Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,06 ● 0,08 = 0,0048

б) Событие С есть сумма событий А и В. Так как эти событии совместны то,

Р(С)= Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).

Р(С)= 0,06 + 0,08 – 0,0048 = 0,1352

Эту же вероятность можно найти, используя свойство вероятностей противоположных событий

Р(С)= Р (А + В) = 1- Р(АВ) = 1 - Р(А)Р(В)

Р(А) = 1 - Р(А) = 1 – 0,06 = 0,94

Р(В) = 1 – 0,08= 0,92

Р(С) = 1 – 0,94●0,92= 1 – 0,8648 = 0,1352

Ответ: а) Р(АВ) = 0,0048

            б) Р(С) = 0,1352

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Формула полной вероятности

 

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, В2,.. ., Вп, которые образуют полную группу.

Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности

(А), (А), ..., (А) события А.

Как найти вероятность события A? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1,В2,.. ., Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р (A) = Р (B1)

(А) + P (В2) (А)+... +Р(Вп) (А).

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство.

По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий B1,В2,.. ., Вп. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А, ..., ВпА, Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим

                                           P(A)=P(В1А)+P(В2А)+…+P(ВпА). (*) 
Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Р (В1А) = Р (В1) (А); Р (В2А) = Р (В2) (А); ... ; Р (ВnА) = Р (Вn) (А). Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности

P(A)= Р (В1)

(А)+ Р (В2) (А)+…+ Р (Вn) (А).

Пример 1.

 Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.

Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие В1), либо из второго (событие В2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р(В1) = 1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, Р(В2)=1/2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, (А) = 0,8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь (A)=0,9.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь — стандартная, по формуле полной вероятности равна

Р (А) = Р (В1)

(А) + Р (В2) (А) = 0,5*0,8 + 0,5*0,9 = 0,85.

Пример 2.

В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке—10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение.

Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа». Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие B1), либо нестандартная (событие В2).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, Р(В1)=9/10.

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, Р(В2)=1/10. 
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна (А) = 19/21.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна (А) = 18/21.

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

P(A)= Р (В1)

(А)+ Р (В2) (А)=(9/10)*(19/21)+(1/10)*(18/21)=0,9.

 

Пример 3.

Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии,

остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей – 6%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная.

Решение.

Введем полную группу независимых гипотез:

Hi = (Лампа принадлежат i -ой  партии), i =1,2,3 .

Найдем вероятности гипотез по классическому определению вероятностей. Всего ламп 1000, из них 1-ой партии принадлежат 380, то есть Р(Н1)= 380/1000 = 0,38

2-ой партии принадлежат 270, то есть Р(Н2)= 270/1000= 0,27, остальные 1000-380-270=350 ламп принадлежат 3-ей партии, поэтому Р(Н3)= 350/1000 =0,35

Введем событие A = (Лампа бракованная). По условию даны априорные вероятности:

P (А | Н1) = 0,04

P (А | Н2) = 0,03

P(А | Н3)  = 0,06

Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:

P (А | Н1) Р(Н1) + P (А | Н2) Р(Н2) + P (А | Н3) Р(Н3) = 0,38 ●0,04 +0, 27● 0,03 + 0,35● 0,06 = 0,0443.

ОТВЕТ. 0,0443 (или 4,43%).

Пример 4.

Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время

ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Какова вероятность того, что рост спроса действительно произойдет?

Решение.

Введем искомое событие A = (Рост спроса произойдет). Событие может

произойти вместе с одной из двух гипотез:

H1 = (Консультационная фирма дала положительный прогноз о росте),

H2 = (Консультационная фирма дала отрицательный прогноз о росте).

Вероятности P (H1) = 80% = 0,8; P (H2) = 1 – Р(Н1) = 0,2

Условные вероятности P (А | Н1) = 0,95; P (А | Н2) = 0,99

Тогда вероятность события A найдем по формуле полной вероятности:

 Р(А) = P (А | Н1) Р(Н1) + P (А | Н2) Р(Н2)= 0,8● 0,95 +0, 2● 0,99= 0,958.

ОТВЕТ. 0,958.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Данная работа была посвящена изучению основам теории вероятностей и математической статистики. Нами была изучена и проанализирована научно-методическая литература по данной теме. С помощью подобранного материала мы учились решать задачи, на непосредственное вычисление вероятностей.

Таким образом, цель работы была достигнута. На наш взгляд, подобранный и изученный материал по теории вероятности и математической статистики поможет качественно его усвоить, а главное, – осознанно применять полученные знание в своей практической деятельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие для вузов/ В.Е. Гмурман. – 9-е изд., стер.– М.: Высш. Шк., 2003. – 479с.