Шпаргалки по "Математике"

1.Если сумма цифр числа  делится на 3,то и число дел-ся на 3.180+144дел-ся на3   720+308не дел на3   103+370не дел-ся на 3Число оканчивается на 0;5; дел-ся на 5.535-413недел на5   1215-470дел на 5   20147-1307 дел-ся на 575*32*27  :5 :8 не дел на9 :10Признак делимости на 2 и на 5.На 2(или на 5)делятся те и только те числа,цифра единиц которых выражает число делящихся на 2 или соответственно на 5.N=(an10n+an-1*10n-1+..+a1*10)+a0В скобках стоит число кратное 10 и оно дел-ся на 2 и 5.Поэтому для делимости N на 2(или на5)необходимо и достаточно,чтобы на 2(или на5)делилось а0 оканчивающ на 0.Признак делимости на 4На 4 дел-ся те и только те числа,У которых две последние цифры выражают число,делящиеся на 4.N=(an*10n+an-1*10в степениn-1+...+a2*10в степени2)+(a1*10+a0).Признак делимости на 3 и на 9.На 3(или на 9)дел-ся те и только те числа,сумма цифр которых дел-ся на 3(или соответственно на 9).Для док-ва запишем делимое в виде N=[an(10n-1)+an-1(10n-1-1)+...+a1(10-1)]+(an+an-1+...+a1+a0).Очевидно,что число 10k-1=999...9(K цифр) делится на 3 и на 9.Поэтому необходимо и достаточно,чтобы число,стоящее в круглых скобках и равное сумме цифр числа N делилось на 3 и на 9.Признак делимости на 6.На 6 делятся те и только те числа,которые одновременно дел на 2 и на 3. Это следует из св-ва делимости числа на произведение взаимно простых чисел.Из n последовательных чисел a1a+1...a+n-1 одно и только одно делится на n.Действительно если a=nq, то утверждение справедливо.Пусть a=nq+k,где k одно из чисел 1;2;...n-1 Тогда число a+n-k=nq+k+(n-k)=n(q+1) нах-ся среди чисел 6 и делятся на n.

2. Натуральные числа наз-ся числа,которые употребл при счете предметов.Отрезком Na натур ряда наз-ся мн-во натуральных чисел,не превосходящих натурального числа а.Счетом элементов мн-ва А наз-ся устаноевл взаимно однозначного соотвествия м\у мн-ми А и отрезком натур ряда N.С теоретико-множеств позиций кол-ое натур число есть общее св-во класса конечных равномощных мн-в.Число 0 также имеет теоретико множественное истолкование-оно ставится в соответствии пустому мн-ву 0=n(зачеркнут 0).Величины,которые вполне определяемы одним численным значением наз-ся скалярн величинами.(объем,длина,ширина,площадь).

3. 237+526=представим слаг в виде сумм степеней десяти с коэффиц.=(2*10во второй+3*10в первой+7*0 в нулевой)+(5*10 в кв+2*10в перв+6*0)=раскр скобки,поменяем местами слаг так,чтобы ед оказались рядом с ед,дес с дес, на основе сочетат закона=2*10 в кв+3*10 в перв+7+5*10в кв+2*10 в кв+6=перемест зак=2*10в кв+5*10в кв+2*10 в перв+3*10+7+6=сочет зак=(2*10в кв+5*10в кв)+(2*10+3*10)+(7+6)=распр зак умножен отн-но слож=(2+5)*10 в кв+(2+3)*10+(7+6)=7*10 в кв+5*10=1*10*3=7*10 в кв+(5+1)*10+3=7*10 в кв+6*10+3 дес зап чис468-246=представим слаг в виде сумм степеней десяти с коэф=(4*10 в кв+6*10+9)-"2*10 в кв+4*10+1)=(4*10в кв+6*10-9)-2*10в кв-4*10-6=(4*10 в кв-2*10 в кв)+(6*10-4*10)+(9-6)=распред св-во умн=(4-2)*10 в кв+(6-4)*10+(9-6)=2*10 в кв+2*10+3дес зап чис757-208=549(в столбик)Из 7 ед мы не можем вычесть 8ед,берем 5 дес. 1 дес чтобы не забыть об этом ставим точку над цифр 5. в 1 дес-10 ед Из 17 вычтем 8,получим 9.Запишем отв под ед.Из 4 дес вычтем 0 дес,получим 4 дес.Из 7 сотен вычтем 2 сот получим 5 сот.Разность равна 549.

4. а)A-мн-во слив,которые сорвал Дn(A)=8B-мн-во слив,которые сорвала Нn(B)=4С-мн-во всех сливЧтобы отв на вопрос задачи надо к сливам Д присоединить сливы Н и сосчитать ск-ко в этом объединении оказалось элементов.Очевидно,что слож целых неотриц чисел тесно связано с опер объединение мн-в.С=АUВ(объединение)n(C)=n(AUB)C=n(AUB)=8+4=12б)A-мн-во красных карn(A)=6B-мн-во синих карn(B)=4С-мн-во всех кар,которые взяли из коробкиС=AUBn(C)=n(AUB)C=n(AUB)=6+4=10Переместит зак слож:Для любых целых неотриц чисел а и б выполн-ся рав-во а+б=б+аПусть а-число элементов в мн-ве А,В-число элементов в мн-ве ВA/\B=0 зачерка+б=n(АUB)-по определ суммы целых неотриц чисел есть число элем объедин мн-в.АUB=BUA по перемест св-ву объедин мн-в,значит n(AUB)=n(BUA)n(BUA)=b+a(по определ суммы),поэтому a+b=b+a для любых целых неотриц чисел а и b.Сочетательный закон:Для любых целых неотриц чисел а,b,c выполн рав-во (а+b)+c=a+(b+c)Пусть а=n(A),  b=n(B), c=n(C)A/\B=0 зачеркн,   B/\C=зачеркн 0(a+b)+c=n(AUB)+n(C)=n((AUB)C) по определ суммы 2х чиселn((AUB)UC)=n(AUBUC)) по сочет закn(AUB(BUC))=n(A)n(BUC)=a+(b+c) по определ суммы 2х чисел следовательно (a+b)+c=a+(b+c) для любых целых неотриц чисел а,b,c.

5. A={x|x э R, 1<=x<=6}  C={x|x э R, -1<=x<=3}  D={x|x э R, 2<=x<=5}а)CUA/\D  CUA-объединение двух мн-в CUA/\D произведение или пересечение мн-вA\C/\D  A\C-разность двух мн-в A\C/\D разность А\С в пересечение с D.Декартовым произведением мн-ва А и В назыв мн-во пар,первая компонента которых принадл мн-ву А,а вторая компонента мн-ву В.A={1.2.3.4.5.6}   C={-1.0.1.2.3}  CUA={(-1;1)(-1;2)(-1;3)(-1;4)(-1;5)(1;6)(0;1)(0;2)(0;3)(0;4)(0;5)(0;6)(1;1)(1;2)(1;3)(1;4)(1;5)(1;6)(2;1)(2;2)(2;3)(2;4)(2;5)(2;6)(3;1)(3;2)(3;3)(3;4)(3;5)(3;6)}Мн-во задано,если о любом объекте можно сказать,принадлежит он этому мн-ву либо не принадлежит.Характеристич св-во-это св-во которым обладает каждый элемент и не обладает ни одни элемент который ему не принадлежит.2 способа:перечисл эл-ты или указать характер св-во.а)CUA/\D=[2;5]   б)А\СUD=[3;5]   A\C=[3.6]

6. {12.14.16.18}  Мн-во-это группы элементов как единое целое.Элементы мн-в-объекты,из которых образовано мн-во.Мн-во задано,если о любом объекте можно сказать,принадлежит он этому мн-ву либо не принадлежит.Характеристич св-во-это св-во которым обладает каждый элемент и не обладает ни одни элемент который ему не принадлежит.2 способа:перечисл эл-ты. A={3.4.5.6}Если мн-во бесконечно,то его перечислить нельзя.характер св-во-это такое св-во,которым обладает каждый элемент,принадл мн-ву,и не обладает ни один элемент,котор ему не принадл («быть двузн числ»)Отношения м\у мн-ми:A={a,b,c,d,e}B={b,d,k,e}B и D-общие элементы мн-ва А и В,а сами мн-ва пересекаются.Мн-во В наз-ся подмножеством мн-ва А,если каждый элемент мн-ва В явл также элементом мн-ва А. А и В наз-ся равными,если А C B и В С А.Пересечением мн-в А и В наз-ся мн-во,содержащее только такие элементы,которые принадл мн-ву А и мн-ву В. А/\В. Если элементы мн-в А и В перечислены,то,чтобы найти А /\ В,достаточно перечислить элементы,которые принадлежат А и В, т.е. их общие элементы.Объединением мн-в А и В наз-ся мн-во,содержащее только такие элементы,которые принадл мн-ву А или мн-ву В. Если элементы мн-в А и В перечислены,то,чтобы найти АUB,достаточно перечислить элементы,принадл А или В,т.е. хотя бы одному из мн-в. «или».

7. а)9*3=3*9   9*3=30-3  3*9=30-3  9*3>30-6  30-6<30-3  б)(4+2)*3=18  (31-10)+3=24  54-(12+8)=34в)3*6:2=9   9+3+6=18Основн св-ва истинных чисо рав:1)Если к обеим частям истинного числ рав-ва а=в прибавить одно и тоже числовое выражение с,имеющее смысл,то получим также истинное числ рав-во а+с=в+с   а=в=>а+с=в+с2)если обе части истнного числов рав-ва а=в умнож на одно и тоже числ выраж с,имеющее смысл,то получим также истин числ рав-во ас=вс.  а=в=>ас=вс.Св-ва истинных числ нер-в:1)Если к обеим частям истинного числ нер-ва а>в прибавить одно и то же числ выраж с,имеющее смысл,то получим также истинное числов нер-во а+с>в+с   2)если обе части истинного числ нер-ва а>в умнож на одно и то же числ выраж с,имеющее смысл и принимающее положит зн-е,то получим также истинное числ нер-во ас>вс.   3)Если обе части истинного числ нер-ва а>в умнож на одно и то же числ выра-е с,имеющее смысл и принимающ отриц зн-е,то,чтобы получить истинное числ нер-во,необходимо знак нер-ва поменять на противопол,т.е.получ нер-во ас<вс.

8. X={1,2,4,6,7,8,10,11} Отношение T на мн-ве Х наз-ся отнош эквивалентности,если оно рефлексивно,симметрично,транзитивно.Т-"иметь одно и то же число делителей".Данное отношение явл отношением порядка,т.к.оно транзитивно и ассиметрично.Отношением м\у элементами мн-ва Х или отношением на мн-ве Х наз-ся всякое подмнож-во декартова произведения Х х Х.Отношение R на мн-ве Х наз-ся рефлексивным,если о любом эл-те мн-ва Х можно сказать,что он нах-ся в отн-и R с самим собой. R рефлексивно на Х<=>хRx для любого xЭX.Отношение R на мн-ве Х наз-ся симметричнм,если из того,что элемент х нах-ся в отнR с элементом у,следует,что и элемент у нах-ся в отн R с элемен х. R симметрично на Х<=>xRy=>yRx.Отношение R на мн-ве X наз-ся антисимметричным,если для разл элементов x и у из мн-ва X из того,что элемент х нах-ся в отнош R с элемен у,следует,что элемент у в отнош R с элементом х не нах-ся.Отношение R на мн-ве Х наз-ся транзитивным,если из того,что элемент х нах-мя в отн R с элемент у и элемент у нах-ся в отн R с элементом z, следует,что элемент х нах-ся в отн R с элемент z. R транзитивно на Х <=> xRe и yRz=>.

9. 1)А={11.12.13.14.15.16.17.18.19}

А1={55.6065.70.75.80.85.90.95}

2)В={0.2.4.6.8}

В1={0.6.12.18.24} получили четные числа.Получили взаимно однозначные соответствия.

Соответствие м\у элементами 2х мн-в Хи У,так же как и отн-е на мн-ве,представл собой мн-во пар и явл подмножеством декартова произведения мн-в Х и У.

М\у элементами двух мн-в Х и У из всевозможных соответствий при которых каждому элементу мн-ва Х соответствует единственный элемент мн-ва У и каждый элемент мн-ва У соответствует только одному элементу из мн-ва Х.Такие соответствия назыв взаимно однозн.

Мн-ва Х и У считают равномощными,если м\у ними существует взаимно однозначное соответствие.

 

10. 3*2=6   1*4=4   0*2=0

ч\з сумму:   3*2=3+3 (2 слагаемых)  1*4=1+1+1+1 (4слаг) 0*2=0*0

Если мн-ва А1,А2...Аn имеют по а-элементов каждое и никакие два из них не пересекаются,то их объединение содержит а*в-элементов.

Декартопо произведение множеств

n(A)=3  n(B)=2  n(AxB)=n(A)xn(B)=6

n(A)=1  n(B)=4  n(AxB)=n(A)xn(B)=4

n(A)=0  n(B)=2  n(AxB)=n(A)xn(B)=0

Переместит зак:для любых целых неотрицательных чисел а и в справедиливо раве-во а*в=в*а.Пусть a=n(A), b=n(B). тогда по определ произведен a*b=n(AxB).Но мн-ва AxB равномощны:каждой паре (a,b)из мн-ва AxB можно поставить в соответстие единственную пару (b,a)из мн-ва BxA, и наоборот.Значит,n(AxB)=n(BxA),и поэтому a*b=n(AxB)=n(BxA)=b*a

 

Сочетательный: для любых  целых неотриц чисел а,в,с справедливо рав-во (а*в)*с=a*(b*c)

Распредел зак умн отн-но слож:для любых целых неотриц чисел а,в,с справедливо рав-во (a+b)*c=a*c+b*c

Распред щак умн отн-но вычит:для любых целых неотриц чисел а,в и с и а>=b справедливо рав-во (а-в)с=ас-вс

 

11. 524*168=90032  Для получения рез-та нам пришлось число 524 умн на 8;6;1. ,т.е.умнож многозн число на однозн.,но умножив на 6 результат записали по особенному.Поместив единицы числа 3144 под десятк числа 4192 это потому что мы умн на 6 дес третье слаг 524 умн на 1 сотню.Кроме того нам пришлось найти сумму многозн чисел

524*168=524*(1*10 в кв+6*10+8)=запись  чсла в дес с с=524*(1*10 в кв)+524*(6*10)+524*8=расперд зак умн отн-но слож.=(524*1)*10 в кв+(524*6)*10+524*8 сочет зак умн мног числа на однозн.

 

разделить 867 на 3,это значит найти q и r (частное и ост). Согласно определению деления с ост 867=3q+r  0<=r<3, тогда  3q<=867<3(q+1)

Выясним,ск-ко цифр будет в записи частного (одноз,двузн,трехзначн)

1<q<10  3<3q<30  3<867<30 (л)=> частное однозначн быть не может.

10<=q<10  30<=3q<300  30<=3q<300  30<=867<300(л)=>частное двухзн быть не может

100<=q<100  300<=3q<3000  300<=867<30(л)=>частное  трехзн

Определим цифру сотен  частного.Для этого рассм ряд трехзн чисел 100,200,300,400,500,600,700,800,900 каждое умн на 3.

300,600,(867),900,1200

600<867<900(и)   200<q<300=>q=200+q1(двузн числ)

3q<=867<3(q+1)

3(100+q1)<=867<3(200+q1+1)

600+3q1<=867<600+3(q1+1)

3q1<=267<3(q1+1)

Определим цифру десятков частного.Для этого рассм ряд двузн чисел 10,20,30,40,50,60,70,80,90.Каждое умн на 3.

30,60,90,120,150,180,210,240,(267),270

240<=267<270(и)

80<=q1<90=>q1=80+q0(двузн числ)

3q1<=267<3(q1+1)

240+3q0<=267<240+3(q0+1)

3q0<=27<3(q0+1)

Определим цифру единиц частного. Для этого рассм ряд однозначных чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9

Каждое умножим на 3

3,6,9,12,15,18,21,24,27

q-трехзн

q=200+q1+200+80+q0=200+80+9=289

867=3*289+r

867-3*289=r

r=0

 

12. а)числовые выражения

42-5   2-7=7-2  27   142>71-2  (27; 37+-):14  17+13не равно10-15 

б)выражения с переменной

8+0,3b  21-(4+у) х+2у<7  32:у+3

В нач курсе матем выполн тождеств преобразования только числовых выраж.Их теоретич основой явл переместит св-во слож,умнж и разл правила:правила прибавл суммы к числу,числа к сумме,вычитания числа из суммы и др.Н-р,знач-е выраж  4*(5+10)может быть найдено так:

4*(5+10)=4*5+4*10=20+40=60,причем переход  от данного выраж к тождественно равному ему выражению 4*5+4*10 осуществл на основе правла умн числа на сумму(на основе распред зак умн отн-но слож,а делее исполь правила умн и слож натур чисел).

 

13. .Какие теоретические положения используются при выполнении заданий:А)»Начерти два отрезка: первый длиной 1 дм, а второй на 1 см длиннее»Б)»Начерти два отрезка:длина первого 6 см,а второго в 2 раза длиннее.Чему равна длина второго отрезка?»В)»Отрезок длиной 12 см разделить на 2 равные части».Сформулируйте и докажите св-ва длины,используемые для выполнения задания.Назовите стандартные единицы длины.Выполня задание А)учащиеся неявно пользуются тем что для кажюдого положительного числа есть отрезок,длина которого выражается этим числом.Отрезков длиной 1дмсуществует бесконечное множество(поэтому можно начертить свой отрезок,но все они равны м.у собой.Второй отрезок,кот-й на 1см длиннее первого,можно построить по разному.Напр.,на луче ОА можно отложить отрезок ОБ длиной 1дм,затем от точки Б отложить отрезок ВА1,длина которого 1см.Можно сначала найти сумму 1дм+1см=10см+1см=11см,затем построить отрезк 11см.Выполнение зад.Б)Строят отр.длиной 6 см,затем на луче ОА последовательно откладывают 2 равных отрезка длиной 6см.Полученный отр.ОА явл.искомым,его длина равна 2х6см=12см.Задание В)предполагает умиение делить длину на натур.число.Мы не выделили такой операции,т.к деление длины на натур.число н равносильно умножению ее на дробь 1/н. в связи с этим деление 12см на 2 равносильно умножению 12 см на ½.½х12см=(½х12)см=(12:2)см.

14.

15. ((x+2)-81-3530)-21=714

(x+2)-81-3530=714_21

(x+2)-81=735+3530+81

x+2=4346

x=4344

Два уравнения наз равносильными,если их мн-ва решений равны.

Т.Пусть ур-е f(x)=g(x) задано на мн-ве X и h(x)выражение определенное на том же мн-ве.Тогда ур-е f(x)=g(x) и f(x)+h=g(x)+h равносильны на мн-ве X.

Д-во: T1-мн-во решений у(1)  T2-мн-во реш у(2). У(1) и У(2) будут равносильными T1=T2,чтобы в этом убидиться нужно показать,что любой корень из T1 явл-ся корнем из Т2 и наоборот.

Пусть a-корень ур-я(1). aэТ, f(a)=g(a)  h(x)=h(a)  f(a)+h(a)=g(a)+h(a) но это рав-во говорит,что а явл также и корнем ур-я (2). Т1 с Т2.Пусть в-корень ур-я(2).вэТ2. f(b)+h(b)=g(b)+h(b)+(-hb).Получим f(b)-g(b),где b-корень ур-я(1).

Слагаемое+слагаемое=сумма

уменш-вычит=разность

множитель(множитель-произвдение

делимое:делимое=частное

 

 

16. а)36:2=разложим на мн-ва сумму(20+16):2=по правилу дел сум на число 20:2+16:2=10+8=18

б)420:14=разложим на мн-ва сумму 420:(7*2)=по прав делен числа на произв (420:7):2=60:2=30в)невозможно подел на 0г)Разделить с остатком целое неотриц число а на натур число в это значит найти такие целые неотр числа.

q и r a=br+q 0<=r<b

228=8*r+q r=24 q=4

Случаи невозможности  деления на нуль:а)а=с)0 где: а не равно нулю, в=0. б)0=с*0, где а=0 в=0 деление нуля на нуль невозможно Правило деления суммы на число: Если числа а и в дел-ся на число с, то и их сумма а+в дел на с; частное,получаемое при еделении суммы а+в на число с,равно сумме частных,получаемых при делении а на с и в на с,т.е. (а+в)=а:с+в:сДок-во:т.к. а делится на с,то существует такое натур число m=a:c, что a=c*m. Аналогично существ такое натур число n=b^c,что b=c*n. Тогда а+в=с*m+c*n=c*(m*n).Отсюда следует,что а+в делится на с и частное,получаемое при делении а+в на число с,равно m+n, т.е. a:c+b:c.Правило деления числа на произв: Если натур число а дел на натур числа в и с,то,чтобы раздел а нан произв чисел в и с,достаточно раздел число а на в(с) и полученное частное разделить на с(в): а:(в*с)=(а:в):с=(а:с):в.Док-во: Положим (а:в):с=х. Тогда по определ частного а:в=с*х,отсюда аналогично а=в*(сх).На основ сочет закона умн а=(вс)*х.Полученное рав-во означает,что а:(вс)=х. Таким образом, а:(вс)=(а:в):с.