Шпаргалка по "Математике"

 

 Уравнение прямой проходящей  через две заданные точки – 

 

Уравнение прямой, проходящей через  одну точку:

 

Уравнение прямой, проходящей через  данную точку перпендикулярную данному  вектору:

 

Уравнение прямой в полярных координатах:

 

Условия параллельности двух прямых для уравнений с  угловым коэффициентом состоит в том, чтобы угловые коэффициенты этих прямых были равны. Если задано уравнение в общем виде, то необходимо и достаточно чтобы коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны:      

 

Условия перпендикулярности двух прямых – для того чтобы две прямые, заданные уравнением с угловым коэффициентом, были перпендикулярны, необходимо и достаточно чтобы их угловые коэффициенты были противоположны по знаку и значению:      

Это условие может быть записано в виде           

Если уравнение заданно в  общем виде, то условие перпендикулярности выполняется при равенстве            

Расстояние от точки  до прямой вычисляется по формуле d=

Общее уравнение плоскости выглядит так: .

Если D=0, то плоскость проходит через начало координат.

Если С=0, то плоскость параллельна  Oz; если B=0 то плоскость параллельна Oy; если A=0 то параллельна Ox.

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку М() и перпендикулярную вектору n(A;B;C). Вектор n называется нормальным вектором плоскости.

 

Нормальный вектор плоскости – имеет вид N(A;B;C) и перпендикулярен плоскости.

Уравнение плоскости параллельной двум данным векторам имеет вид:

                                   

Уравнение плоскости проходящей через  три точки имеет вид

 

 

 

 

 

Нормальное уравнение  плоскости имеет вид

Каноническое уравнение  прямой в пространстве –

 

Где координаты точки, точки М, лежащей на прямой, m n p – координаты вектора, коллинеарные этой прямой

 

Параметрическое уравнение  прямой имеет вид:

 

 

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид =

Условие параллельности плоскостей. Две плоскости называются параллельными если не имеют общих точек. 

Свойства параллельности:

1. Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости β, то эти плоскости параллельны.
2. Если две параллельные плоскости пересечены третей, то их линии пересечения параллельны.
3. Через точку вне плоскости можно провесит только одну параллельную плоскость.

Условие: Если плоскости                                                         и                                                           параллельны, то

То нормальные векторы                             и                                коллинеарны (и обратно).  Поэтому  существует необходимое и достаточное  условие параллельности

 

Условие перпендикулярности плоскостей состоит в необходимости и достаточности того, чтобы косинус угла между плоскостями был равен нулю, то есть 

 Либо высчитывая косинус угла между плоскостями:

 

 

 

Расстояние от точки  до плоскости  вычисляется по формуле

 

 

Условие параллельности прямых состоит в пропорциональности координат их направляющих

векторов: ||

 

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, чтобы косинус угла между этими прямыми был равен нулю, то есть

То есть чтобы был равен нулю числитель дроби

 

 

 

 

 

 

 

Угол между двумя плоскостями вычисляется по формуле

Если числитель равен нулю, то плоскости перпендикулярны.

 

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами и вычисляется по формуле

 

 

Условие параллельности прямой и плоскости состоит в том, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

 

Условие перпендикулярности прямой и плоскости заключается в том, что необходимо и достаточно чтобы нормаль к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарных  (были параллельны или совпадали).

 

Угол между прямой и  плоскостью. Если прямая и плоскость заданны уравнениями

 

То угол между ними вычисляется  по формуле 

 

 

 

 

Уравнение прямой как линии пересечения  двух плоскостей имеет вид:

 

 

 

 

При условии что не выполняется  равенство 

 

Направляющий вектор вычисляется  по формуле 

 

 

Квадратичная форма – функция, задаваемая однородным многочленом второй степени.

Кривые второго порядка – линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат. Их классификация:

Окружность – описывается уравнением

Эллипс – описывается уравнением ; ε= ; a, b – большая и малая полуось; с – половина расстояния между фокусами.

Гипербола – описывается уравнением ; Имеет асимптоты, вычисляемые по формулам:   и   ; ε= – эксцентриситет гиперболы.

Парабола -

 

 

 

 

 

 

 

Эллипс – хернь, похожая на сплющенную окружность. Уравнение

Где a и b – большая и малая полуось.

Эксцентриситет – степень вытянутости эллипса – , где с – половина расстояния между фокусами.

Директрисы эллипса вычисляются

При b=a, а так же при ε=0 Эллипс превращается в окружность.

Гипербола - уравнение такое же как и у эллипса – только с минусом.

Вершинами гиперболы, как и у параболы, называются точки, откуда гипербола выходит (место изгиба).

Действительная ось – прямая, проведенная от одной вершины к другой.

Мнимая ось – прямая, перпендикулярная действительной оси.

Если полуоси a и b гиперболы равны, то она называется равносторонней и её каноническое уравнение выглядит как , её асимптоты равны y=x и y=-x.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы  равен .

Сопряженными гиперболами называются гиперболы, имеющие общие асимптоты.

Парабола – задается уравнением

Если степень четная, значит парабола симметрична относительно оси Х.

Если p>0, то парабола расположена справа от оси Y.

При x=0 парабола проходит через начало координат.

Фокальный радиус для любой фигуры – расстояние от фокуса до произвольной точки М.

Уравнения прямых и кривых в параметрическом виде и в  полярной системе координат.

Для окружности

ДОПИСАТЬ ЭТО.

Комплексное число – выражение вида , где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, .  Если х = 0, то число называется чисто мнимым, если y=0, то число x+iy=x отождествляется с действительным числом x.

Число x называется действительной частью комплексного числа z, а y – мнимой.

 Два комплексных числа равны, когда равны их действительные и мнимые части.

Комплексное число равно нулю, когда 

Комплексные числа называются сопряженными, когда они отличаются только знаком мнимой части.

 

Всякое комплексное число z можно изобразить точкой M(x,y). При этом плоскость, на которо изображена точка, будет называться комплексной плоскостью, Ох – действительной осью, а Оу – мнимой осью (на ней лежат чисто мнимые числа).

Модуль комплексного числа – эта длинна вектора, изображающего это мнимое число на плоскости и проведенного из начала координат в точку М.

Аргумент комплексного числа – это величина угла между вектором и положительным направлением действительной оси

Геометрический смысл  комплексного числа заключается в том, что любое комплексное число z можно изобразить на плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат в точку М с координатами х и y, которые являются действительной и мнимой частью этого комплексного числа. При это плоскость, в которой лежат вектор и точка, называется комплексной плоскостью,  модулем – длинна этого вектора, а аргументом – величина угла между этим вектором и положительным направлением действительной оси.

Алгебраическая запись комплексного числа выглядит так:

Тригонометрическая запись комплексного числа выглядит так:

Экспоненциальная запись выглядит так: (формула Эйлера)

Сложение комплексных  чисел – это сумма действительных и мнимых частей двух комплексных чисел:

• Модуль суммы комплексных чисел меньше или равен сумме модулей этих чисел.

Вычитание комплексных  чисел – операция, обратная сложению.

• Модуль разности комплексных чисел больше или равен разности модулей этих чисел.

Умножение комплексных  чисел -

Это же произведение в тригонометрическом виде:

Формула Муавра

Деление комплексных чисел – операция, обратная умножению, выполняется по формуле:

 

Тригонометрическая запись:    

• При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
• При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству то есть

Формула деления такова:

 

Числовая последовательность определяется функцией заданная на множестве натуральных чисел.

Ограниченная последовательность – последовательность, для которой существует число М>0, при котором последовательность становится меньше М при любом n.

Возрастающей называется та последовательность, каждый следующий член которой больше предыдущего.

Постоянна та последовательность, члены которой равны друг другу.

Пределом последовательности называется число, к которому эта последовательность безгранично стремится, но никогда не будет больше или равной этому числу.

Сходящаяся последовательность – последовательность, имеющая один предел.

Расходящаяся последовательность - последовательность не имеющая предела.

Число – называется неперовым числом(числом Эйлера) и является основанием натурального логарифма. Так же является вторым замечательным пределом

 Приблизительно равно 2.72…

Связь между десятичным и натуральным  логарифмом такова:

 

Пределом функции в  точке  называется число А, к которому сводится функция при данном .

Записывается как 

 

Свойства функций, имеющих  предел.

Если функция имеет придел при , то только один.

Если функция имеет придел при , то она ограничена на некотором луче

Если функция имеет придел при , то только один.

Если функция имеет придел при то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки α

 

Функция непрерывна в точке, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть

Свойства непрерывных  функций:

Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке  является непрерывной функцией в  этой точке.

Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x)

Точки разрыва функции – это точки, в которых нарушается непрерывность функции .

Точка разрыва первого рода – точка, в которой существуют конечные пределы функции слева и справа.

=                      =

 

При этом если , то точка α называется точкой устранимого разрыва.

Если , то точка α называется точкой конечного разрыва.

Величину  называют скачком функции в точке разрыва а.

 

Точка разрыва второго  рода – точка, в которой по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Первый замечательный  предел

 

Второй замечательный  предел

 

 

 

 

Функция непрерывна на отрезке  если она непрерывна на интервале и в точке непрерывна справа, а в точке непрерывна слева.

 Функция непрерывна на интервале если она непрерывна в каждой точке интервала.

Свойства функций непрерывных  на отрезке заключается в том, что функция ограничена на данном отрезке и достигает на нем своего наибольшего (М) и наименьшего (m) значения.

Если функция непрерывна на отрезке  и на концах принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале она имеет как минимум одну точку, в которой функция принимает нулевое значение (точку пересечения с осью).

 Обратная функция – функция, обращающая зависимость , выражаемую данной функцией.

 

 

Бесконечно малые функции – функции, предел которых при равен нулю

Любое действие с бесконечно малой  функцией в результате дает бесконечно малую функцию.

Бесконечно большая функция – функция, предел которой стремится к бесконечности при

Если при  функция принимает положительные значения, то предел равен

Любое действие с бесконечно большой  функцией в результате дает бесконечно большую функцию.

Если функция 

Если функция 

Сравнение бесконечно малых функций можно осуществить найдя придел их отношения.

                     

                       β несравненно меньше α (бесконечно  малая функция более высокого  порядка малости)

 

                      β бесконечно малая изшего порядка (α>β)

 

 предел конечен и не равен нулю, то α и β бесконечно малые одного порядка.

 

Сравнение бесконечно больших функций проходит так же – нахождением предела:

 

                                 Обе функции имеют один и  тот же порядок. Если L=1 то функции эквивалентны.

 

 

                                Порядок  Большести.

 

Эквиваленты функций