Статистика и вероятности одного дня Шенталинского рынка

Исследовательская конференция по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

 

 

 

 

Исследовательская работа

 

СТАТИСТИКА И  ВЕРОЯТНОСТИ ОДНОГО ДНЯ ШЕНТАЛИНСКОГО  РЫНКА

 

 

 

 

 

Автор: Деревяшкин Виталий,  

студент 3106 группы

ГБОУ СПО ШМУ

 

 

 

 

Научный руководитель: Панина Л.И.

преподаватель общепрофессиональных дисциплин.

 

 

 

Шентала

2013 г.

 

 

 

Оглавление

Введение………………………………………………………3

Теоретическая часть………………………………………….4

Практическая часть…………………………………………...9

Заключение……………………………………………………16

Список литературы и Интернет-источники  ……………….17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

С древности люди интересовались таким явлением, как  вероятность того или иного события. Когда не было ни часов, ни измерительных  приборов, лишь интуиция и некоторые знания о мире позволяли предугадывать те или иные события, вероятность их совершения или не совершения.

Многие аспекты  нашей современной повседневной жизни не обходятся без теории вероятностей. Пойдет ли дождь, будет ли снег, удастся ли найти нужную вещь - несмотря на научное обоснование вероятности этих явлений, некоторые из них до сих пор остаются на совести случая. Поэтому, теория вероятностей - один из наиболее интересных объектов изучения. Теория вероятностей неразрывно связана с математической статистикой, которая помогает получать данные для нахождения вероятностей.

Объект исследования: Шенталинский рынок.

Цель работы: доказать, что математическая статистика и теория вероятностей действительно неразрывно связаны с нашей повседневной жизнью и их методы помогают выявлять проблемы нашего общества.

Гипотеза исследования: мы увидим, что математическая статистика и теория вероятностей действительно неразрывно связаны с нашей повседневной жизнью и помогают  выявлять статистику и вероятности товаров, которые продаются на нашем с рынке.

Задачи исследования:

Посчитать количество торговых точек на Шенталинском рынке в один из четвергов.

Посчитать торговые точки по категориям.

Обработать полученные  данные.

Построить диаграммы.

Сделать выводы.

Методы  исследования

• Подсчет
• Методы количественной и качественной обработки данных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретическая часть.

Теория вероятностей подобно  другим разделам математики, развилась  из потребностей практики: в абстрактной  форме она отражает закономерности, присущие случайным событиям массового  характера. Эти закономерности играют исключительно важную роль в физике и других областях естествознания, разнообразнейших технических дисциплинах, экономике, социологии, биологии. В  связи с широким развитием  предприятий, производящих массовую продукцию, результаты теории вероятностей стали  использоваться не только для браковки уже изготовленной продукции, но и для организации самого процесса производства (статистический контроль в производстве).

Методы теории вероятностей широко используются в различных  отраслях естествознания, теоретической  физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного  управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических  и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе  качества продукции, анализе технологических  процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях.

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием .

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними .

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие  события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8). Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу 
.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. 
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. 
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события  удовлетворяет двойному неравенству  .

Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. Событие А достоверное.

Пример.

Абонент забыл последнюю  цифру номера телефона и поэтому  набирает её наугад. Определить вероятность  того, что ему придётся звонить  не более чем в 3 места.

Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10.

Рассмотрим следующие  случаи:  
1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра). 
2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр). 
3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2).  
 
Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.  
 
Ответ: 0,3

Формула полной вероятности  и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий  , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

 

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

Подставляя эти значения в формулу  полной вероятности, получим искомую  вероятность:

 

 Независимые испытания.  Формула Бернулли

При решении вероятностных задач  часто приходится сталкиваться с  ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно  и исход каждого испытания  независим от исходов других. Такой  эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из  урны одного шара при условии,  что вынутый шар после регистрации  его цвета кладется обратно  в урну;

2) повторение одним стрелком  выстрелов по одной и той  же мишени при условии, что  вероятность удачного попадания  при каждом выстреле принимается  одинаковой (роль пристрелки не  учитывается).

Итак, пусть в результате испытания  возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой .

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Распределение числа успехов (появлений  события) носит название биномиального распределения.

Пример. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки  
, тогда .

Найдем вероятности того, что  в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность

.

 

 

 

 

 

 

 

Практическая  часть

Мы провели наблюдения на Шенталинском рынке 10 октября 2013 года  в полдень и исследовали наличие некоторых групп товаров, предварительно опросив студентов группы и преподавателя об интересующих их товарах. Получили следующие данные.

В этот день на рынке работали 92 торговые точки.

	Наименование товара	Количество торговых точек	Вероятность возможности  приобрести товар
	Мужская обувь	6	0,065
	Женская обувь	4	0,043
	Детская обувь	5	0.054
	Соль для коров	1	0,01
	Корм для свиней	1	0,01
	Корм для кроликов	1	0,01
	Корм для кур	1	0,01
	Халаты белые (42-52)	1	0,01
	Мясо	6	0,065
	Рыба	5	0.054
	Раки	0	0
	Молоко	13	0,14
	Творог	15	0,16
	Кисломолочная продукция	14	0,15
	Яйца	0	0
	Копченые колбасы	3	0,032
	Вареные колбасы	3	0,032
	Ливерные колбасы	2	0,012
	Картофель	0	0
	Лук	0	0
	Помидоры	2	0,012
	Перец	2	0,012
	Грибы	6	0,065
	Мед	10	0,108
	Капуста	2	0,012