильной дроби

следует отыскивать в виде

а не в виде

поскольку слагаемые  и  -- нечётные функции от . Тем самым нам надо будет отыскать всего два неизвестных коэффициента и вместо четырёх: и .

Точно так же, в случае когда   -- нечётная функция от , в искомом разложении можно оставить одни лишь нечётные слагаемые: например, разложение дроби

следует искать в виде

вместо 

сэкономив на поиске чётных слагаемых  и , коэффициенты которых и всё равно окажутся равны 0.     

Разобранный выше пример 2.11 показывает, что после разложения правильной дроби в сумму простейших дробей интегрирование сводится к интегрированию полученных простейших дробей. Разберём интегрирование всех четырёх типов простейших дробей по порядку.

Интегрирование простейшей дроби первого типа сводится к  применению табличной формулы:

Интегрирование простейшей дроби второго типа сводится к  табличной формуле после замены вида :

Интегрирование простейшей дроби третьего типа выполняется  с помощью выделения в знаменателе  полного квадрата и разбиения  интеграла на два слагаемых, которые  вычисляются как было показано выше в примере:

 

где и . Осталось подставить :

Разумеется, заучивать полученную формулу не нужно, а нужно научиться  выполнять для конкретных примеров все указанные преобразования.

Интегрирование простейшей дроби четвёртого типа также начинается с выделения в знаменателе  полного квадрата и замены , после чего интеграл приводится к виду , где . Разбиваем этот интеграл на два слагаемых:

Первый из интегралов легко  вычисляется заменой  :

Для второго интеграла,

мы можем получить формулу  понижения степени, если преобразуем  его следующим образом:

	(2.4*)
	(2.5)

 

Последний интеграл преобразуем, применив формулу интегрирования по частям:

 

Подставив это выражение  в (2.4*), получаем:

Это и есть формула понижения  степени, сводящая вычисление интеграла  к вычислению интеграла . Если , то интеграл  -- табличный; если же , то для вычисления нужно снова применить формулу понижения степени, и так до тех пор, пока не получится тот же табличный интеграл .         

Пример 2.12   Вычислим интеграл

Сделав замену , получаем:

В первом из двух слагаемых  сделаем замену и получим:

Во втором слагаемом применим описанный выше метод понижения  степени:

 

Для вычисления ещё раз применим тот же самый приём:

 

Поскольку

имеем

и

 
    

 

Приведём теперь пример на интегрирование правильной рациональной дроби общего вида:         

Пример 2.13   Вычислим интеграл

Под знаком интеграла -- правильная дробь, поскольку степень числителя, равная 4, меньше степени знаменателя, равной 5. Разложим на множители знаменатель дроби. Это можно сделать, например, группировкой слагаемых:

если учесть, что 

Значит, в разложении дроби 

в сумму простейших дробей будут получаться следующие серии  слагаемых: множителю  знаменателя будет соответствовать серия из двух слагаемых, второго и первого типа:

множителю  -- одно слагаемое первого типа:

множителю  -- одно слагаемое третьего типа:

Итак, ищем методом неопределённых коэффициентов разложение подынтегральной  дроби в виде

Приводим правую часть  к общему знаменателю. Этот общий  знаменатель равен  , так что

 

Поскольку должны быть тождественно равны эти две дроби с одинаковыми  знаменателями, приравниваем числители:

 

Из этого соотношения  мы должны найти неизвестные коэффициенты Для этого сначала используем подстановку "удобных" значений , то есть и , которые обращают в 0 скобки и соответственно. При получаем: откуда

При получаем: откуда

Больше "удобных" значений нет. Подставим , то есть приравняем свободные члены левой и правой частей: С учётом того, что и , получаем уравнение

Теперь начнём приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях. Приравниваем коэффициенты при : С учётом получаем второе уравнение:

Теперь приравняем коэффициенты при : или

Получили систему из трёх линейных уравнений для трёх неизвестных  :

Решая эту систему, получаем

Подставляя найденные  коэффициенты, получаем конкретный вид  разложения дроби в сумму простейших:

Значит,

 

Заметим, что ввиду того, что подынтегральная функция  имеет разрывы при и , слагаемое означает в данной формуле кусочно постоянную функцию, принимающую постоянные (но, может быть, различные) значения на интервалах , и .