Теория статистических решений. Игры с природой

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФИЛИАЛ В Г. ТОБОЛЬСКЕ

 

 

 

 

 

Кафедра математики и информатики

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория принятия решений»

на тему «Теория статистических решений.

Игры с природой».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент группы ИВТ(б)-10

____________

(подпись)

 

 

Руководитель курсового проекта:

______________

(подпись)

 

 

 

 

Тобольск, 2013 г.

 

 

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………….…..3

2. История теории статистических  решений……………………………………5

3. Методологические основы  теории принятия решений……………….……..6

4. Будущее теории принятия решений………………………………………….7

5. Элементы теории статистических решений………………………….………8

6. Игры с природой в условиях определенности………………………………9

7. Игры с природой в условиях неопределенности……………………………11

8. Заключение………………………………………………….……………….…18

9. Список использованной литературы…………………………………………19

 

Введение

 

Искусство принятия наилучших  решений, основанное на опыте и интуиции, является сущностью любой сферы  человеческой деятельности. Наука о  выборе приемлемого варианта решения  сложилась сравнительно недавно, а  математической теории принятия решений - около 50 лет.  
Основы теории принятия решений разработаны Джоном фон Нейманом и Отто Моргенштерном. По мере усложнения задач появилось много различных направлений этой науки, которые имеют дело с одной и той же проблемой анализа возможных способов действия с целью нахождения оптимального в данных условиях решения проблемы.  
Как самостоятельная дисциплина общая теория принятия решений (ТПР) сформировалась в начале 60-х годов, тогда же была сформулирована основная цель этой теории - рационализировать процесс принятия решений. В последующие годы была создана и прикладная теория статистических решений, позволяющая анализировать и решать широкий класс управленческих задач, связанных с ограниченным риском - проблемы выбора, размещения, распределения и т.п.  
В настоящее время теория принятия решений применяется преимущественно для анализа тех деловых проблем, которые можно легко и одназначно формализовать, а результаты исследования адекватно интерпретировать. Так, например, методы ТПР используют в самых различных областях управления - при проектировании сложных технических и организационных систем, планировании развития городов, выборе программ развития экономики и энергетики регионов, организации новых экономических зон и т.п.  
Необходимость использования подходов и методов ТПР в управлении очевидна: быстрое развитие и усложнение экономических связей, выявление зависимости между отдельными сложными процессами и явлениями, которые раньше казались не связанными друг с другом, приводят к резкому возрастанию трудностей принятия обоснованных решений. Затраты на их осуществление непрерывно увеличиваются, последствия ошибок становятся все серьезнее, а обращение к професиональному опыту и интуиции не всегда приводит к выбору наилучшей стратегии. Использование методов ТПР позволяет решить эту проблему, причем быстро и с достаточной степенью точности.  
В курсе “Теория принятия решений" особое внимание сосредоточено на способах решения конкретных практических задач. Минуя сложную математику, которая лежит в основе методов принятия решений, слушатели знакомятся со всеми основными достижениями в прикладной ТПР - от возможных способов моделирования до принципов оптимальности выбранного решения.  
В результате изучения дисциплины студент ориентируется в классах задач ТПР, может грамотно сформулировать задачу в терминах ТПР и адекватно ее формализовать, обоснованно выбрать методы для решения поставленной задачи, сформулировав принципы оптимальности для выбора окончательного решения, и правильно интерпретировать полученные результаты решения задачи. 

 

История развития теории статистических решений

 
  Трудно проследить весь путь развития теории принятия решений от ее возникновения до наших дней, поскольку за это время изменялись как содержание теории, так и название. В основу этой теории положена концепция, связывающая такие понятия, как субъективная вероятность и полезность. Большим вкладом в изучение проблемы неопределенности явилась работа, посвященная структуре субъективной вероятности. Современная теория полезности для принятия решений в условиях неопределенности разработана независимо двумя авторами — фон Нейманом и Моргенштерном. Они постулировали ряд аксиом, похожих на аксиомы следующего раздела (используя только объективные вероятности), и показали, что каждому возможному исходу можно поставить и соответствие некоторую полезность. В соответствии с их аксиомами лицо, принимающее решение, должно всегда выбирать альтернативу с максимальной ожидаемой полезностью. Этот результат часто называют гипотезой ожидаемой полезности. 
 В 1950 г. появилась классическая работа Вальда по статистическим проблемам принятия решений, где доказан ряд важных результатов статистической теории принятия решений на основе теорем теории игр. Хотя вместо теории полезности автор использовал критерий ожидаемых потерь, понятие, «полезность» легко вводится в его теоретическую схему при помощи небольшой модификации. Упомянутая работа проливает свет на одну сложную проблему, а именно как численно выразить неформальную информацию в модели мира. Школа ученых по статистике и теории принятия решений, куда входят Маршак, Чернов и Рубин, отстаивает использование субъективной вероятности в качестве инструмента для решения задач принятия решений. 
 После создания основ теории многие исследователи начали применять ее к хорошо сформулированным с математической точки зрения задачам, включающим различные неопределенности и возможности для получения выборки или экспериментирования. Результаты этих исследований, основанные на работах предыдущих авторов, образовали направление, известное как байесовская, или статистическая, теория принятия решений. В начале 60-х годов несколько ученых этого направления, главным образом из Harvard Business School, вместе со своими коллегами начали использовать упомянутые теоретические работы для анализа реальных деловых проблем, которые включали неопределенности различного рода, причем иногда была возможность получения выборки и проведения эксперимента, а иногда такая возможность отсутствовала. Результатом работ явилось создание прикладной теории статистических решений. Однако когда стало очевидно, что прикладная теория статистических решений пригодна для анализа широкого класса задач принятия решений, то стало ясно, что название теории должно лучше отражать ее прикладной характер. Так, в 1966 г. в литературе и появился термин теория принятия решений. 
Большой вклад в эту теорию внесли работы ученых, занятых изучением поведения людей, принимающих решения.  
 Наряду с теоретическими разработками совершенствовалось искусство применения теории принятия решений. Были созданы более совершенные системы программного обеспечения для решения сложных задач принятия решений, а также процедуры приближенного анализа, которые позволяли экономить время и усилия. Возможно, более важно отметить, что быстро растет количество публикаций по приложениям теории принятия решений. 
                   Методологические основы теории принятия решений

  Здесь изложена методология применения теории принятия решений для анализа проблем принятия решений. По существу, мы проиллюстрируем четвертый этап процесса принятия решений, предполагая, что проблема уже сформулирована и определены полезности и вероятности суждений. 
 Опишем сначала проблему в общих чертах. Лицо, принимающее решение, имеет возможность выбора решений. Предпочтительность выбора того или иного решения зависит от совокупности внешних условий. Например, целесообразность бурения нефтяной скважины зависит от того, есть нефть или нет нефти. Чтобы получить информацию о внешних условиях, лицо, принимающее решение, имеет возможность провести несколько различных экспериментов. Каждый эксперимент требует определенных денежных затрат. Исходы, представляющие интерес для данного лица и зависящие от внешних условий, реализуются в результате этих экспериментов и последующих решений. Однако в момент принятия решения неизвестно, какой исход фактически будет иметь место. Следовательно, хотелось бы, чтобы методология помогла ответить на следующие вопросы: 
 
а) Какое решение является наилучшим при отсутствии экспериментов? 
б) Следует ли лицу, принимающему решение, проводить эксперимент, и если да, то какой является наилучшим? 
в) Какова должна быть максимальная плата, которую стоит платить за отдельный эксперимент? 

 Будущее  теории принятия решений

 
В настоящее время многие специальные приемы и методы теории принятия решений развиты до такой степени, что позволяют охватить большинство трудных вопросов, которые возникают при анализе сложных проблем. Для создания гарантий необходимо разрабатывать более совершенные методологические процедуры, относящиеся к многофакторным предпочтениям, групповым действиям, оценке информации, программному обеспечению и т. д. Нужно стремиться к тому, чтобы успешно применять теорию для решения актуальных проблем, и использовать накопленный опыт для совершенствования «искусства» применения. Проделанная работа будет ненапрасной, поскольку в теории принятия решений заложены возможности, реализация которых позволит значительно улучшить процесс принятия решений в любой сфере деятельности человека.

Элементы теории статистических решений.

 

Предметом рассмотрения данного раздела служат статистические модели  приянятия решений, трактуемые как статистические игры или игры с природой при использовании дополнительной статистической информации о ее стратегиях. Характерная черта статистической игры - возможность получения информации в результате некоторого статистического эксперимента для оценки распределения вероятностей стратегий природы. Исследование механизма случайного выбора  стратегии природой позволяет принять оптимальное решение, которое будет наилучшей стратегией в игре с неантагонистическим противником человека - природой.

В рассмотренных разделах теории игр  предполагалось, что оба противника  (или больше двух) активно противодействуют друг другу, что оба они достаточно умны, чтобы искать и найти свою оптимальную стратегию, и осторожны, чтобы не  отступать от нее. Такое положение дает возможность предсказывать поведение  игроков. Неопределенность была лишь в выборе противником конкретной чистой  стратегии в каждой отдельной партии.

Но возможен случай, когда неопределенность в игре вызвана не сознательным противодейтсвием противника, а незнанием условий, в которых будет приниматься  решение, случайных обстоятельств. Такие игры называются "играми с  природой".

Игра человека с природой тоже отражает конфликтную ситуацию, возникающую  при столкновении интересов в  выборе решения. Но "стихийным силам  природы" нельзя приписать разумные действия, направленные против человека  и тем более какой-либо "злой умысел". Таким образом, корректнее говорить о конфликтной ситуации, вызванной столкновением интересов человека и неопределенностью действий природы.

Действия природы могут как  наносить ущерб, так и приносить  прибыль.  Поведение природы можно оценить статистическими методами, определить присущие ей закономерности. В зависимости от степени знания этих закономерностей, определяющих поведение природы, различаются игры с природой в условиях определенности и игры с природой в условиях неопределенности.

В первых поведение природы известно полностью (заданы вероятностями).  Во вторых - действия природы не известны, или изучены частично.

К явлениям природы, влияющим на результат  решения относят не только погодные и сезонные явления (дождь, засуху, урожай, неурожай), но и проявление любых, не зависящих от нас обстоятельств: например, задержки на транспорте.

Поиском решений в таких ситуациях  и занимается теория статистических решений.

Человек, играя с природой, стремиться максимизировать свой выигрыш, поэтому, если он осторожный игрок ( а теория игр рассматривает именно таких игроков), он должен при выборе своей стратегии руководствоваться тем, что неизвестные или известные ему закономерные действия природы приведут к наименее благоприятным последствиям. Именно поэтому такие игры можно рассматривать как игры двух лиц с нулевой суммой, которые были уже нами рассмотрены.

Формализация задачи происходит следующим  образом: у активного игрока (человека) возможные действия по прежнему называются стратегиями, а возможные действия пассивного игрока (природы) - состояниями или условиями природы.

В качестве первого игрока всегда выступает человек, поэтому в  матрице записывается его выигрыш. Так как нас интересует оптимальная  стратегия человека и его гарантированный  выигрыш, то в игру достаточно определить максиминную стратегию первого игрока и нижнюю цену игры. Определение  верхней цены игры имеет смысл, если даная игра повторяется многократно и оптимальная стратегия может быть смешанной.

Игры с природой в условиях определенности.

  Если у человека, выступающего против природы, есть статистические данные о закономерностях в конкретных проявлениях природы, то задача легко может быть решена вероятностными методами.

Таким образом, если вероятности состояний  природы известны и не  изменяются со временем ( стационарны), определяется решение, которое дает наибольшее математическое ожидание выигрыша против известной стратегии природы - состояния или условия. 

 

Пример. Фирма купила станок за 100 ден.ед.  Для его ремонта можно купить специальное оборудование за 50 ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецобору дования обходится в 10 ед., без спецоборудавания - в 40 ед. Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз: вероятность того, что станок не сломается - 0,3;  сломается 1 раз - 0,4; сломается 2 раза - 0,2;  сломается 3 раза  - 0,1. Требуется определить целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.

Формализация. Первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать и не покупать специализированное ремонтное оборудование. У природы - второго игрока - четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задается платежной матрицей: 

 

	Выход станка из строя
Ремонтное оборудование	ни разу	1 раз	2 раза	3 раза
не купить	-100	-140	-180	-220
купить	-150	-160	-170	-180

Решение. Рассмотрим сначала эту задачу как антагонистическую игру.

В матрице методом  минимакса находим седловую точку: (2,4), таким образом,  x* = ( 0, 1 ),  y* = ( 0, 0, 0, 1 ), v* = - 180 ден.ед.