Скалярное произведение. Понятие n-мерного евклидова пространства. Норма n-мерного вектора и ее свойства

Государственное казенное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

«Российская Таможенная Академия»

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

на тему:

«Скалярное произведение. Понятие n-мерного евклидова пространства. Норма n-мерного вектора и ее свойства.»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил :

студент 1 курса

Теплякова В.М.

 

 

 

Москва 2012г

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………….3

§1.Скалярное произведение векторов…………………………………………..4                                                                            

    1.1. Вектор. Теорема скалярного произведения векторов…………………..4

    1.2. Доказательство теоремы. ………………………………………………...4

    1.3. Простейшие свойства скалярного произведения……………………......5

    1.4. Вычисления скалярного произведения…………………………………..5

    1.5. Вычисление угла между векторами с помощью скалярного           произведения……………………………………………………………………...6

§2. Понятие, виды евклидова пространства…………………………………….7

§3. Норма  n – мерного вектора и его свойства…………………………………8

    3.1.N – мерные векторы и операции над ними……………………………....8

    3.2. Длина вектора. Угол между n – мерными векторами………………….10

    3.3. Линейная зависимость векторов………………………………………...11

Вывод……………………………………………………………………………..13

Список  литературы………………………………………………………………14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

 

      Использование скалярного произведения, крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.

    Также огромную  роль в жизни людей играют  знания о n - мерном пространстве, n – мерных векторах, например, позволяют непротиворечиво объяснить явления, обусловленные постоянством скорости света в любой инерциальной системе отсчета.  

      Целью данной  работы я ставлю исследование  особенностей n – пространства, векторов в нем, скалярного произведения векторов.

      Задачи:

1. Ознакомиться с теорией о n – мерном пространстве, скалярном произведении, n – мерных векторах.
2. Выделить особенности и свойства.

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1.Скалярное произведение векторов

 

1.1. Вектор. Теорема скалярного произведения векторов.

      Вектор – это  величина, характеризующаяся размером и направлением.                 Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a. 

      Углом между ненулевыми векторами называется угол между прямыми, для которых данные вектора являются направляющими. Угол между любым вектором и нулевым вектором по определению считаем равным нулю. Если угол между векторами равен 90°, то такие вектора называются перпендикулярными. Угол между векторами будем обозначать так:         Скалярное произведение векторов - это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор). Определяется скалярное произведение, как правило, следующим образом:

                                           

 Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

 

                                  1.2. Доказательство теоремы.  
      Пусть a и b – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:         или   
       Скалярное произведение ab таким образом, выражается через длины векторов a, b и a + b т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат xy так, чтобы начало координат совпало с началом вектора a, а сам вектор лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора a будут числа |a| и 0, а координатами вектора a – |a| cos φ и |a| sin φ . По определению  
  
Теорема доказана.  
     Из теоремы следует, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

 

1.3. Простейшие свойства  скалярного произведения.

    Непосредственно из определения следуют следующие простейшие свойства:

      1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же (скалярный квадрат вектора а) всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор - нулевой.

      2.Скалярное произведение любых перпендикулярных (ортогональных) векторов a и b равно нулю.

      3. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них - нулевой.

      4. Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.

      5.Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол.

 

1.4. Вычисления скалярного  произведения.

(Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца, очень просто. Пусть есть вектор AB, А - начало вектора, В - конец, и координаты этих точек

                                      А=(a₁,a₂,a₃),        В=(b₁,b₂,b₃)

Тогда координаты вектора АВ:

                                             АВ={b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃}.

Аналогично в двухмерном пространстве - просто отсутствуют третьи координаты)

      Итак, пусть даны два вектора, заданные набором своих координат:

а) В двухмерном пространстве(на плоскости).

Тогда их скалярное произведение можно  вычислить по формуле:                       

б) В трехмерном пространстве

Аналогично двухмерному случаю, их скалярное произведение вычисляется  по формуле:

 

1.5. Вычисление угла между векторами с помощью скалярного произведения.

      Самое распространенное математическое приложение скалярного произведения двух векторов - это вычисление угла между векторами, заданными своими координатами. Для примера возьмем трехмерный случай. (Если вектора заданы на плоскости, то есть двумя координатами, во всех формулах просто отсутствуют третьи координаты.)

      Итак, пусть у нас есть два вектора

      И нам нужно найти угол между ними. С помощью их координат найдем их длины, а затем просто приравняем две формулы для скалярного произведения. Таким образом мы получим косинус искомого угла.

      Длина вектора а вычисляется как корень из скалярного квадрата вектора а, который мы вычислим по формуле для скалярного произведения векторов, заданных координатами:

 Аналогично вычисляется длина вектора b. Итак,

Значит,

Искомый угол найден.

 

 

 

§2. Понятие, виды евклидова пространства.

 

      1.Упорядоченная последовательность n действительных чисел {х₁, х₂;...; х_n} называется точкой n- мерного пространства, при этом числа x_i, i = 1,..., n называются координатами точки. 
Обозначение: X = (х₁, х₂;...; х_n). 
      2.Если для любых двух точек X = (х₁, х₂;...; х_n) и У = (y₁, y₂;...; y_n) n-мерного пространства определено расстояние между ними по формуле

,

 
 
то такое пространство называется n-мерным евклидовым. 
Обозначение: Еⁿ. 
      3. Пусть X - фиксированная точка пространства Еⁿ;   > 0 - произвольное положительное число. Множество точек Y пространства Еⁿ таких, что

р(Х; Y) ,

 
называется n-мерным шаром с центром  в точке X и радиусом   или просто  -окрестностъю точки X в пространстве Еⁿ. 
 
      4. Если существует отображение множества натуральных чисел в множество точек пространства Еⁿ

 
 
то множество точек Х₁; Х₂; ... называется последовательностью точек этого пространства. 
Обозначение: {Х_m}. 
 
      5. Точка X   Еⁿ называется пределом последовательности {Х_m}, если 
 
 
Определение 6. Пусть Е   Еⁿ - некоторое подмножество n-мерного евклидова пространства. Отображение точек множества Е в множество действительных чисел R называется функцией п переменных. 
Обозначение: у = f(х₁, х₂;...; х_n); у = f(Х). 
Множество Е называется областью определения функции n переменных. 
      1. Упорядоченная последовательность n действительных чисел {х₁, х₂;...; х_n} называется точкой п- мерного пространства, при этом числа x_i, i = 1,..., n называются координатами точки. 
Обозначение: X = (х₁, х₂;...; х_n). 
      2. Если для любых двух точек X = (х₁, х₂;...; х_n) и У = (y₁, y₂;...; y_n) n-мерного пространства определено расстояние между ними по формуле

,

то такое  пространство называется n-мерным евклидовым. 
Обозначение: Еⁿ. 
      3. Пусть X - фиксированная точка пространства Еⁿ;   > 0 - произвольное положительное число. Множество точек Y пространства Еⁿтаких, что

р(Х; Y) ,

называется n-мерным шаром с центром в точке X и радиусом   или просто  -окрестностъю точки X в пространстве Еⁿ. 
      4. Если существует отображение множества натуральных чисел в множество точек пространства Еⁿ

 
то множество точек Х₁; Х₂; ... называется последовательностью точек этого пространства. 
Обозначение: {Х_m}. 
      5. Точка X   Еⁿ называется пределом последовательности {Х_m}, если 
 
      6. Пусть Е   Еⁿ - некоторое подмножество n-мерного евклидова пространства. Отображение точек множества Е в множество действительных чисел R называется функцией п переменных. 
Обозначение: у = f(х₁, х₂;...; х_n); у = f(Х). 
Множество Е называется областью определения функции n переменных.

 

 

§3. Норма n – мерного вектора и его свойства.

 

3.1.N – мерные векторы и операции над ними.

N-мерным вектором   называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде строки   или столбца  .                                                                Число   называют i-й координатой вектора  . Количество координат у вектора   называют его размерностью. Например, (1; 3; –1; –2; 7) – пятимерный вектор.                                                                                                      Если у n-мерных векторов   и  , имеющих одну и ту же размерность, одноименные координаты равны, т.е. если  , то такие векторы называют равными и записывают как  . Если же хотя бы одна пара одноименных координат у векторов   и   различна, то  . Вектор, у которого все координаты равны нулю, называют нулевым –  .         

Введем линейные операции над векторами – умножение  вектора на действительное число, сложение и вычитание векторов.

Произведением  вектора    на  действительное число l называется вектор

,

т. е. при умножении вектора  на число каждая его координата умножается на это число. Зная вектор  , можно получить противоположный вектор .

Суммой векторов   и   называется вектор              

                ,

т. е. при сложении векторов одной и той же размерности  их соответствующие координаты почленно складываются.

Очевидно, что

           ,

т. е. сумма противоположных  векторов дает нулевой вектор.

Используя понятие противоположного вектора, можно определить операцию вычитания векторов

,т. е. при вычитании двух  векторов одной и той же  размерности их соответствующие  координаты почленно вычитаются.                                

   Экономические величины являются, как правило, многомерными, и векторы служат удобной формой их представления. Например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором  , а соответствующие цены – вектором  .                                          Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

5.  .

6.  Для   такой, что 

7.   .

8.   нулевой элемент   такой, что   для  .

Скалярным произведением двух n-мерных векторов    и   называется число, обозначаемое   и равное сумме произведений соответствующих координат векторов   и  :

.

В экономических задачах  можно рассматривать скалярное  произведение вектора цен   на вектор объема продукции  . Оно в этом случае дает суммарную стоимость продукции   при ценах  .

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1.  причем   тогда и только тогда, когда  .

2.  .

3. 

4.  .

 

3.2. Длина вектора.  Угол между n – мерными векторами.  

Длиной (или модулем) n-мерного вектора   называют число  , равное

.

Скалярное произведение   называют скалярным квадратом вектора   и обозначают как  . Квадрат длины вектора   равен его скалярному квадрату, т. е.  .

Если длина вектора  равна единице, то вектор называется единичным. Операция приведения вектора к единичной длине называется нормализацией вектора. Среди единичных векторов выделяют векторы, у которых одна координата равна единице, остальные – нулю. Такие единичные векторы называют ортами.

Если   и   – произвольные n-мерные векторы, то их длины   и   связаны со скалярным произведением    соотношением | | ≤ , которое  называется неравенством Коши – Буняковского. Это неравенство в координатной форме имеет вид