Статистическое представление выборочных данных.

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования  «Кемеровский государственный университет» в городе                                                                            Юрге (ЮФКемГу)

 

 

 

 

 

 

 

          Исследовательская работа по математике.

Статистическое представление  выборочных данных.

 

                                                                                

                                                                                         Выполнил: студенткагрНН10                    

                                                                                         Муратова М.Н.

                                                                                         Проверил: Преподаватель

                                                                                         Знова Т.Ф.

 

 

 

 

 

 

                                                    

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………………………….3

1. Теоретическая часть………………………………………………………………………………….

1.1 Предмет  математической статистики…………………………………………………….4

1.2 Основные  понятия математической статистики…………………………………….5

1.3  Группировка  статистических данных. Определение  статистических (выборочных) распределений………………………………………………………………………6

1.4 Геометрическая  интерпретация статистических распределений  выборки………………………………………………………………………………………………………….7

1.5 Числовые  характеристики выборки……………………………………………………..…8

Заключение……………………………………………………………………………………………………….11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

       В техникуме по дисциплине математика мы изучали раздел математическая статистика. По этому разделу нам была задана исследовательская работа по математике: «Статистическое представление данных».

        Математическая статистика — наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

        В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых целиком известны. Предмет теории вероятностей — свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).

       Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, выдающий лишь некие результаты, по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.

       При этом возникают, например, следующие вопросы: Если мы наблюдаем одну случайную величину — как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении?

       Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек при тысячекратном подбрасывании монеты.

      Все вышеприведенные факторы обуславливают актуальность и значимость тематики работы на современном этапе, направленной на глубокое и всестороннее изучение основных понятий математической статистики.

       В связи с этим целью данной работы является закрепление знаний о понятиях математической статистики.

 

 

Предмет и  основные задачи математической статистики.

Математическая  статистика – это раздел математики, который имеет своим предметом изучения методов сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.

Статистические  данные – это совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.

Статистические  данные по своей сущности зависят  от многих случайных факторов, поэтому  математическая статистика тесно связана  с теорией вероятностей, которая  является ее теоретической основой.

Математическая  статистика возникла в XVIII в. В работах  Я. Бернулли, П. Лапласа. Большой вклад  в математическую статистику внесли  русские и советские ученые.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные понятия математической статистики

Генеральная совокупность называется множество числовых значений некоторого признака всех объектов рассматриваемой совокупности.

Выборочная совокупность или просто выборкой называется множества числовых значений некоторого признака всех объектов, случайным образом отобранных из всей совокупности рассматриваемых объектов.

Целью исследования является объекты  и их множества. Все эти объекты  отличаются друг от друга, какими-то признаками.

Число объектов совокупности называется объемом данной совокупности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Группировка статистических данных. Определение статистических (выборочных) распределений.

Изучение  статистических данных обычно начинается с их группировки в порядке  возрастания значения признака.

Наблюдаемые значения рассматриваемого признака называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется выборочным или вариационным рядом.

Числа называются частотами, а их отношения к объему выборки, т.е.  = , относительными частотами соответствующих вариант.

Статистическим  распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

В теории вероятностей изучается аналогичное понятие, а именно закон распределения  или просто распределение случайной  величины, который записывается, как  правило, в виде таблицы.

Ранжирование – построение признака в порядке возрастания.

Индивидуальные  значения признака называют варианты и обозначаются , а число построений этого признака называется частотой .

Если n (объем выборки) велико и варианты как угодно мало отличаются друг от друга, то вариационный ряд принято разбивать на интервалы.

 

 

 

 

 

 

 

Геометрическая  интерпретация статистических распределений  выборки.

Ломаная линия, отрезки которой  соединяет точки (;), называется полигоном частот.

Полигон относительных  частот называют – ломаную, отрезки которой соединяют точки (;), (;, …, ( построенные в системе координат так, что на оси абсцисс расположены варианты , а на оси ординат – относительные частоты . Так как = то ординаты точек (; получаются из ординат точек (;) уменьшением их в n раз.

Следовательно, полигон частот будет  представлять полигон относительных  частот в системе координат, у  которой масштаб на оси ординат  увеличен в n раз.

Если статистическое распределение  выборки задается в виде последовательности интервалов значение вариант помощи гистограммы частот (очевидно, что в этом случае нельзя построить полигон).

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, построенных на частичных интервалах с длиной d и высотой, равной отношению /d (плотность частоты на данном интервале).

Площадь i-го частичного прямоугольника равно d∙ = Следовательно площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

Гистограммы относительных  частот строится аналогичным образом, только в качестве высот прямоугольников берется отношение /d (плотность относительной частоты на данном интервале).

Гистограмма относительных частот равна единице.

 

 

 

 

Числовые характеристики выборки.

Выборочное генеральное  среднее.

Выборочным средним выборки объема n со статистическим распределением называется среднее арифметическое значений признаков выборки.

Выборочная и генеральная  дисперсии.

Выборочной дисперсией некоторой выборки называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от выборочной средней .

Дисперсия является характеристикой  рассеяния значений признака вокруг своего среднего значения.

Часто рассматривается величина

= =

которая называется средним квадратическим отклонением выборки. Особенность  среднего квадратического отклонения состоит в том, что она измеряется в тех же единицах, что и изучаемый  признак.

Вычисление дисперсии

Для вычисления дисперсии (генеральной  или выборочной) имеется удобная  формула, которая дается следующей  теоремой.

Дисперсия равна разности среднего арифметического значений квадратов  признака и квадрата среднего значения признака:

D = - (

 

 

 

 

Практическая  часть.

Задание

Установить среднюю оценку успеваемости по математике за 2011-2012год.

Статистический ряд: 3, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 3, 4, 4, 3, 5, 3, 3, 4.

Ранжирование: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5.

Найдем ширину интервала: n = = 0.125

Разобьем на интервалы:

Оценка, балл	Число оценок	Относительная частота
3	6	= 0,375
4	9	= 0,5625
5	1	= ,00625
Итого:	=16	∑ = 1

 

Многоугольник распределения  и оценок по баллам

                                                                        

                                                                       Полигон частот ( ; )

 

 

 

 

 

 

Выполним наблюдение, т.е. соберем статистические  данные.

Найдем эмпирическую функцию  распределения и построим график:

                0, если 3 < X

F(X) =      0,375, если 3 < X ≤ 5

                0,5625, если 4 < X ≤ 5

                1, если X > 5

 

 

      

 

 

 

Составим расчетную таблицу.

Найдем среднюю оценку студентки.

Вариант	Частота			)	)
3	6	18	-0,687	0,4719	2,83
4	9	36	0,313	0,0979	0,88
5	1	5	1,313	1,7239	1,72
	n =16	∑ =			5,43

 

 =  =3,687                       = = 0,25

= = 0,0625