Символ Лежандра

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

 

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Глазовский государственный  педагогический институт им. В.Г. Короленко»

 

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

Курсовая работа по математике

Н. В. СЕЛУКОВ

студент 3 курса факультета информатики, физики и математики

направление 050100.62 − Физико-математическое образование

профили: Математика и Информатика

 

СИМВОЛ ЛЕЖАНДРА

 

 

 

Научный руководитель –

канд. физ.-мат. наук, доцент

Э. В. Роллов

Работа защищена "____"_______________2013 г.

с оценкой__________________

 

 

Глазов 2013

Оглавление

Введение...................................................................................................................2

1.Число решений. Нахождение  решений методом подбора. Число  квадратичных вычетов......................................................................................5

2.Критерий Эйлера...........................................................................................8

3.Символ Лежандра и  его свойства.....................................................................13

4.Доказательство 5 свойства  символа Лежандра………………………………17

5. Практическая часть......................................................................................24

Заключение...............................................................................................................................................26

Литература.......................................................................................................27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Адриен Мари Лежа́ндр (фр. Adrien-Marie Legendre, 18 сентября 1752, Париж — 10 января 1833, там же) — французский математик.

Лежандр закончил Коллеж Мазарини, с 1775 года — преподаватель Военной школы в Париже.

Член Парижской Академии наук (с 1783 года).

В годы Французской революции Лежандр, вместе с Лагранжем и Лапласом, активно участвовал в Комиссии по введению метрической системы, в частности, в измерении длины одного градуса между Дюнкерком и Барселоной для установления эталона метра.

1795: профессор Нормальной школы.

1799: заменил на посту экзаменатора Политехнической школы Лапласа, с которым он вместе преподавал ранее в Военной школе.

1816: профессор Политехнической школы.

Из-за какой-то бюрократической ошибки пенсия Лежандра была отменена в 1824 году, и остаток своих дней он прожил в нужде.

Скончался Лежандр в Париже 10 января 1833 года.

Фундаментальным трудом, принесшим  известность Лежандру, был «Опыт теории чисел». Важность и актуальность исследования подтверждена тремя переизданиями книги. В книге не было некоторых доказательств или доказательства были нестрогими, но, тем не менее, и сейчас труд считается классическим.

Лежандром был доказан квадратичный закон взаимности; причем закон был облечен математиком в современную формулировку; в контексте этого вопроса ученым были предложены символы Лежандра – функции, используемые в теории чисел (лежандровский символ является частным случаем символа Якоби). В это же время Лежандр работает над изложением полной теории непрерывных дробей и ее применения в решении диофантовых уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Число решений. Нахождение решений методом подбора. Число квадратичных вычетов

Пусть дано двучленное сравнение  второй степени по нечетному простому модулю p:

                                 (1)

Случай, когда , является тривиальным, так как в этом и только в этом случае, очевидно, . Поэтому исключим этот случай из дальнейшего рассмотрения и будем считать, что

Тогда решения сравнения (1) следует искать только лишь среди  классов вычетов приведенной  системы по модулю p.

Легко понять, что если (1) имеем в качестве одного решения  то оно должно также иметь и второе То, что удовлетворяет (1), является очевидным, поэтому остается доказать , что является представителем другого класса.

Предположим противное, т. е. что  и принадлежит к одному классу. Тогда

 

но 

 

однако это  исключается  ввиду условия, что 

Итак, если (1) разрешимо, то имеется  по крайней мере 2 решения. Но больше решений и быть не может, так как  число решений сравнения по простому модулю не может превысить степень  сравнения. Мы приходим к окончательному выводу, что если (1) разрешимо, то оно  имеет  точно два решения. При этом, если одно решение найдено, то второе можно записать автоматически:

 

Процесс нахождения решения  методом подбора является для  сравнения (1) более простым, чем в  общем случае. Дело в том, что записывая  приведенную систему вычетов  по модулю p абсолютно наименьшими вычетами

±1, ±2, … ,

мы можем пригодность  их противоположных и отрицательных  значений проверять одновременно.

Итак, достаточно для разыскивания решения подставить в (1) вместо x значения

                                                 1, 2, 3, … ,                                            (2)

При этом в левой части  получается числа

                                              1², 2²,  3², … ,                                 (3)

В случае сравнимости ( по модулю p) одного из них, например c (заметим, что больше чем в одном случае это, согласно предыдущему, может не быть), мы получаем решения

 

Одновременно видно, что  по модулю pразрешимыми будут только лишь такие сравнения (1), в которых a сравнимо по модулю p с числами ряда (3).  Другими словами, в ряде (3) записаны квадратичные вычеты по модулю p.

Все они принадлежат различными классам. Действительно, если предположить противное, т. е. что для

 

 

Тогда оказалось бы, что (1) имеет 4 решения

 и 

это, однако, невозможно.

Итак, можно утверждать, что  количество квадратичных вычетов из разных классов (или среди вычетов  приведенной системы) по модулю p равно  . Такого же, следовательно, количество квадратичных невычетов. При помощи ряда (3) можно найти наименьшие положительные квадратичные вычеты.

Пример. Найти наименьшие  положительные квадратичные вычеты по модулю 17.  Их число должно быть   Они находятся нижеследующим вычислением по модулю 17:

    

 

Итак, наименьшие положительные  квадратичные  вычеты по модулю 17 суть следующие:

                                           1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16;                                   (3’)

Отсюда сразу же следует, что наименьшими положительными квадратичными невычетами по модулю 17 являются числа

3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14.

Только лишь в том случае, если сравнимо с одним из чисел ряда (3’) по модулю 17, сравнение является разрешимыми.

 

 

2. Критерий Эйлера

Вполне естественно, что  в первую очередь нас интересует, разрешимо ли сравнение т. е.является ли квадратичным вычетом.

В первом пункте этого параграфа  установлен способ решения этого  вопроса: в случае положительного  ответа он дает даже решение сравнения. Однако ясно, что этот способ не является эффективным.

Очень важным является критерий, установленный Эйлером: чисто a, которое не делится на нечетное простое p, является квадратичным вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда и квадратичным невычетом тогда, когда

Доказательство. По теореме  Ферма имеем для 

 

или

 

или

 

Отсюда видно, что по крайней  мере, одна из скобок должна делится  на p. Но обе скобки не могут делиться на p, так как в этом случае на p делилась бы и их разность 2, что не возможно, ибо

Если a является квадратичным вычетом, тогда

 

Действительно, в этом случае существует такое значение

 

откуда

 

Так как по модулю квадратичных вычетов, то полученный результат означает, что сравнение (1) имеет решений, если будем в нем a рассматривать как неизвестное. Но сравнение (1), как сравнение по простому модулю, не может иметь большее число решений, чем степень сравнения, т. е. больше чем

Итак, для всех квадратичных вычетов и только для них выполняется (1). Но тогда для остальных , т. е. для квадратичных невычетов и только для них

 

или

 

Критерий Эйлера доказан.

Пример. Установить, сколько  решений имеет сравнение

 

Пользуясь критерием Эйлера, необходимо исследовать, с чем сравнимо

 

По модулю 19 имеем

 

Итак, сравнение разрешимо  и имеет, следовательно, два решения.

 

 

3. Символ Лежандра и его свойства

При больших значениях  модуля p критерием Эйлера неудобно вычислять, является ли a квадратичным вычетом или нет. Эффективный способ в решении этого вопроса получается применением символа, который ввел Лежандр.

Этот символ (читается так: «символ Лежандра a по отношению к p») определяется для нечетных простых p и чисел a, которые не делятся на p; при этом a называется числителем, а p знаменателем символа.

Если a квадратичный вычет по модулю p, тогда символу сопостовляется число +1, т. е. =+1; если a квадратичный невычет по модулю p, тогда символу сопостовляется число -1, т. е. =-1.

Пример. В примерах пар.9 мы видели, что 7 является квадратичным вычетом по модулю 19, а 5 –квадратичным вычетом по модулю 17 , следовательно,

 

 

Ввиду критерия Эйлера получается следующее основное отношение

                                                                               (1)

Действительно, для всякого  квадратичного вычета имеем одновременно

 

,

а для квадратичного не вычета

 

 

откуда и вытекает соотношение(1).

Исследуем свойства символа  Лежандра.

Свойство  1. Если ,  тогда

 

Это свойство вытекает просто из того, что числа одного класса являются одновременно или квадратичными  вычетами, или невычетами.

Пользуясь этим свойством, можно  писать

 

где  k=0, ±1,  ±2, …

Свойство 2. Символ

 

иными словами, 1 является квадратичным вычетом для любого нечетного  простого p, или сравнение

 

(2, p) = 1,

всегда разрешимо.

Это действительно имеет  место, так как указанное сравнение  имеет решения

 

Свойство 3. Символ

 

На самом деле, ввиду  сравнения (1) имеем

 

Символ  может изменить значение +1 или -1; то же можно сказать о выражении . Но так как по нечетному простому модулю p(+1) и (-1) несравнимы, то мы должны иметь в обеих частях сравнения одновременно +1, или -1.

Поэтому здесь 

 

Из этого свойства следует, что для простых чисел p=4m+1

,

а для простых чисел p=4m+3

 

Другими словами, для простых  чисел вида 4m+1 число (-1) является квадратичным вычетом, а для простых чисел вида 4m+3 – квадратичным невычетом.

Пример.  Сравнение 

 

Где  433 число простое, разрешимо, так как 

.

Сравнение

 

где 587 число простое, неразрешимо, так как

.

Свойство 4.

 

На самом деле, ввиду  сравнения (1) имеем

 

Итак,

 

рассуждая дальше так же, как в доказательстве свойства 3, получается вывод о равенстве  частей сравнения, то есть

 

Это свойство, очевидно, распространяется на случаях k множителей.

В частности, из этого свойства следует:

 

 

а  также: произведение двух квадратных вычетов или невычетов  является квадратным вычетом, произведение квадратного вычета на квадратный невычет  – квадратным не вычетом.

 

Свойство 5.

 

Это важное свойство, доказательство которого дадим отдельно в третьем пункте, выразим для практического применения иным образом.

Если p=8m±1, тогда

 

т. е. число не четное.

Поэтому имеем:

для  p=8m±1 (или 8m+1, 8m+7)

для  p=8m+3 (или 8m+3, 8m+5)