Системы из двух нелинейных уравнений первого порядка в частных производных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО  АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

 

 

 

Курсовая работа

«Системы двух нелинейных уравнений первого порядка в  частных производных»

 

 

 

 

 

 

Проверил:

___________________ Баринов В.А.

Выполнила:

___________________Бондарь А.А.

 

Тюмень 2012

 

Оглавление

 

Введение 2

Глава 1. Геометрическая интерпретация уравнения первого  порядка с двумя независимыми переменными. 3

§1. Случай линейного  однородного уравнения 3

§2. Случай квазилинейных  уравнений 5

Глава 2. Система  двух нелинейных уравнений первого  порядка 7

§1. Условия  разрешимости 7

§2. Построение решения 9

§3. Примеры  решения нелинейных систем из двух нелинейных уравнений первого порядка 13

Глава 3. Практическое применение нелинейных систем уравнений  первого порядка 17

§1. Системы  вида    17

§2. Системы  газодинамического типа, линеаризуемые  с помощью преобразования годографа 19

§3. Другие нелинейные системы двух уравнений первого  порядка 21

§4. Пояснения  к главе 3 22

Заключение 23

Список литературы 24

 

 

Введение

В курсовой работе будут  рассмотрены системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных  производных первого порядка. Главной  задачей является изучение методов  нахождения общего решения системы и условий его существования. Второстепенной задачей является непосредственно решение примеров и применение изученных методов. Так же необходимо привести практические постановки задач из математической физики, биологии, химии и других наук, использующих в моделировании различных процессов системы подобного рода. Так же будет рассмотрена геометрическая теория и интерпретация линейных  и квазилинейных уравнений первого порядка.

 

Глава 1. Геометрическая интерпретация уравнения  первого порядка с двумя независимыми переменными.

§1. Случай линейного однородного уравнения

Простейший тип дифференциального  уравнения в частных производных  первого порядка – линейное однородное дифференциальное уравнение для  одной неизвестной функции двух независимых переменных:

(1.1)

или

          (1.2)

Здесь для сокращения положено

 

Дифференциальное уравнение  всегда будет рассматриваться в  некоторой области ,  в которой коэффициенты и определены и непрерывны.

(От вида этой области  может существенно зависеть решение рассматриваемого дифференциального уравнения. К указанным здесь предположениям часто присоединяют еще другие, дополнительные. Для разрешимости дифференциального уравнения (1.1) одного указанного в тексте предположения о коэффициентах, вообще говоря, не достаточно)

Пятерку чисел мы будем называть плоскостным элементом (элементом прикосновения), связывая с этими числами плоскость

 

в трехмерном пространстве переменных . Точка , через которую проходит эта плоскость, называется точкой-носителем, числа называются направляющими коэффициентами плоскостного элемента. Плоскостные элементы с общей точкой-носителем () образуют, очевидно, семейство плоскостей, проходящих через одну точку () (разумеется, исключая плоскость, перпендикулярную к координатной плоскости XOY). Если – непрерывно дифференцируемая поверхность, то плоскостной элемент определяет (для допустимых значений и ) касательную плоскость к этой поверхности (см. рисунок).

(Напомним, что если поверхность  задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в некоторой точке имеет вид ,  т. е. вектор ) является нормалью к данной поверхности в рассматриваемой точке)

В силу дифференциального  уравнения (1.1) или (1.2) с каждой точкой можно связать плоскостные элементы , направляющие коэффициенты которых удовлетворяют уравнению

 

Предполагая что  (т. е. рассматривается регулярная точка) получаем пучок плоскостей (кроме плоскости, ортогональной к плоскости XOY), которые проходят через горизонтальную прямую

 

. Таким образом, в силу  дифференциального уравнения (1.1), каждой точке отвечает пучок  плоскостей.

(Эти пучки и их оси называются  соответственно пучками Монжа  и осями Монжа; точка пространства  вместе с направлением оси  Монжа, проходящей через эту  точку, называется характеристическим  линейным элементом)

Интеграл уравнения (1.1) с  геометрической точки зрения есть любая  непрерывно дифференцируемая поверхность , которая в каждой своей точке имеет одну из плоскостей соответствующего пучка своей касательной плоскостью.

§2. Случай квазилинейных уравнений   

Квазилинейное   дифференциальное уравнение в частных производных  первого порядка для одной  неизвестной функции       независимых переменных имеет вид

       (1.3)

или, используя обозначения   и вместо вектора с компонентами ,

 (1.4)

Очевидно, оно линейно  относительно производных искомой  функции, в то время как сама эта  функция может входить нелинейным образом.

Дифференциальное уравнение (1.3) будет всегда рассматриваться  лишь в такой области   – мерного , – пространства, в которой коэффициенты   и непрерывны.

Достаточно наглядная  геометрическая интерпретация возможна лишь для  . Если в этом случае записать дифференциальное уравнение типа (1.3) в виде

 

то каждой точке  пространства будет, в силу этого уравнения, соответствовать плоскостной элемент , направляющие коэффициенты которого удовлетворяют уравнению

 

Это уравнение определяет множество плоскостей, проходящих через  прямую

 

, за исключением плоскости,  ортогональной к плоскости . В силу дифференциального уравнения, таким образом, каждой точке будет соответствовать пучок плоскостей, но общая прямая этих плоскостей теперь уже, вообще говоря, не параллельна плоскости .

 

Глава 2. Система  двух нелинейных уравнений первого  порядка

§1. Условия  разрешимости

Значительный интерес  в теории и приложениях представляют системы уравнений вида

     (2.1)

где и – заданные дифференцируемые функции.

Эта система содержит одну неизвестную функцию и, вообще говоря, не имеет решения. Поэтому, прежде всего, выедем необходимые условия совместности.

 

ТЕОРЕМА 2.1. Если для каждой точки  области D пространства переменных существует решение , удовлетворяющее условию , имеющее непрерывные частные производные первого порядка и непрерывную производную   , то в этой области равенство

            (2.2)

должно выполняться тождественно по переменным .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Допустим, что система имеет решение  , у которого существуют непрерывные частные производные первого порядка и непрерывная производная   . Подставляя это решение в уравнения системы (2.1), получим два тождества, из которых находятся два выражения для производной   :

              (2.3)

Заменяя производные и их значения в силу уравнений (2.1), из соотношений (2.3) находим, что необходимое условие существования решения состоит в том, что равенство (2.2) выполняется тождественно по переменным , если в него вместо  подставить решение системы уравнений (2.1). С другой стороны, равенство (2.2) можно рассматривать как уравнение относительно .

Если  – решение этого уравнения, то из приведенных выше рассуждений следует: если решение системы (2.1) существует, то оно совпадает с . Непосредственная подстановка этой функции в уравнение системы (2.1) позволяет выяснить является ли эта функция решением или нет.

Поскольку уравнение  (2.2) является алгебраическим, то оно может, вообще говоря, определять лишь частные  решения системы дифференциальных уравнений (2.1). Для нас же особый интерес представляет вопрос о существовании  и структуре общего решения системы  уравнений (2.1), а также вопрос о  существовании решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Если в области D пространства переменных система (2.1) имеет бесчисленное множество решений так, что через каждую точку проходит интегральная поверхность системы (2.1), то условие (2.2) должно выполняться в каждой точке , а следовательно, во всей области D. Теорема доказана.

§2. Построение решения

Рассмотрим теперь вопрос о построении решений системы  уравнений (2.1).

ТЕОРЕМА 2.2. Если в области D равенство (2.2) выполняется тождественно по переменным , то решение системы уравнений (2.1) сводится к интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Возьмем  первое уравнение системы (2.1), рассматривая в нем  как параметр. Тогда его можно рассматривать как обыкновение дифференциальное уравнение с параметром. Проинтегрируем его с начальным условием

    (2.4)

где – пока произвольная дифференцируемая функция. Полученное решение обозначим через

.                   (2.5)

Оно, очевидно, обладает свойством 

             (2.6)

Отсюда, дифференцируя, находим, что 

        (2.7)

Потребуем теперь, чтобы  функция (2.5) удовлетворяла второму  уравнению системы (2.1). Тогда получим

      (2.8)

По предположению существует производная  , поэтому производная так же существует и удовлетворяет уравнению в вариациях

               (2.9)

 Аналогично устанавливается,  что существует производная  , которая удовлетворяет уравнению

         (2.10)

Из этих уравнений следует  существование непрерывных производных  и . При этом функция как решение однородного уравнения (2.10) нигде не обращается в нуль. Поэтому, разрешая уравнение (2.8) относительно , получим

   (2.11)

Так как левая часть  этого соотношения зависит только от , то и его правая часть также должна обладать тем же свойством, т.е. ее производная по x должна быть равной нулю. Докажем это.

Выполняя необходимые  вычисления получаем

           (2.12)

 

Учитывая, что  является решением первого уравнения системы (2.1) (см. (2.5)), в соотношении (4.12) величину можно заменить на  . Аналогично заменяем и их значениями в соответствии с уравнениями (2.9) и (2.10). В результате правая часть соотношения (2.12) принимает вид

Выражение в скобках, стоящее  в числителе этого выражения, тождественно равно нулю по условию, т.е. правая часть равенства (2.11) не зависит  от , и его можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции . Покажем, что его правая часть удовлетворяет условию Липшица. Так как она не зависит от , то в ней всюду вместо можно писать .

Если воспользоваться  соотношениями (2.6) и (2.7), то легко устанавливается  эквивалентность уравнений (2.8) и (2.11). Поэтому можно записать

  (2.13)

    (2.14)

Правая часть этого  уравнения удовлетворяет условиям существования и единственности решения, поскольку производная  существует и непрерывна. Поэтому, интегрируя его при начальном условии , получим

       (2.15)

Формулу (2.5) можно теперь переписать в виде

.    (2.16)

 Это решение по построению  удовлетворяет условию  при и . Так как рассматриваемые в ходе доказательства обыкновенные дифференциальные уравнения удовлетворяют условиям единственности решения задачи Коши, то теорема полностью доказана.

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Общее решение  системы уравнений (2.1) зависит от одной произвольной постоянной.

В самом деле, в решении (2.16) можно рассматривать как произвольную постоянную, характеризующую значение при и . Следовательно, решение можно представить в виде:

(2.17)

где – произвольная постоянная. Рассматривая это соотношение как уравнение относительно , находим, что его можно разрешить относительно этой постоянной.

В самом деле, решение (2.16) обыкновенного дифференциального  уравнения (2.15) разрешимо относительно , так как меняя роли начальных координат ( ) и текущих координат ( ), будем иметь

  (2.18)

С другой стороны, решение (2.5) разрешимо относительно начального значения . Поэтому можно записать

 

Подставляя полученное значение в уравнение (2.18), находим, что

.                (2.19)

При этом выражение, стоящее  слева в этом равенстве, имеет  непрерывные производные по .

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. В приведенном доказательстве теоремы при интегрировании первого уравнения из системы (2.1) в качестве постоянной (относительно переменной ) интегрирования бралась функция как начальное значение  при и при любом значении . Однако общее решение этого уравнения можно находить при любом , заменяя затем эту постоянную функцией . Уравнение (2.11) не будет зависеть от переменной , если, конечно, решение системы (2.1) существует. Очевидно также, что переменные и можно поменять местами, начав решение задачи не с первого уравнения системы (2.1), а со второго.