Шпаргалка по "Высшей математике"

Лин. ДУ имеет вид –  y’+p(x)y=*(x)  (1), где p(x)и *(x) – извест. ф-и от х или пост. величины. Это ур-ние решается подставкой –   y=uv, где u и v – неизв. ф-и от х, одну из кот. можно выбр. произв., т. к. это удобно для решения.

Диф-уя y=uv по х получим:

      

Заменим у и  подстав. В ур. 1 :

                     2

Сгрупир. 1 и 3 члены: ;  

Выберем одну из ф-й v так, чтобы коофиц. при u обратился в 0, т.е.           3

Тогда при этом условии ур 1 примет вид:

Найдем v из ур 3 - ,   ,   ,  ,  .

Заменим v подстав. В ур. 2 и найдем u:

, ,  ,  .

Умнож. лев. и пр. части на -   .

Интегрируя посл. Рав-во получ., что

Тогда общ. Решение ур.1 имеет вид -

 

38. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ.

Правило сложения: если интергирующ. нас комбинация элеменов можно разбить на такие группы, что кажд. Комбинац. Элементов войдёт в одну и только одну из групп, то общее число всевозможных комбинаций равно сумме чисел комбинаций в каждой из групп.

Правило умножения: если интергирующ. нас комбинация можно составить выполняя одно за другим k-действий, причем первое действие выполняется n₁способами после чего второе действие n₂способами и т.д., то все k-действий могут быть выполнены n₁∙n₂∙n₃∙…∙n_k способами.

 

39) ПЕРЕСТАНОВКИ И СОЧЕТАНИЯ.

Перестановкой из n-эл-ов Р_n наз число способов, при помощи кот можно разложить nразличных эл-ов на nразличных местах. Можно показать что  Р_n=1*2*3*….*(n-1)n  (1). Для обозначения произведения 1*2*3*….*(n-1)n  испол-ся символ n! (читается n пактериал) итак  1*2*3*…*(n-1)n=n! (2).

Например: подсчитаем какими способами  можно расставить на полки 5 различных  книг. З-ча сводится к нахождению из числа перестановок из 5-ти эл-ов. Число  таких перестановок =произв-ию 1*2*3*4*5=120, => сущ 120 способов расстановки 5-ти книг на полке.

Сочетанием из n эл-ов по m (обозн-ся ) наз число способоы при помощи кот можно выбрать m эл-ов взятых из данных n-эл-ов. Задачи перест и сочет связаны простой з-чей: выбрав m эл-ов из n и затем расположив их на m различных местах очевидно получим размещение из n по m:   , 

 

40) РАЗМЕЩЕНИЯ. РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ.

Размещением из  n по m (обозн-ся ) наз число способов при помощи кот можно расположить m разл-х эл-ов на m разл-х местах, выбранных из данного числа n. Фор-ла для числа размещений:   Напр: допустим что студ необходимо сдать экзамены по 3 дисциплинам в течении 7 дн. Сколькими способами ему можно составить расписание экзамена, если сдача 2 или 3 экзаменов в день не допуск-ся? З-ча сводится к расположению 3-х различных эл-ов (дисциплин по кот сд-ся экзамены) на 3-х местах (днях), взятых из данных семи мест (дней). Поэтому число таких способов=числу размещений =

Размещение с повторениями n по m (обозн-ся ) наз число способов при помощи кот можно расположить n разл-х эл-ов на m разл-х местах. Причём любые из этих n эл-ов могут повтор-ся неск раз. Легко показать основываясь на правиле умножения, что . Напр: посчитаем сколько сущ различных 5-ти значных тел номеров не содерж-их цифру 0. На 5-ти местах может быть расположена любая из 9-ти чисел, причём цифры могут повтор-ся. З-ча сводится к нахождению числа размещения с повторениями. .

 

  42) События и вероятность. Пространство элементарных событий.

Часто в разл жизнен ситуациях зная возможные результаты какого-либо соб., не можем предск. Точный исход: пойд. ли завтра дождь, какой номер выигр. В лотерее, когда перегорит только что купленный сканер и т.п.

Однако, можно срав. различные подхды по тому насколько правдопод. их осуществление, вводя для сравнения некотор. количественную меру изуч. этой теории лежат спец тематического модели, в которой сопостовлению событий по степени их правдоподобностиможно придать точный смысл.

 Под испытанием понимается  реализация определенной совокупности и условия в результате которой наступает только одно элементарное событие (исход).

Пространствоэлементарных собитий  Ω наз. множество эл-ых событий  которые могут произойти в испытании Ω={}

Для монеты Ω={}

В зависимости числа элементарных событий в пространстве Ω различают:

-конечное

-счетное

-несчетное пространство эл-ых  событий

Событием (состовным событием) наз. некоторое подмножество элементарных событий из Ω. Например:

Игральная кость Ω={} – элементарные события.

А- вторичная четного числа: {2,4,6}

события нахываются невозможным если оно не содержит ниодного элементарного события из пространства Ω. Невозможное событие никогда не происходит в данном испытании и обозночаетмч .

События наз. достоверным, если оно  содержит все элементарных события Ω. Достоверное событие совподают с пространством элементарных событий и обозночается Ω. В одних испытаних наступают одни события в других другие. Причем не возможно заранее предсказать какое событие наступит первее.

Такие события наз. случайными и  обозначаются заглавными лат-ми буквами А B C.

Рассмотрим пространство эл-ых событий  Ω. Отношения между событиями  можно рассматривать как отношение  между соответствующими подмножествами множества Ω. События А  и В называются равными (равносильными), т.е. А = В если они состоят из одних и тех же элементарных событий равное событие, наступают или не наступают одновременно. Говорят, что события А влечет за собой событие В, т.е. АсВ если каждое элемантарное событие из А принадлежит событию В. Событие В всегда происходит, когда происходит событие А. А влечет событие В.

Суммой двух событий А и В наз-ся событие А+В, состоящее из элементарных событий пространства Ω, принадлежащее или событию А или событию В или А и В одновременно. Оно наступает тогда, кода наступает хотябы одно из событий А или В.

Произведением двух событий А и В наз-ся событие А*В, состоящее из тех эл-ых событий пространства Ω, которые принадлежат событию А и событию В. событие А* В состоит в одновременном наступлению событий А и В.

Разность двух событий А и В наз-ся событие А/В, состоящее из тех элементарных событий пространства Ω, которые принадлежат событию А и не принадлежат событию В. Событие А/В происходит тогда и только тогда когда А происходит, а В не происходит. Противоположным событим событию А наз-ся событие , которое состоит из элементарных событий из Ω, не принадлежащих А. Событие происходит тогда когда событие А не происходит. Противоположное событие единственно для события А. Поскольку одновременное наступление А и невозможно, то А*= , А+= Ω.

Событие  Аи В наз. несовместными если они не содержат общих элементарных событий, т.е. одновременно наступить не могут. Если событие А и В не совместны, то А*В =. Говорят, что событие , Аi=, i=1,n образуют полную группу событий если выплняются следующие условия:

1)они папарно не совместны:  Аi*Аj=, для i=j.

2)хотябы одно из событий , обязательно наступит: .

Событие полной группы наз-т гипотезами. Противоположное событие образуют полную группу событий.

 

43) ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ.

Вероятность события -это численная мера, которая определяет степень возможности появления события в одном испытание. Для подсчета вероятности различные способы: классическое определение вероятности базируются на предположении о равновозможностей всех элементарных событий конечного пространства Ω. Например: при бросании монеты ни одна грань не имеет преимущества. Пусть Ω={}, где - равновозможные исходы. И пусть событию А благоприятствуют исходы , т.е. А={}.

Вероятность события А=отношению k исходов, благоприятствующих событию А к числу n всех возможных исходов испытания .

Из классического определения  следует свойство вероятностей.

вероятность достоверного события  равно 1 : P(Ω)=1;

вероятность невозможных событий  равно 0: P()=0;

вероятность случайных событий  есть положительное число, заключенное  между 0 и 1: P<P(A)<1

аксиома сложения если события А  и В не совместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В);

Статистическое определение вероятности  исп-ся в том случае, когда нельзя определить равно возможность исходов, пространства Пусть проводится n повторных испытаний, в которых события А наступают k раз. Относительной частотой событие А называется величина W(A)=k/n; Если число опытов не велико, то относительная частота W(A) при разном количестве испытаный будет различное. Т.е. носит случайный характер. Однако при увеличении числа опытов приближается к некоторой средней постоянной величине т.е. имеет место статистическая устойчивость относительной частоты W(A). Постоянная величина к которой приближается относительная частота W(A) при увеличении числа опытов n называется статистической вероятностью события А:    P(A)=

 

44) УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ.

Пусть В- событие, имеющие не нулевую вероятность:  P(B)0. Условной вероятностью события  А наз-ся вероятность этого события при условии, что событие В произошло. Обозначение P(А|В) или Р_В(А).

Событие В наз-ся условием. Условная вероятность обладает следующими свойствами

P(A|B)=P(A*B)/P(B), P(B)>0

если BcA ,то P(A|B)=1

если Аи В несовместны, то  P(A|B)=0

P(Ω |B)=1

P(|B)=0

0< P(A |B)<1

Свойство независимых событий:

- если событие А и В независимые,  то Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

- событие А и достов. событие Ω всегда независимы

- если событие А и В независимы, то независимы и события и В, А и , и

Событие называется независимым совокупностей если появл. любого числа из них не изменяет вероятн. появления остольных.

Вероятность произведения независимых  совокупностей событий = произведению вероятностей этих событий.

Пусть событие образуют полную группу событий. События А наст вметсет с одним из слбыьтй . Тогда справедливо Формула полной вероятности P(A)=

Формула Вайтеса - 

Величины  называются агрегатными вероятностями (вычисляемыми до проведения испытания).

Величины  – апо….ми вероятностями (вычисл. после испытаний)

 

45) СХЕМА НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ.

Пусть проводится n испытаний в каждом из которых возможно только 2 исхода – появление события А или появления события . Исхо…………………..

 

46) СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛЕЧИНЫ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

47) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Пусть Ω -  пространство элементарных событий данного испытания. Случайной величиной ξ (пси) называется действительная функция, которая каждому элементарному событию ω из пространства элементарных событий Ω ставит в соответствие действительное число ξ(ω): ξ: ΩR  или где Ω,  R

Множество значений { Ω } называется множеством возможных значений случайной величины и зависит от пространства Ω: может  быть конечным, счетным, несчетным.

Закон распределения  случайной величины – это любое правило устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующим им вероятностями.

Функция распределения  случайной величины называются функция переменной  равное вероятности того что величина примет значение меньшее : ;

Если рассматривать случайную  величину как случайную точку оси , то функция с геометрической точки зрения есть вероятность того что случайная точка в результате испытания пойдет левее точки .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

   

Функции распределения  всегда неубывающая функция, т.е. для любых выполняется

Функции распределения  непрерывна слева:

Для любых и вероятность попадания случайной величины в интервал и вычисляется по формуле

Различают дискретные непрерывные  случайные величины.

Случайные величина называется дискретной если она принимает конечное (счетное) число значений

Пусть - возможные значения дискретной случайной величины

События – образуют полную группу событий. И пусть

 , тогда

Совокупность пар чисел ( (,.. (называется законом распределения дискретной случайной величиной.

Простейшей формой задания закона распределения случайной величины является ряд распределения, представляющего  собой таблицу в верхней строке которой находятся возможные значения случайной величины , а в нижней – соответствующей вероятности.

Функция распределения  дискретной случайной величины имеет вид

 

График функции  дискретной случайной величины имеет след вид

Случайная величина называется непрерывной если её множество возможных значений представляет собой нечетное множество, т. Е, является некоторым промежутком числовой оси.

В пункте распределения =Р() непрерывна. Функция p= называется плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины . Она является непрерывной или кусочной непрерывной функцией. График плотности распределения вероятности p(x) называется кривой распределения. Плотность распределения вероятности обладает следующими свойствами:

1) p(x)0 для любых xR        2)

3)

4)

 

48) ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Случайные величины также описываются  случайными характеристиками.

Математическое ожидание (среднее значение по распределению) называется число, определяемое в зависимости от типа случайной величины формулой:

 

Математическое ожидание существует если ряд (соответственно интеграл) сходится абсолютно. В противном случае математическое ожидание не существует.

Свойства математического  ожидания:

1) Если

2)

3) Если – случайные величины, то

4) Если значение случайной величины попадает в интеграл [a,b], то  a ≤ ≤ b

Дисперсной случайной величины называется число, определяемое формулой:

В зависимости от типа случайной  величины имеем:

 

Дисперсия существует если ряд(соответ. интеграл) сходятся абсолютно:

Свойства дисперсии:

1)

2) Если то

3) , для любого

4)

Средним квадратным отклонением называется число . Среднее квадратичное отклонение характеризует меру разброса значений случайной величины около математического ожидания.

 

49) НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Говорят, что случайная величина имеет нормальное распределение а и если её плотность вероятностей имеет вид обозначается

График плотности нормальн. распределения  P(x) называетс кривой (кривой Гауса). При a=0, =1 gkjnyjcnm ghbvtn dbl и называется функцией Лапласа. В этом случае случайных величин называется случайно распределенной случайной величиной и обозночается