Симплексный и графический метод

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка D(2;2).

Для прямой :

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка E(0;6).

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка F(3;0).

Для четвёртой  прямой точки искать не будем, так  как это чётко указанная прямая.

Для прямой :

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка G(0;4).

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка H(1;7).

По данным точкам построим график.

Рисунок 1

Анализируя  график, мы узнаём, что области решения  для данной системы нет, т.к. не  совпадают области определения  уравнений, входящих в состав системы.

Ответ: Нет области решения системы неравенств.

2.2 Задача №2.

     Предприятие выпускает два вида продукции: А  и В, которая поступает в оптовую  продажу. Для производства этих видов  продукции используется три вида сырья. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции  А соответственно На изготовление единицы продукции В соответственно Максимально возможные запасы сырья каждого вида в сутки составляют кг соответственно. Оптовая цена единицы продукции А равна руб., а единицы продукции В равна руб. Требуется составить план производства каждого вида продукции, чтобы доход от реализации был максимальным. Решить графическим и симплекс методом. Данные указаны в Таблице 1

Таблица 1

 

Решение задачи графическим методом.

     Использовав даннцые с Таблицы №1 мы получили следующую систему уравнений. Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 42x₁+26x₂ → max, при системе ограничений: 

А также  целевую функцию, которую нужно  максимизировать: 

Построим  многоугольник решения для этого  в системе координат на плоскости  изобразим граничные прямые: 

Найдём по две  точки для построения каждой прямой.

Для прямой :

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка А(0;330).

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка В(110;0).

Для прямой :

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка C(0;100).

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка D(400;0).

Для прямой :

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка E(0;124,2).

 соответственно  . Обозначим точку с кординатами . Это точка F(149;0).

OCKHB –  многогранник решений. Для проверки возмём произвольную точку, например точку O(0;0). Она удовлетворяет неравенству.

Рассмотрим  геометрический смысл целевой функции 

Так как  к началу решения задачи значение F неизвестно, то её можно представить семейством параллельных прямых при различных значениях F , которым перпендикулярен вектор {42;26}.

Максимальное  значение целевая функция принимает  в т. М.Eсли перемещать параллельно самой себе в направлении вектора , тогда на Рисунке 3 видно, что максимальное значение целевая функция принимает в точке М, которая лежит на пересечении прямых .

Составим  систему из этих прямых: 

Решим её методом подстановки:

Выразим из первого уравнения : 

Подставим во второе уравнение и решим его: 
 
 

Соответственно: 
 

Найдём  целевую функцию: 

Ответ: Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль в размере 15645 рублей необходимо запланировать производство 95 единиц продукции A и 45 единиц продукции B.

Решение задачи симлекс методом.

Требуется максимизировать функцию : 

При ограничениях: 

Приведем  систему ограничений к каноническому  виду, для этого необходимо неравенства  преобразовать в равенства, с  добавлением дополнительных переменных. Если в преобразуемом неравенстве стоит знак ≥, то при переходе к равенству знаки всех его коэффициентов и свободных членов меняются на противоположные. Тогда система запишется в виде: 

 –  базисные переменные, а – свободные переменные.

Рассмотрим  первое базисное решение(опорный план), в котором свободные переменные равны нулю. 

Приведём  задачу к жардановой форме следующим  образом: 
 

Переходим к формированию исходной симплекс таблицы. В строку F таблицы заносятся коэффициенты целевой функции. Так как нам  необходимо найти максимум целевой  функции, то в таблицу заносятся  коэффициенты с противоположным  знаком 
Из данных задачи составляем исходную симплекс таблицу.

Таблица 2: Первая симплекс таблица.

 

Так как  в столбце свободных членов нет  отрицательных элементов, то найдено  допустимое решение.В строке F имеются  отрицательные элементы, это означает что полученое решение не оптимально. Определим разрешающий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -42. Разрешающей строкой будет та для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Разрешающей строкой является X3, а Разрешающий элемент: 3.

Для того, чтобы построить следующую симплекс-таблицу  требуется:

1)разрешающий  элемент заменяется обратной  величиной;

2)остальные  элементы разрешающей строки  делятся на разрешающий элемент;

3)остальные  элементы разрешающего столбца  делятся на разрешающий элемент  и меняют знаки;

4)все  остальные элементы таблицы вычисляются  по правилу прямоугольника.

В результате одного шага метода жардановых исключений первая базисная переменная переходит  наверх таблицы, а на её место становится соответствующая свободная переменная. Следовательно меняются .

Построим  вторую симплекс таблицу.

Таблица 3: Вторя симплек-таблица.

 

В строке F имеются отрицательные элементы, это означает что полученое решение  не оптимально. Определим разрешающий  столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный  элемент - это -12. Разрешающей строкой  будет та для которой отношение  свободного члена к соответствующему элементу разрешающего столбца минимально. Разрешающей строкой является X5, а ведущий элемент: 4.33.

На этом основании строим третью симплекс-таблицу: 
 
 
 
 
 

Таблица 4

 

Ответ: Таким образом, чтобы получить максимальную прибыль в размере 5160 рублей необходимо запланировать производство 95 единиц продукции A и 45 единиц продукции B.