Автор работы: Пользователь скрыл имя, 04 Января 2011 в 23:26, реферат
Математическое программирование является одним из разделов исследования операций – прикладного направления кибернетики, используемого для решения практических организационных задач. Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий (программ действий).
Целью математического программирования является создание, где это возможно, аналитических методов определения решения, а при отсутствии таких методов – создание эффективных вычислительных способов получения приближенного решения.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В базис входит вектор Р2, а покидает его Р4. Пересчитывая, получаем новую симплексную таблицу:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так
как в индексной строке все
элементы неотрицательны, то данный план
является оптимальным. Таким образом,
при k≥560 план х1* = 70, x2* = 35, х3*
= (k–560), х4* = 0, х5* = 0, а значение
функции равно Z* = 630.
1.2. Рассмотрим случай когда 400≤k<560. Ведущей будет первая строка:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В базис входит вектор Р2, а покидает его Р3. Пересчитывая, получаем новую симплексную таблицу:
| СБ | Б | 0 | 7 | 4 | 0 | 0 | 0 |
| Р0 | Р1 | Р2 | Р3 | Р4 | Р5 | ||
| 4 | Р2 | 7k/32–175/2 | 0 | 1 | 7/32 | 0 | –5/32 |
| 0 | Р4 | 980–7k/4 | 0 | 0 | –7/4 | 1 | 1/4 |
| 7 | Р1 | 105–k/16 | 1 | 0 | –1/16 | 0 | 3/16 |
| 7k/16+385 | 0 | 0 | 7/16 | 0 | 11/16 | ||
Так
как в индексной строке все
элементы неотрицательны, то данный план
является оптимальным. Таким образом,
при 400≤k<560 план х1* = (105–k/16), x2*
= (7k/32–175/2), х3*=0, х4*=(980–7k/4),
х5* = 0, а значение функции равно Z*
= (7k/16+385).
2.
Теперь рассмотрим случай k<
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В базис входит вектор Р1, а покидает его Р3. Пересчитывая, получаем новую симплексную таблицу:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Так как в индексной строке все элементы неотрицательны, то полученный план является оптимальным. Таким образом, при 0≤k<400 оптимален план х1*=(k/5), х2*=0, х3*=0, х4*=(840–7k/5), х5*=(560–7k/5), а значение целевой функции равно Z* = (7k/5).
Объединяя случаи 1.1, 1.2, 2 решение можно записать в виде:
(13)
(14)
(15)
Представим эти результаты на графиках с использованием офисной программы MS Excel (Рис.1,2).
В частности, для построения графика функции Z(k) используем следующую таблицу:
где в ячейку В2 введена формула:
=ЕСЛИ(А2<400;(7/5)*А2;
и
распространена на ячейки ВЗ–В5.
Значения
в столбце А для краткости
и наглядности выбраны
Очевидно, что количество нанятых рабочих не должна превышать 560 чел., так как все средства, при численности больше 560 чел. при оптимальном плане не используются.
ЭТАП
2
Задачу нелинейного программирования предварительно решим графически с использованием офисной программы MS Excel.
Построим сначала графики функции Р(k) и W(k). Последнее значение берется тем же, что и для первого этапа.
Фрагмент таблицы выглядит так:
где в столбце В, в строках 2 и 3 введено число 0,07799, а в 4-й строке записана формула:
=0,2+(А4/300)-КОРЕНЬ(А4/
и распространена на ячейки В5–В14. В ячейку С2 введена формула:
=А2*В2, и распространена на ячейки СЗ–С14.
Объединим полученные результаты. Для этого добавим во вторую таблицу столбец с вычислением функции Z(k) из первой Excel-таблицы. После этого составим разность значений Z'(k) и W’(k).
Фрагмент итоговой таблицы выглядит так:
График разности функций Z'(k) и W’(k) приведен на рис. 4.
Как видно из графика и по таблице, оптимальное значение прибыли достигается при сумме кредита, лежащей между 300 и 400 чел. Для получения точного значения, проведем аналитическое исследование прибыли на этом интервале.
Согласно формуле (15), сумма оптимального дохода на интервале 0≤k<400, в который попадает и наш исследуемый интервал, задается формулой:
(16)
Тогда из формул (4) и (16) получаем, что на интересующем нас интервале прибыль равна
Раскрывая скобки, получаем
Исследуем эту функцию на максимум на интервале 0≤k<400. Первая и вторая производные исследуемой функции равны:
(17)
(18)
Приравнивая первую производную нулю, из (17) получаем уравнение:
Для удобства умножим все уравнение на 150. Получим:
Корни этого уравнения определяем по формуле:
Найдем значения прибыли:
Значение прибыли второго кореня меньше, и его рассматривать не будем.
Найдем из (18) значение второй производной при k = 352:
Так как вторая производная отрицательна, то точка k = 352 является точкой максимума. Таким образом, оптимальное количество рабочих равно 352 чел.
Из формул (13), (14) определяем оптимальный план строительства при найденной оптимальной сумме кредита:
ВЫВОД:
Для оптимизации прибыли