Теоремы теории вероятностей

 

 

 

 

Лекция 4 Теоремы теории вероятностей

 

•  « Теорема о сложении вероятностей»  
  (не совместные события)

  

 

 

 

 

Сначала рассмотрим задачу:

 

• Пример 4.5.
• Известно, что: 
  1-й стрелок имеет -- 80% попаданий в цель; 
  2-й стрелок - 70% попаданий в ту же цель.
• Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно.  
  
• (Цель поражена, если хотя бы одна пуля попала в нее).

 

 

 

 

 

Решения непосредственным  
подсчетом вероятности.

 

• Решение 1. При 100 двойных выстрелах имеем ≈80 попаданий первого. При этом остается ≈ 20 выстрелов, в которых 1-й промахивается. Но 2-й из 10 выстрелов попадает ≈7 раз. Следовательно, в этих 20 выстрелах он может попасть ≈14 раз. Следовательно, мишень остается пораженной в 80+14=94 случаях из 100 и Р(П)=0.94
• Решение 2. В 100 двойных выстрелах 
  1-й стрелок сделает ≈ 20 промахов 
  2-й стрелок сделает ≈ 30 промахов. 
  (Т.е. на 10 выстрелов ≈ 3 промаха).
• Тогда из 20 выстрелов,  в которых промахивается первый стрелок, второй так же сделает в среднем 6 промахов.
• Т.е. из 100 выстрелов ≈ в 6-ти случаях мишень не будет поражена ни первым ни вторым стрелком, а остальные 94 будет поражено. Р(П)=0.94

 

 

 

 

В чем сила «брат»?

 

• Конечно, очень неудобно каждый раз выискивать свой метод решения задачи. Естественно найти способы (правила), знание которых позволяет почти механически (по определенной схеме) решать задачи.  
  Т.е. по вероятностям данных событий находить вероятность других.  
  Именно такие правила дает нам теория вероятностей. 
  Именно в этом её «сила»!

 

 

 

 

Теорема сложения вероятностей. 
(Несовместные события)

 

• Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

 

 

 

 

 
Докажем теорему для схемы случаев, рассматривая сумму двух событий.

 

• Пусть в результате испытания из общего числа n равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания (случаев) событию А благоприятствует m_¹ случаев, а событию - В — m_² случаев

 

 

 

 

 

• Согласно классическому определению
• Так как события А и В несовместные,  
  то ни один из случаев, благоприятствующих одному из этих событий, не благоприятствует другому (см. рис.)
• Поэтому событию А+В будет  благоприятствовать m1+m2 случаев.  
  Следовательно,

 

 

 

 

Расширим доказательство на k попарно несовместных событий

 

• Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, А+В и С, и в силу указанной теоремы

 

 

 

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции

 

 

 

 

Проведем общее рассуждение

 

• Рассмотрим объединение (сумму) событий А и В. 
  Пусть А и В несовместны (AB=Ø).
• Получим

 

• Для k попарно несовместимых событий А1, А2, …, Аk.
• Будем иметь

 

A

 

B

 



 

P(AB)=P(A)+P(B)

 



 

A_¹

 

A_^k

 

A_³

 

A_²

 

A_^j

 

 

 

 

Пример 4.6

 

 

• В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых.  
  Найти вероятность появления цветного шара.
• Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
• Вероятность появления красного шара (событие А) - Р (А) = 10/30= 1/3.
• Вероятность появления синего шара (событие В)  
  - Р(В)= 5/30 =1/6.
• События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
• Искомая вероятность,  согласно (4.1), будет

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.2

 

• Пусть для какого-нибудь стрелка вероятность попасть в область 1
• Р(1)=0.17 т.е. из 100 пуль 17 в 1
• Р(2)=0.24 т.е. из 100 24 в 2
• Выстрел признается «хорошим» если пуля попала в область 2, и «отличным», если пуля попала в область 1.

 

5

 

4

 

3

 

2

 

1

 

• Какова вероятность того, что выстрел будет или «хорошим» или «отличным»? (События несовместны)
• Решение. Искомая вероятность равна 0.41=0.24+0.17 , т.е. равна сумме вероятностей «хорошего» и «отличного» выстрелов.
• Действительно. Из 100 выстрелов  ≈ 17 → в 1,≈  24 → в 2, т.е. в 17+24=41 случаях из 100 пуля попадет в 1 или 2.

 

 

 

 

 

Пример 4.7

 

• Пассажир ждет трамвай №1 и №3 на остановке, где останавливаются трамваи №1, №2, №3 и №4.
• Считая, что трамваи всех маршрутов появляются в среднем одинаково часто, найти вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.
• Решение. Вероятность подойти к остановке первым у каждого трамвая одинакова и равна  ¼.
• Вероятность появления №1 P(1)= ¼  и вероятность появления №3 P(3)= ¼ . Искомая вероятность равна 2/4 (2 из 4-х) или  
  Р(1) + Р(3) = ¼  + ¼ = 2/4.

 

 

 

 

Следствия теоремы сложения

 

• Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих  полную группу, равна единице:
• Р(А) + Р(В) +...+ Р(К) = 1.  
  
•  Если события А,В,...,К образуют полную группу, то они единственно возможные и несовместные.
• Но, так как события А,В,...,К — единственно возможные, то  событие А+В+...+К, состоящее в появлении в результате  испытания хотя бы одного из этих событий, является достоверным, т.е. его вероятность равна единице:
•                    Р(А + В+ ... + K)= 1.
• В силу того, что события А,В,...,К — несовместные, к ним применима теорема сложения (4.1), т.е.
• Р(А + В + ... + К) = Р(А) + Р(В) + ... + Р(К) = 1. 
• В общем случае: Если А1, А2, …, Аk – полная группа, то
•  
           так как

 

 

 

 

 

Пример 4.8

 

• . Пусть вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком до одного года равна 0,13, а при  эксплуатации сроком до 3 лет — 0,36.  
  Найти вероятность выхода  изделия из строя при эксплуатации сроком от 1 года до 3 лет.
• Решение. Пусть события А, В, С — выход из строя  изделий при эксплуатации сроком соответственно до 1 года (A), от 1 года до 3 лет(B) и до 3 лет (C), причем по условию Р(А) = 0,13, P(C) = 0,36.
• Очевидно, что С =А + В, где А и В — несовместные события (не «пересекающиеся отрезки временной оси»).
• По теореме сложения (4.1)  P(C) = Р(А) + Р(В), откуда
• Р(В) = P(C) - Р(А) = 0,36 - 0,13 = 0,23. 

 

 

 

 

Следствия теоремы сложения

 

• Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

                        Р(А) + P(Ā)=1

•  Это утверждение следует из того, что противоположные события образуют полную группу. Тогда вероятность их суммы, согласно следствию 1, равна единице . 
  
• Замечание 1. Часто вероятность одного из двух противоположных событий обозначают через р, а вероятность другого события обозначают через q. Тогда, в силу предыдущей теоремы  
                                  p + g = 1
• Пример 4.9. Пусть, вероятность того, что день будет пасмурным, р=0,7.  
  Найти вероятность того, что день будет ясным.
• Решение. События «день пасмурный» и «день ясный» — противоположные, поэтому искомая вероятность 
               
                  g=1— р = 1— 0,7 = 0,3.

 

 

 

 

 

 

«Нормальные герои всегда идут в обход!»

 

• Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события Ā, а затем найти искомую вероятность по формуле Р(А)=1-Р(Ā).

 

 

Пример 4.10.

 

 

 

 

Решение. Первый способ («в лоб»)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Найдем вероятности событий A, B и С.

 

 

 

 

 

• Подставив эти вероятности в равенство (*) получим:

 

 

 

 

 

 

Второй способ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Внимание!

 

• Следует еще раз подчеркнуть, что  рассмотренная теорема сложения применима только для несовместных событий.
• Цена проверки несовместимости событий при использовании правила сложения очень высока.
• Пренебрежение проверкой может привести к серьезным ошибкам.

 

 

 

 

 

Вернемся к задаче о двух стрелках

 

• Напомним: Вероятность попадания в цель у одного стрелка 80%, у другого 70%. Сделан двойной залп (по одному выстрелу каждый).
• Найти вероятность того, что в цель попадет либо первый, либо второй стрелок.
• Если мы сложим 0.8+0.7=1.5 –явно нелепый результат.
• Причина: здесь правило сложения (4.1) применить нельзя т.к. события совместимы.  
  (В цель могут попасть и оба стрелка)
• Это весьма распространенная ошибка!
• Правильное решение получим при следующей встрече, рассмотрев вторую теорему теории вероятностей.
• А сейчас лишь проанализируем особенности задачи.

 

 

 

 

Когда «оба» – меньше чем  
«по - одному», но больше чем один!

 

• Пусть события А и В совместны. Тогда, как показал пример, уже нельзя утверждать, что 
  P(AB)=P(A)+P(B)
• Действительно: пусть А наступает в m¹ случаях из n, а В – в m² из этих n.
• AB наступает, если или наступает 1 из m¹, или один из m² исходов; но т.к. они не обязательно все различны, то общее число исходов уже может оказаться меньшим чем m1+m2 и следовательно можно утверждать лишь, что