Теория вероятности и математическая статистика

Так как  , делаем вывод, что нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном распределении.

Построим нормальную кривую. Для этого из середин частичных  интервалов восстановим перпендикуляры высотой  и соединим их плавной кривой.

Сравнение гистограммы и  нормальной кривой показывает, что нормальная кривая очень хорошо сглаживает гистограмму относительных частот.

 

Найдем интервальные оценки параметров нормального закона распределения:

По заданной доверительной  вероятности  и числу степеней свободы квантиль .

Вычислим предельную погрешность  интервального оценивания:

Искомый доверительный интервал для математического ожидания равен:

 

Для нахождения доверительного интервала, накрывающего среднее квадратическое отклонение с заданной надежностью 0,95 найдем γ₁=0,878 и γ₂=1,161.

Искомый доверительный интервал равен:

 

 

Задача №93

 

Решение:

 

1. Корреляционная таблица:

 

X  /  Y	3.4	3.8	4.2	4.6	ny
3.2	6	4	0	0	10
3.6	2	8	3	0	13
4.0	0	5	10	1	16
4.4	0	0	6	5	11
nx	8	17	19	6	50

 

 

2. Выборочные средние:

_{Дисперсии:}

 

 

_{Результаты  вычислений сведем в  таблицы:}

 

 

 

 

Определим коэффициент корреляции:

 

(3.4•3.2•6 + 3.8•3.2•4 + 3.4•3.6•2 + 3.8•3.6•8 + 4.2•3.6•3 + 3.8•4.0•5 + 4.2•4.0•10 + 4.6•4.0•1 + 4.2•4.4•6 + 4.6•4.4•5)/50 - 3.98 • 3.82 = 0.12

3. Общий вид функции регрессии:

 

Уравнение линейной регрессии  с y на x имеет вид:

 

Уравнение линейной регрессии  с x на y имеет вид:

 

 

 

4. Запишем уравнения линий регрессии y(x):

 

и вычисляя, получаем:

y_x = 0.92 x + 0.17

Запишем уравнения линий  регрессии x(y):

 

и вычисляя, получаем:

x_y = 0.68 y + 1.37

Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (3.98; 3.82) и точки расположены близко к линиям регрессии.

Значимость коэффициента корреляции.

 

По таблице Стьюдента  с уровнем значимости α=0.05 и степенями  свободы k=50-m-1 = 48 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (48;0.025) = 2.009

где m = 1 - количество объясняющих  переменных.

Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.

 

Построим графики функций  регрессии:

 

Y = 0.92x + 0.17

 

 

X = 0.68y + 1.37