Шпаргалка по "Теории вероятности"

Пример. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 деталей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки  
, тогда  .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

,  ,

,  .

Следовательно, искомая вероятность

.

Пример. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность  , тогда  . Отсюда по формуле Бернулли находим 
.

Пример. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Пример. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n ³ k), если в каждом из них  .

Решение. Событие В – ровно n испытаний до k-го появления события А – есть произведение двух следующий событий:

D – в n-ом испытании А произошло;

С – в первых (n–1)-ом испытаниях А появилось (к-1) раз.

Теорема умножения и формула  Бернулли дают требуемую вероятность:

Надо заметить, что использование  биномиального закона зачастую связано  с вычислительными трудностями. Поэтому с возрастанием значений n и m становится целесообразным применение приближенных формул (Пуассона, Муавра-Лапласа), которые будут рассмотрены в следующих разделах.

 

1.8. Наивероятнейшее  число успехов

Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов   (появлений события) имеет вид:

Так как  , то эти границы отличаются на 1. Поэтому  , являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда   целое число ( ) , то есть когда  (а отсюда и  ) нецелое число, либо два значения, когда   целое число.

Пример. При автоматической наводке орудия вероятность попадания по быстро движущейся цели равна 0,9. Найти наивероятнейшее число попаданий при 50 выстрелах.

Решение. Здесь  . Поэтому имеем неравенства:

Следовательно,  .

Пример. Данные длительной проверки качества выпускаемых стандартных деталей показали, что в среднем брак составляет 7,5%. Определить наиболее вероятное число вполне исправных деталей в партии из 39 штук.

Решение. Обозначая вероятность выпуска исправной детали через  , будем иметь   и   (получение бракованной детали и получение исправной детали — события противоположные). Так как здесь n=39, то искомое число можно найти из неравенств:

Отсюда наивероятнейшее  число исправных деталей равно 36 или 37.

Неравенства для наивероятнейшего числа успехов   позволяют решить и обратную задачу: по данному   и известному значению р определить общее число n всех испытаний.

Пример. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16, если вероятность попадания в отдельном выстреле составляет 0,7?

Решение. Здесь  .

Составляем неравенства

,

откуда

 и 

Таким образом, число всех выстрелов здесь может быть 22 или 23.

1.9. Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например,   вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

 – среднее число появлений  события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для   и  . При больших   рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано:  .

Искомая вероятность

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано:  .

По теореме сложения вероятностей

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано:  .

Получаем:

 

1.10. Теоремы Муавра-Лапласа

Пусть в каждом из   независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью  ,   (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через   вероятность ровно   появлений события А в   испытаниях. кроме того, пусть  – вероятность того, что число появлений события А находится между   и  .

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

 где   - функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Интегральная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2)  где  - функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Функции Гаусса и Лапласа  обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а) 

б) при больших   верно  .

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при  . Причем чем ближе значения   к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию  , откуда

По таблицам найдем  .

Искомая вероятность равна: 

Пример. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:

В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;

С – число бракованных  изделий в коробке не превосходит 20

Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью  . Находим  . Можно применять формулы Лапласа:

Приблизительно 9,5% всех коробок  содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.

Пример. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

Решение. Будем считать, что событие   произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи  ,  . Нас интересует такое наименьшее число посетителей  , что вероятность одновременного прихода не менее чем   туристов из числа   с вероятностью успеха  приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е.  .

Таким образом, нас интересует такое наименьшее число  , что  . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

В нашем случае:  – неизвестно,  ,  ,  . Тогда

Используя таблицы для  функции  , находим,  , и, значит,  . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.