Теория вероятности

Вариант 1

Задание 1

Из 40 вопросов  курса высшей математики студент знает 32. На экзамене ему случайным образом предлагаются два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно:

а) хотя бы на один вопрос;

б) на оба вопроса?

Решение: 

Для определения искомых вероятностей воспользуемся формулой классической вероятности:

,

где - число благоприятных событию исходов;

- число всевозможных  исходов.

а) Пусть - событие, состоящее в том, что из двух предложенных вопросов, студент ответит на хотя бы одни из них. Противоположное событие для события состоит в том, что студент не ответит ни на один из двух вопросов.

Найдем число всевозможных исходов события . Число всевозможных исходов равно числу сочетаний из 40 элементов по 2, т.е.

.

Найдем число благоприятных исходов события . Студент не знает вопросов. Значит, число благоприятных исходов событию равно:

.

Следовательно, вероятность события равна:

б) Пусть - событие, состоящее в том, что студен ответит на оба вопроса.

Число благоприятных исходов события равно:

.

 Число всевозможных  исходов равно:

.

Следовательно, вероятность события равна:

Ответ: а) б)

 

 

 

 

Задание 2

При высаживании рассады помидоров только 80% приживается. Найти вероятность того,  что из шести высаженных растений приживется не менее пяти.

Решение:

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

.

В нашем случае . Вероятность того, что растение приживется, равна . Тогда .

Следовательно, искомая вероятность равна:

.

Ответ: .

 

 

 

Задание 3

Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо киоска в течении часа:

а) купят газету 90 человек;

б) не купят газету от 300 до 340 человек (включительно).

Решение:

а) Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

,

где ;

.

В нашем случае вероятность наступления события (человек купит газету) равна , тогда .

Вероятность того, что из 400 человек газету купят 90, равна:

б) Для определения искомой вероятности воспользуемся теоремой Муавра-Лапласа:

где - функция Лапласа.

В нашем случае: Вероятность того, что человек не купит газету равна

Тогда

Следовательно, имеем:

Ответ: а) ; б) .

 

 

 

 

Задание 4

Пункт охраны связан с тремя охраняемыми объектами. Вероятность поступления сигнала с этих объектов составляет 0,2, 0,3 и 0,6, соответственно.

Составить закон распределения случайной величины – числа объектов, с которых поступит сигнал.

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение:

Случайная величина может принимать четыре значения: - сигнал не поступит ни с одного объекта, - сигнал поступит с одного объекта, - сигнал поступит с двух, трех объектов, соответственно.

Найдем вероятности каждого значения СВ .

Пусть - сигнал поступит с -го объекта соответственно. Противоположные события - сигнал не поступит с -го объекта.

По условию задачи:

.

Тогда

.

События - независимые события.

Следовательно, имеем:

Следовательно, ряд распределения дано СВ имеет вид:

xi	0	1	2	3
рi	0,224	0,488	0,252	0,036

Контроль: .

Математическое ожидание данной СВ определяется по формуле:

Дисперсию данной случайной величины определим по формуле:

Ответ: .

 

 

 

Задание 5

Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

Найти:

а) параметр ;

б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины ;

в) функцию распределения и построить ее график.

Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что случайная величина принимает значения на промежутке .

Вычислить эту вероятность с помощью функции распределения. Объяснить различие результатов.

Решение:

Из свойств плотности вероятностей имеем:

Следовательно,

.

Значит, плотность распределения имеет вид:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

Дисперсия равна:

Функцию распределения найдем по ее связи с плотностью вероятностей:

.

При имеем .

При имеем

При имеем

Следовательно, функция распределения имеет вид:

Построим график функции :

Неравенство Чебышева имеет вид:

.

Необходимо оценить вероятность попадания CВ в интервал , т.е.

.

Учитывая то, что , то это неравенство можно записать в виде:

.

Следовательно, имеем:

.

Таким образом, вероятность попадания данной случайной величины в интервал больше .

Найдем вероятность попадания данной CВ в интервал . Воспользуемся формулой:

.

Следовательно, имеем:

.

Неравенство Чебышева пользуются в тех случаях, когда для случайной величины не известны все параметры. Тогда пользуясь им можно приблизительно показать поведение этой случайной величины.

Формула попадания случайной величины в заданный интервал использует точные сведения о случайной величине, т.е. функцию распределения, которая зависит от плотности распределения – главного параметра любой CВ. Поэтому эта формула дает точный результат.

При использовании неравенства Чебышева мы показали, что искомая вероятность больше значения . При точном подсчете мы нашли точное значение этой вероятности и убедились, что это значение действительно больше числа .

Ответ: а) ; б) в)

  .