Теория игр

Составим  уравнение прямой , проходящей через точки (0;5) и (1;1)

 

Решаем  систему уравнений:

 

Откуда  получаем, что x=0,4; y=3,4; то есть т.M(0,4;3,4)

Мы получили, что оптимальная стратегия игрока B равна:

  

 

ЗАДАЧА №3.

Для платёжной  матрицы определить нижнюю и верхнюю  цены игры.

 

 

 

_{Для удобства составим таблицу:}

 

 

	2	5	3	2
	6	4	5	4
	3	7	6	3
	2	3	4	2
	6	7	6	6                  4

 

Из таблицы  видно, что нижняя цена игры , а верхняя цена игры

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В курсовой работе были рассмотрены основные понятия  и элементы теории игр: парная конечная игра и её платёжная матрица, способ нахождения нижней цены игры (максимина) и верхней цены игры (минимакса), а также соответствующие им стратегии (принцип минимакса), наличие седловой точки в игре и цена игры.

В смешанных  стратегиях игр была изучена теорема  Неймана и теорема об активных стратегиях. Была показана геометрическая интерпретация игры 2´2 для игр, имеющих и не имеющих седловой точки; нахождение по графикам оптимальных стратегий игроков и цена игры. Также была приведена матричная игра к задаче линейного программирования, с помощью которой определяются оптимальные стратегии игры m´n и цена игры.

В практической части были решены задания по отысканию платёжной  матрицы, верхней и нижней цены игры, существованию седловой точки. Также была показана геометрическую интерпретацию игры 2´2 и решена экономическая задача по нахождению оптимального спроса и предложения.   

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

• “Исследование операций в экономике” под редакцией Кремера; учебное пособие для экономистов.
• “Исследование операций: Учебник/И.К.Волков; Под редакцией В.С. Зарубина.

Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304

 

• 10 фактов о теории игр 
• Теория игр — статья Миркина Б. Г. на портале «Экономика. Социология. Менеджмент»
• Оуэн, Г. Теория игр
• Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение
• Дж. Д. Вильямс Совершенный стратег или букварь по теории стратегических игр
• Раскин М. А. Введение в теорию игр  // Летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2008.
• Майкл Темплтон  Теория игр

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача1: Критерий Гурвица

Решить игру с  природой по критерию Гурвица, α=0,4 
 
  
 
Решение 
 
а) если А – матрица выигрышей 
 
 
 
б) если А – матрица потерь 
 
 
 
 
 
а) если А – матрица выигрышей, то оптимальной является 3 стратегия 
б) если А – матрица потерь, то оптимальной является 1 стратегия

Задача2: Критерий Лапласа

Решить игру с  природой по критерию Лапласа 
 
  
 
Решение 
 
Основывается на принципе недостаточного обоснования 
 
 
 
а) если А – матрица выигрышей 
 
 
 
б) если А – матрица потерь 
 
 
 
 
 
а) если А – матрица выигрышей, то оптимальной является 4 стратегия 
б) если А – матрица потерь, то оптимальной является 1 стратегия

Задача3: Критерий Сэвиджа

Решить игру с  природой по критерию Сэвиджа 
 
  
 
Решение 
 
Строится матрица R – матрица риска 
 
Элементы находятся по формуле 
 
 
 
 
 
а) если А – матрица выигрышей 
 
 
 
Оптимальной является 2 и 3 стратегии 
 
б) если А – матрица потерь 
 
 
 
Оптимальной является 1 стратегия

Задача4: Критерий Вальда 

Решить игру с  природой по критерию Вальда. 
 
  
 
Решение 
 
Критерий Вальда (максиминный, минимаксный) 
 
а) если А – матрица выигрышей, то выбирается  
 
 
 
 
 
Оптимальной является 3 стратегия 
 
б) если А – матрица потерь, то выбирается  
 
 
 
 
 
Оптимальной является 1 стратегия

Задача5: Метод Брауна

Решить игру методом Брауна, выполнить 20 итераций

 
Решение

h	игрок А				игрок В				Приближенные значения цены
	стра  тегия	Накопл. выигр. В			стра  тегия	Накопл. выигр. А
		В1	В2	В3		А1	А2	А3	Vn1	Vn11	Vnср
1	А1	6	1	4	В2	1	4	3	1	4	2,5
2	А2	8	5	6	В2	2	8	6	5/2	4	13/4
3	А2	10	9	8	В3	6	10	11	8/3	11/3	19/6
4	А3	14	12	13	В2	7	14	14	3	7/2	13/4
5	А2	16	16	15	В3	11	16	19	3	19/5	17/5
6	А3	20	19	20	В2	12	20	22	19/6	11/3	41/12
7	А3	24	22	25	В2	13	24	25	22/7	25/7	47/14
8	А3	28	25	30	В2	14	28	28	25/8	7/2	53/16
9	А2	30	29	32	В2	15	32	31	29/9	32/9	61/18
10	А2	32	33	34	В1	21	34	35	32/10	35/10	67/20
11	А3	36	36	39	В1	27	36	39	36/11	39/11	75/22
12	А3	40	39	44	В2	28	40	42	39/12	21/6	81/24
13	А3	44	42	49	В2	29	44	45	42/13	45/13	88/26
14	А3	48	45	54	В2	30	48	48	45/14	24/7	93/28
15	А2	50	49	56	В2	31	52	51	49/15	52/15	101/30
16	А2	52	53	58	В1	37	54	55	52/16	55/16	107/32
17	А3	56	56	63	В1	43	56	59	56/17	59/17	115/34
18	А3	60	59	68	В2	44	60	62	59/18	62/18	121/36
19	А3	64	62	73	В2	45	64	65	62/19	65/19	127/38
20	А3	68	65	78	В2	46	68	68	65/20	68/20	133/40

А1=1

А2=7

А3=12

Р(А1)=1/20

Р(А2)=7/20

Р(А3)=3/5

В1=4

В2=14

В3=2

Р(В1)=1/5

Р(В2)=7/10

Р(В3)=1/10

W=3,325

p=(1/20, 7/20, 3/5)

q=(1/5, 7/10, 1/10)

Задача6: Решение матричной игры симплекс методом

Решить игру симплекс-методом

 

 
 
Решение 
 
Для первого игрока: 
F=-y1-y2-y3-y4→max 
F=y1+y2+y3+y4→min 
При ограничениях: 
 
 
 
yi ≥ 0,  i = 1,..4 
 
Для второго игрока  
F=х1+х2+х3+х4→max 
При ограничениях: 
 
 
 
хj ≥ 0,  j = 1,..4 
 
Решим симплекс-методом задачу для второго игрока. 
 
Построим симплекс таблицу: 

 

Разрешающий элемент а21=5

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	Р
х5	0	24/5	-7/5	14/5	1	-3/5	0	0	2/5
х1	1	2/5	4/5	2/5	0	1/5	0	0	1/5
х7	0	18/5	11/5	23/5	0	-1/5	1	0	4/5
х8	0	7/5	4/5	-13/5	0	-4/5	0	1	1/5
	0	-3/5	-1/5	-3/5	0	1/5	0	0	1/5

 

 Разрешающий элемент а12=24/5

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	Р
х2	0	1	-7/24	7/12	5/24	-1/8	0	0	1/12
х1	1	0	11/12	1/6	-1/2	1/4	0	0	1/6
х7	0	0	13/4	5/2	-3/4	1/4	1	0	1/2
х8	0	0	29/24	-41/12	-7/24	-5/8	0	1	1/12
	0	0	-3/8	-1/4	1/8	1/8	0	0	1/4

 

 

Разрешающий элемент а43=29/24

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	Р
х2	0	1	0	-7/29	4/29	-8/29	0	7/29	3/29
х1	1	0	0	80/29	4/29	21/29	0	-22/29	3/29
х7	0	0	0	339/29	1/29	56/29	1	-78/29	8/29
х3	0	0	1	-82/29	-7/29	-15/29	0	24/29	2/29
	0	0	0	-38/29	1/29	-2/29	0	9/29	8/29

 

 Разрешающий элемент а34=339/29 

Базис	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	Р
х2	0	1	0	0	47/339	-80/339	7/339	63/339	37/339
х1	1	0	0	0	44/339	91/339	-80/339	-42/339	13/339
х4	0	0	0	1	1/339	59/339	29/339	-78/339	8/339
х3	0	0	1	0	-79/339	-17/339	82/339	60/339	46/339
	0	0	0	0	13/339	50/339	38/339	3/339	104/339