Теория вероятности в математической статистике

Содержание.

 

1) Введение:

     -  Как используются теория вероятностей и математическая статистика? - стр. 2

     -  Что такое «математическая статистика»? - стр. 3

2) Примеры применения теории вероятностей и математической статистики:

     - Выборка. -  стр. 4

     -  Задачи оценивания. – стр. 6

     - Вероятностно-статистические методы и оптимизация. – стр. 7

3) Заключение.

    

   

    

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

  Как используются теория вероятностей и математическая статистика? Эти дисциплины – основа вероятностно-статистических методов принятия решений. Чтобы воспользоваться их математическим аппаратом, необходимо задачи принятия решений выразить в терминах вероятностно-статистических моделей. Применение конкретного вероятностно-статистического метода принятия решений состоит из трех этапов:

          - переход от экономической, управленческой, технологической реальности к  абстрактной математико-статистической  схеме, т.е. построение вероятностной  модели системы управления, технологического  процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и т.п.

          - проведение расчетов и получение  выводов чисто математическими  средствами в рамках вероятностной  модели;

          - интерпретация математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса и т.п.), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и др.).

 

          Математическая статистика использует  понятия, методы и результаты  теории вероятностей. Рассмотрим основные вопросы построения вероятностных моделей принятия решений в экономических, управленческих, технологических и иных ситуациях. Для активного и правильного использования нормативно-технических и инструктивно-методических документов по вероятностно-статистическим методам принятия решений нужны предварительные знания. Так, необходимо знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какую исходную информацию необходимо иметь для его выбора и применения, какие решения должны быть приняты по результатам обработки данных и т.д.  

 

   Что такое «математическая статистика»? Под математической статистикой понимают «раздел математики, посвященный математическим методам сбора, систематизации, обработки и интерпретации статистических данных, а также использование их для научных или практических выводов. Правила и процедуры математической статистики опираются на теорию вероятностей, позволяющую оценить точность и надежность выводов, получаемых в каждой задаче на основании имеющегося  статистического материала». При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

 

          По типу решаемых задач математическая  статистика обычно делится на  три раздела: описание данных, оценивание и проверка гипотез.

 

          По виду обрабатываемых статистических  данных математическая статистика  делится на четыре направления:

 

          - одномерная статистика (статистика  случайных величин), в которой  результат наблюдения описывается действительным числом;

 

          - многомерный статистический анализ, где результат наблюдения над  объектом описывается несколькими  числами (вектором);

 

          - статистика случайных процессов  и временных рядов, где результат наблюдения – функция;

 

          - статистика объектов нечисловой  природы, в которой результат  наблюдения имеет нечисловую  природу, например, является множеством (геометрической фигурой), упорядочением  или получен в результате измерения  по качественному признаку.

 

 

Примеры применения теории вероятностей и математической статистики.

Рассмотрим несколько  примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим инструментом для решения управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных задач. Так, например, монетка, которую используют как жребий, должна быть «симметричной», т.е. при ее бросании в среднем в половине случаев должен выпадать герб, а в половине случаев – решетка (решка, цифра). Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает гербом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100000 бросаний окажется 40000 гербов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.

 

Рассматриваемый пример может  показаться недостаточно серьезным. Однако это не так. Жеребьевка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов, например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и т.п.). Допустим, необходимо сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах, т.е. в маслах состава А и В. При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло состава А, а какие – в масло состава В, но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения.

 

Выборка

Ответ на этот вопрос может  быть получен с помощью жребия. Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из нее отбирается выборка. По результатам контроля выборки делается заключение о всей партии. В этом случае очень важно избежать субъективизма при формировании выборки, т.е необходимо, чтобы каждая единица продукции в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть отобранной в выборку. В производственных условиях отбор единиц продукции в выборку обычно осуществляют не с помощью жребия, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.

Аналогичные проблемы обеспечения объективности сравнения  возникают при сопоставлении  различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности и т.п. Всюду нужна жеребьевка или подобные ей процедуры. Поясним на примере выявления наиболее сильной и второй по силе команды при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Пусть всегда более сильная команда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал тогда и только тогда, когда до финала у нее не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра будет запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадет. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя ее в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьевку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4/7. Соответственно с вероятностью 3/7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно. 

При любом измерении  единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра и т.п.) имеются  погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо сделать многократные измерения единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.

 

          Поэтому встает вопрос, как по результатам измерений узнать, есть л систематическая погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к предыдущей. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты, положительную погрешность – с выпадением герба, отрицательную – решетки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты. 

 

Целью этих рассуждений  является сведение задачи проверки отсутствия систематической погрешности к  задаче проверки симметричности монеты.  Проведенные рассуждения приводят к так называемому «критерию  знаков» в математической статистике. 

«Критерий знаков» (sign test) — статистический критерий, позволяющий проверить нулевую гипотезу, что выборка подчиняется биномиальному распределению с параметром p=1/2 . Критерий знаков можно использовать как непараметрический статистический критерий для проверки гипотезы равенства медианы заданному значению (в частности, нулю), а также отсутствия сдвига (отсутствия эффекта обработки) в двух связных выборках. Он также позволяет проверять гипотезу симметричности распределения, однако для этого существуют и более мощные критерии — одновыборочный критерий Уилкоксона и его модификации. 

  

При статистическом регулировании технологических  процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила  и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приемочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений, на основе которых можно ответить на поставленные выше вопросы. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определенному числу р0, например, р0 = 0,23. 

 

Задачи оценивания.

В ряде управленческих, производственных, экономических, народнохозяйственных ситуаций возникают задачи другого  типа – задачи оценки характеристик и параметров распределений вероятностей.

 

  Рассмотрим  пример. Пусть на контроль поступила  партия из N электроламп. Из этой  партии случайным образом отобрана  выборка объемом n электроламп.  Возникает ряд естественных вопросов. Как по результатам испытаний элементов выборки определить средний срок службы электроламп и с какой точностью можно оценить эту характеристику? Как изменится точность, если взять выборку большего объема? При каком числе часов Т можно гарантировать, что не менее 90% электроламп прослужат Т и более часов?

 

          Предположим, что при испытании  выборки объемом n электроламп  дефектными оказались Х электроламп.  Тогда возникают следующие вопросы.  Какие границы можно указать  для числа D дефектных электроламп  в партии, для уровня дефектности D/N и т.п.?

 

          Или при статистическом анализе  точности и стабильности  технологических  процессов надлежит оценить такие  показатели качества, как среднее  значение контролируемого параметра  и степень его разброса в  рассматриваемом процессе. Согласно теории вероятностей в качестве среднего  значения случайной величины целесообразно использовать ее математическое ожидание, а в качестве статистической характеристики разброса – дисперсию, среднее квадратическое отклонение или коэффициент вариации. Отсюда возникает вопрос: как оценить эти статистические характеристики по выборочным данным и с какой точностью это удается сделать? Аналогичных примеров можно привести очень много. Здесь важно было показать, как теория вероятностей и математическая статистика могут быть использованы в производственном менеджменте при принятии решений в области статистического управления качеством продукции. 

 

   Вероятностно-статистические методы и оптимизация. Идея оптимизации пронизывает современную прикладную математическую статистику и иные статистические методы. А именно, методы планирования экспериментов, статистического приемочного контроля, статистического регулирования технологических процессов и др. С другой стороны, оптимизационные постановки в теории принятия решений, например, прикладная теория оптимизации качества продукции и требований стандартов, предусматривают широкое использование вероятностно-статистических методов, прежде всего прикладной математической статистики.