Случайные величины

Содержание

 

 

 

 

Случайные величины

Случайная величина - второе основное понятие теории вероятностей.

Случайная величина - величина, которая может принимать от случая к случаю то или иное значение.

Случайные величины - делятся на величины, распределенные дискретно и непрерывно.

Дискретная случайная величина может принимать лишь определенные значения. Ее возможные значения отделены друг от друга конечными промежутками, т.е. отрезками числовой оси.

Переменная величина х, принимающая в результате испытания одно из конечной или бесконечной последовательности значений х1, х2 …хк …, называется дискретной случайной величиной, если каждому значению хк соответствует определенная вероятность рк, что переменная величина примет значение хк.

Случайная непрерывная величина имеет ту особенность, что ее значения не могут быть заранее перечислены и составляют все значения, которые заполняют некоторый промежуток.

Случайные дискретные величины принимают каждое свое значение с определенной вероятностью, в то время как случайные непрерывные величины характеризуются точностью вероятности.

Для полной характеристики случайной величины - необходимо прежде всего знать те значения, которые она - может принимать и помимо этого нужно знать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное значение. Перечисление возможных значений случайной величины и их вероятностей называется распределением случайной величины. Так, если для случайной величины X известны все значения X ,X2,…Xm которые она может принимать, и все вероятности P ,P2,…Pm, с которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения дискретной случайной величины X или просто распределение величины X. Соответствие между возможными значениями и их вероятностями можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Рассмотрим m случайных событий: А1 - случайная величина X приняла значение X1 А2 - случайная величина X приняла значение X2,

Аm - случайная величина X приняла значение Xт.

События А1, А2,..., Аm несовместны, так как случайная величина при однократном осуществлении опыта может принять только одно из значений X1,X2,…,Xm. Очевидно также, что сумма событий А1, А2, ..., Ат является достоверным событием

А1 +A2 +…+ Am = U, так как одно из значений xlt x2 ,..., xm случайная величина обязательно принимает. По теореме сложения для несовместных событий:

P (A1+А2+...+Аm) = P(U) = 1. Р(A1) + Р(A2) +...+ Р(Am) = 1, следовательно P1+P2+…+Pm = 1

Математическое ожидание. Дисперсия.

Многие свойства случайных дискретных величин описываются математическим ожиданием и дисперсией.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на вероятности этих значений:

При неограниченном возрастании числа испытаний среднее арифметическое значений случайной величины стремится к ее математическому ожиданию.

Математическое ожидание - одна из важнейших числовых характеристик случайной величины. Обозначим математическое ожидание через М (Х). Для случайной дискретной величины X, заданной значениями X1, X2, …, Xm и соответствующими этим значениям вероятностями р1, р2, ..., рm имеет М (Х) = X1P1 + X2P2 + … + XmPm . Часто математическое ожидание называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое "среднее число", около которого группируются все значения случайной величины.

Вообще, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Вероятностный смысл математического ожидания характеризуется приближенным равенством = М (Х), т.е. математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Если произведено m испытаний, в которых случайная величина X приняла m1 раз значение х1 m2 раз значение х2, ..., mk раз значение хk причем m1 +m2 +...+mk = п. Тогда сумма всех значений, принятых X равна x1m1 + х2 m2+...+ xk mk .

X = или = x1 + x2 + … + xk

-есть относительная частота W1 значения X1 ,

- есть относительная частота W2 значения X2 ,

- есть относительная частота Wk значения Xk.

Следовательно, = x1Wt + хг W2+...+ xk Wk.

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события W1~P1,W2~P2,…,Wk~Pk.

Заменив относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

Х= х1 р,+ х2р2+...+ xk pk где x1 p1+ х2 р2+...+xkpk = М(Х).

Другой важной числовой характеристикой случайной величины X является ее дисперсия. Обозначим дисперсию через D (X).

Дисперсия характеризует степень рассеянности (квадрат отклонения) значений случайной величины относительно математического ожидания М (Х) случайной величины..

Отклонение - это разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

D(X) = М(Х-М(Х))2, здесь М - обозначение математического ожидания. Пусть случайная величина X принимает значения х1,x2,...,xm соответственно с вероятностями p1,р2....,pm: Тогда квадрат отклонения случайной величины X от ее математического ожидания (Х-М(Х))2 с вероятностью р есть случайная величина, которая принимает значения (х1 -М(Х))2,

(х2-М(Х))2..... (х2-М(Х))2 соответственно с вероятностями p1,p2,...,pm. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной дискретной величины

D(K)= (х1-М(Х))2'р1+ (х2-М(Х))2'р2+...+ (хm -М(Х))2-рm .

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания D (X) = M (Х2) - (М (Х))2 .

 

Функциональная зависимость вероятности рк от хк называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины. 

И функция, и случайная дискретная величина могут быть заданы тремя способами:

Табличным (таблица);

Графически (график, гистограмма);

Аналитически (уравнение). p = f(x).

 

Графическое представление закона распределения.

Рисунок 1

 

Итак, на оси абсцисс представлены ЗНАЧЕНИЯ случайной дискретной величины, расположенные в порядке возрастания; на оси ординат – ВЕРОЯТНОСТЬ, с которой в нашем опыте могут встретиться эти значения. Из данного графика видно, что, к примеру, значение х2 – самое вероятное, а х4 – наименее вероятное.

 Если опыты  уже проведены, а значения получены, то уместнее говорить не о  ВЕРОЯТНОСТИ  появления значений, а о ЧАСТОТЕ (частости) их встречаемости  в данном эксперименте. В этом  случае на графике следовало  бы заменить букву Р на букву f, которой обычно частота и обозначается. 

Нормальное распределение, его характеристика и графическое представление. Выбросы. Распределения, отличные от нормального.

 

Рисунок 2

   Под НОРМАЛЬНЫМ понимают такое распределение, как представлено на рисунке 2. Оно характеризуется тем, что основная масса значений (около 65%) попадает в интервал «среднее плюс/минус одна сигма» в интервал «среднее плюс/минус две сигмы» попадают более 90-95 процентов всех значений, и лишь несущественное количество выходит за эти пределы. Нормальным это распределение названо так потому, что часто встречается в обычном физическом мире, в естественнонаучных исследованиях. Наряду с нормальным, встречаются и другие, так называемые «теоретические» распределения, например, экспоненциальное. Помимо нормального, в психологических (да и любых гуманитарных) исследованиях еще столь же часто используется понятие РАВНОМЕРНОГО распределения, то есть такого, при котором каждое из возможных значений встречается с одинаковой частотой. Его график – горизонтальная прямая. (Случай, когда эта прямая идет под наклоном, тоже относится к равномерным распределениям, но нами рассматриваться не будет.)

Сходность данного эмпирического распределения с нормальным – важное обстоятельство, использующееся в различных статистических методах, относящихся к категории т.н. ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ, о чем будет сказано ниже.

 

 

Рисунок 3

 

Рисунок 3 иллюстрирует такое понятие, как ВЫБРОСЫ.  Пусть в некоем эксперименте получено какое-то количество значений. Может оказаться, что некоторые из них достаточно существенно отличаются от основной «массы».

Обычно за выбросы принимаются те значения, которые отстоят от среднего более чем на три сигмы (среднеквадратических отклонения).

На рисунке это диапазон снаружи от двух прямых. Прямая, проходящая посередине, символизирует условную линию,  вокруг которой группируются значения. Какие-то из них отстоят дальше от нее, - какие-то – ближе, но все (белые кружки) находятся в интервале «до трех сигм». Черными кружками на рисунке обозначены выбросы.

 

Рисунок 4

 

Некоторые эмпирические распределения могут отличаться от нормального. Рисунок 4 показывает, что эти отличия могут выражаться в АССИММЕТРИИ (штриховая линия) и отличаться числом и характером «пиков» - эта характеристика носит название ЭКСЦЕССА.

Показатели асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам:

  

 

 

Список использованной литературы

 

1. Венецкий И. Г. и Кильдишев Г. С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов вузов.
2. Математика в понятиях, определениях и терминах, ч.1: Пособие для учителей./ Под редакцией Л. В. Сабинина.