Теоретические основы математики

Понятие дроби и положительного рационального числа (ПРЧ).  
Пусть требуется измерить отрезок а единичным отрезком е.  
Отрезок е укладывается в отрезке а три раза и часть отрезка остается длина отрезка а может быть выражена натуральным числом. . Разделим отрезок е на 4 равные части. Измерим отрезок а отрезком е₁ . а=13е₁ = е. называется дробью. Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причем отрезок е является суммой отрезков равных е₁ . Если отрезок а состоит из m отрезков, равных е₁ , то его длина может быть представлена в виде . Символ называется дробью ( m и n – натуральные числа). Знаменатель дроби m показывает, на сколько равных частей разделили отрезок е. Числитель дроби n показывает, сколько таких частей взяли. Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка и единицы длины е называют равными дробями. Дроби, которые выражают длину одного и того же отрезка равны, т.к. длина отрезка представляется одним числом; поэтому считают, что равные дроби это различные записи одного и того же ПРЧ. ПРЧ - называется класс дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись данного числа. Мн-во ПРЧ обозначают Q₊ . Если ПРЧ а представлено , а ПРЧ в , то а=в тогда и только тогда, когда mq=np. Основное свойство дробей. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже число, то получим дробь разную данной. Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь называют несократимой. 

Умножение и деление ПРЧ. Если ПРЧ а представлено , а ПРЧ в , то произведение ПРЧ а и в представлено .  ав= , если а=,а в= . Законы умножения. Переместительный закон умножения: а∙b=b∙а. Сочетательный закон умножения: (а∙b)∙с=а∙(b∙с) Распределительный закон: а∙(b±с)=а∙b±а∙с. Частным двух чисел ПРЧ называется такое число с, для которого выполняется равенство а:в=с ↔а=вс. Пусть а=,а в= , покажем, что с= . Проверим равенство а=вс.  а=вс = * = = = . Чтобы выполнить деление двух дробей нужно первую дробь умножить на дробь обратную данной. Правило деления: (a · b) : c = a · (b : c) = (a : c) · b - деления произведения на число; (a + b) : c = a : c + b : c - деление суммы на число; (a - b) : c = a : c - b : c - деление разности на число; a : (b ·c) = (a: b) :c = (a : c) : b - деление числа на произведение.

Мн-во ПРЧ как расширение мн-ва нат  чисел. 1 докажем, что N   Q₊ 
Измерим отрезок а отрезком е и получим а=2е. Разобьем отрезок е на 2ч. Измерим отрезок а отрезком е₁. а= . Т.к. мы измерили один и тот же отрезок, то длина его выражена равными числами. Получим, что 2= . Таким образом, 2 мы представили в виде дроби .  
2= N   Q_+. Числа, которые дополняют мн-во нат чисел до мн-ва ПРЧ называют дробными. 2. Покажем, что на мн-ве Q₊ выполняется операция, которая не выполняется на мн-ве N. Покажем, что деление на Q₊ выполнимо всегда: m, n – нат числа; m:n= : = что знак : и черта дроби – это одно и то же. Десятичной называется дробь вида m/10ⁿ, где m и n нат числа. Десятичная дробь имеет особую запись. Напр.: = 0,7; = 0,013.

Сложение и вычитание  положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число в представлено дробью то их суммой называется число а+в представлено дробью .  Закрасим разными цветами этого прямоугольника. синим. А вместе: += 
+ = .  - =    → . - =  
Опр: разностью ПРЧ а и в называется такое число с, которое удовлетворяет условию: а-в=с<->а=в+с. Теорема о существовании разности: Если разность прч существует, то a≥ в. Теорема о единстве разности тоже верна(если разность ПРЧ сущ., то она единственна). Законы сложения: 1. А+в=в+а(перемест) 2. (а+в)+с=а+(в+с) (сочетательный) Законы вычитания: 1. (а+в)-с=(а-с)+в=(в-с)+а   2. А-(в+с)=(а-в)-с=(а-с)-в

1. Докажем, что на мн-ве Q₊ нет наименьшего ПРЧ. (док-во от противного). Предположим, что число наименьшее ПРЧ (m и n нат числа). Для нат чисел существует следующее за ним n+1. Сравним и . Приведем к общему знаменателю:   и   - знаменатели равны, значение дроби зависит от числителя    и . mn+m › mn что больше дробь    . получили противоречие, т.к. наименьшее число наименьшего ПРЧ нет

2.Покажем, что  Q ₊ упорядочено. А: {; ; ; }. R: «меньше». R-антисимметрично на A т.к xRy--->yRx; R транзитивно A т.к   R ; R à R ;  R-отношение порядкаà А-упорядоченное множество. А Q ₊ Q ₊ тоже упорядочено.

3-4. Покажем, что между  двумя ПРЧ, существует  мн-во  других ПРЧ. Напр.: и . Найдем среднее арифметическое этих чисел () . Продолжая аналогичным образом можно найти бесконечное мн-во дробей располож на числовой прямой между числами и . мн-во Q₊  плотно и бесконечно.

Решение задач  на нахождение части числа. 1.длина дороги 20 км. Заасфальтировали 2/5 дороги. Сколько км заасфальтировано? (чертеж) 1.20:5=4(км) 2.4*2=8(км)-дороги заасфальтировали 20:5*2=8(км) Ответ: 8 км дороги заасфальтировали Чтобы найти часть числа, выраженную дробью, надо это число разделить на знаменатель и умножить на числитель дроби. 
Решение задач на нахождение числа по его части.1. Какова длина дороги, если 2/5 ее составл 8 км? 8:2*5=20(км) Ответ:20 км Чтобы найти число по его части, выраж дробью, надо разделить эту часть на числитель и умножить на знаменатель дроби. 
Нахожд. Какую часть одно число составл от другого. Задача: От домика папы Карло до школы 5 км. Буратино прошел 2 км. Какую часть пути он прошел Решение: длина всей дороги 5 км, поэтому 1 км сост 1/5 часть дороги, а 2 км, сост 2/5 длины дороги. Значит буратино  прошел 2/5 всего пути. Чтобы выразить дробью часть, которую одно число составляет от другого, надо 1-е число разделить на второе.