Шпаргалка по алгебре

Все формулы по алгебре  и геометрии

Формулы сокр. умножения и  разложения на множители :

(a± b)² =a² ± 2ab+b²

(a± b)³ =a³ ± 3a² b+3ab² ± b³

a² -b² =(a+b)(a-b)

a³ ± b³ =(a± b)(a² ∓ab+b² ),

(a+b)³ =a³ +b³ +3ab(a+b)

(a-b)³ =a³ -b³ -3ab(a-b)

xⁿ-aⁿ=(x-a)(x^n-1+ax^n-2+a² x^n-3+...+a^n-1)

ax² +bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

где x₁ и x₂ — корни уравнения

ax² +bx+c=0

Степени и корни :

a^p· a^g = a^p+g

a^p:a^g=a ^p-g

(a^p)^g=a ^pg

a^p /b^p = (a/b)^p

a^p× b^p = ab^p

a⁰=1; a¹=a

a^-p = 1/a

^pÖ a =b => b^p=a

^pÖ a^pÖ b = ^pÖ ab

Ö a ; a = 0

Квадратное уравнение

ax² +bx+c=0; (a¹ 0)

x_1,2= (-b± Ö D)/2a; D=b² -4ac

D>0® x_1¹ x₂ ;D=0® x₁=x₂

D<0, корней нет. 

Теорема Виета:

x₁+x₂ = -b/a

x_1× x₂ = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x₁+x₂ = -p

x_1× x₂ = q

Если p=2k (p-четн.)

и x² +2kx+q=0, то x_1,2 = -k± Ö (k² -q)

Нахождение длинны отр-ка по его координатам

Ö ((x₂-x₁)² -(y₂-y₁)² )

Логарифмы:

log_a x = b => a^b = x; a>0,a¹ 0

a ^{loga x} = x, log_aa =1; log_a 1 = 0

log_a x = b; x = a^b

log_a b = 1/(log _b a)

log_axy = log_ax + log_a y

log_a x/y = log_a x - log_a y

log_a x^k =k log_a x (x >0)

log_a^k x =1/k log_a x

log_a x = (log_c x)/( log_ca); c>0,c¹ 1

log_bx = (log_ax)/(log_ab)

Прогрессии

Арифметическая

a_n = a₁ +d(n-1)

S_n = ((2a₁+d(n-1))/2)n

Геометрическая

b_n = b_n-1 × q

b²_n = b_n-1× b_n+1

b_n = b_1× q^n-1

S_n = b₁ (1- qⁿ)/(1-q)

S= b₁/(1-q)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p -a ) = sin a

sin (p /2 -a ) = cos a

cos (p /2 -a ) = sin a

cos (a + 2p k) = cos a

sin (a + 2p k) = sin a

tg (a + p k) = tg a

ctg (a + p k) = ctg a

sin² a + cos² a =1

ctg a = cosa / sina , a ¹ p n, nÎ Z

tga × ctga = 1, a ¹ (p n)/2, nÎ Z

1+tg² a = 1/cos² a , a ¹ p (2n+1)/2

1+ ctg² a =1/sin² a , a ¹ p n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹ p /2 + p n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ¹ p /2 + p n

Формулы двойного аргумента.

sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 =

= 1-2 sin² a

tg 2a = (2 tga )/ (1-tg² a )

1+ cos a = 2 cos² a /2

1-cosa = 2 sin² a /2

tga = (2 tg (a /2))/(1-tg² (a /2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin² a /2 = (1 - cos a )/2

cos² a /2 = (1 + cosa )/2

tg a /2 = sina /(1 + cosa ) = (1-cos a )/sin a

a ¹ p + 2p n, n Î Z

Ф-лы преобразования суммы  в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

Формулы преобр. произв. в  сумму

sin x sin y = ½ (cos (x-y) - cos (x+y))

cos x cos y = ½ (cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ½ (sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотношение между функциями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg²x/2)

cos x = (1-tg² 2/x)/ (1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg²x)

sin² a = 1/(1+ctg² a ) = tg² a /(1+tg² a )

cos² a = 1/(1+tg² a ) = ctg² a / (1+ctg² a )

ctg2a = (ctg² a -1)/ 2ctga

sin3a = 3sina -4sin³ a = 3cos² a sina -sin³ a

cos3a = 4cos³ a -3 cosa= cos³ a -3cosa sin² a

tg3a = (3tga -tg³ a )/(1-3tg² a )

ctg3a = (ctg³ a -3ctga )/(3ctg² a -1)

sin a /2 = ± Ö ((1-cosa )/2)

cos a /2 = ± Ö ((1+cosa )/2)

tga /2 = ± Ö ((1-cosa )/(1+cosa ))=

sina /(1+cosa )=(1-cosa )/sina

ctga /2 = ± Ö ((1+cosa )/(1-cosa ))=

sina /(1-cosa )= (1+cosa )/sina

sin(arcsin a ) = a

cos( arccos a ) = a

tg ( arctg a ) = a

ctg ( arcctg a ) = a

arcsin (sina ) = a ; a Î [-p /2 ; p /2]

arccos(cos a ) = a ; a Î [0 ; p ]

arctg (tg a ) = a ; a Î [-p /2 ; p /2]

arcctg (ctg a ) = a ; a Î [ 0 ; p ]

arcsin(sina )=

1)a - 2p k; a Î [-p /2 +2p k;p /2+2p k]

2) (2k+1)p - a ; a Î [p /2+2p k;3p /2+2p k]

arccos (cosa ) =

1) a -2p k ; a Î [2p k;(2k+1)p ]

2) 2p k-a ; a Î [(2k-1)p ; 2p k]

arctg(tga )= a -p k

a Î (-p /2 +p k;p /2+p k)

arcctg(ctga ) = a -p k

a Î (p k; (k+1)p )

arcsina = -arcsin (-a )= p /2-arccosa =

= arctg a /Ö (1-a ² )

arccosa = p -arccos(-a )=p /2-arcsin a =

= arc ctga /Ö (1-a ² )

arctga =-arctg(-a ) = p /2 -arcctga =

= arcsin a /Ö (1+a ² )

arc ctg a = p -arc cctg(-a ) =

= arc cos a /Ö (1-a ² )

arctg a = arc ctg1/a =

= arcsin a /Ö (1+a ² )= arccos1/Ö (1+a ² )

arcsin a + arccos = p /2

arcctg a + arctga = p /2

Тригонометрические уравнения

sin x = m ; |m| = 1

x = (-1)ⁿ arcsin m + p k, kÎ Z

sin x =1 sin x = 0

x = p /2 + 2p k x = p k

sin x = -1

x = -p /2 + 2 p k

cos x = m; |m| = 1

x = ± arccos m + 2p k

cos x = 1 cos x = 0

x = 2p k x = p /2+p k

cos x = -1

x = p + 2p k

tg x = m

x = arctg m + p k

ctg x = m

x = arcctg m +p k

sin x/2 = 2t/(1+t²); t - tg

cos x/2 = (1-t² )/(1+t² )

Показательные уравнения.

Неравенства: Если a^f(x)>(<) a^а(ч)

1) a>1, то знак не  меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы : неравенства:

log_af(x) >(<) log _a j (x)

1. a>1, то : f(x) >0

j (x)>0

f(x)>j (x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

j (x)>0

f(x)<j (x)

3. log _f(x) j (x) = a

ОДЗ: j (x) > 0

f(x) >0

f(x ) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x - Ö 3 cos x = 0

2sin x cos x -Ö 3 cos x = 0

cos x(2 sin x - Ö 3) = 0

....

2. Решения заменой  ....

3.sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2

sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :

sin a ³ m

2p k+a ₁ = a = a ₂+ 2p k

2p k+a ₂ = a = (a ₁+2p )+ 2p k

Пример:

I cos (p /8+x) < Ö 3/2

p k+ 5p /6< p /8 +x< 7p /6 + 2p k

2p k+ 17p /24 < x< p /24+2p k;;;;

II sin a = 1/2

2p k +5p /6 = a = 13p /6 + 2p k

cos a ³ (= ) m

2p k + a ₁ < a < a ₂+2 p k

2p k+a ₂< a < (a ₁+2p ) + 2p k

cos a ³ - Ö 2/2

2p k+5p /4 = a = 11p /4 +2p k

tg a ³ (= ) m

p k+ arctg m = a = arctg m + p k

ctg ³ (= ) m

p k+arcctg m < a < p +p k

Производная:

(xⁿ)^’ = n× x^n-1

(a^x)’ = a^x× ln a

(lg a^x )’= 1/(x× ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = - 1/sin² x

(arcsin x)’ = 1/ Ö (1-x² )

(arccos x)’ = - 1/ Ö (1-x² )

(arctg x)’ = 1/ Ö (1+x² )

(arcctg x)’ = - 1/ Ö (1+x² )

Св-ва:

(u × v)’ = u’× v + u× v’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²

Уравнение касательной  к граф.

y = f(x₀)+ f ’(x₀)(x-x₀)

уравнение к касательной  к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k = производная в данной точке  x

3. Подставим X₀, f(x₀), f ‘ (x₀), выразим х

Интегралы :

ò xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c

ò a^x dx = ax/ln a + c

ò e^x dx = e^x + c

ò cos x dx = sin x + cos

ò sin x dx = - cos x + c

ò 1/x dx = ln|x| + c

ò 1/cos² x = tg x + c

ò 1/sin² x = - ctg x + c

ò 1/Ö (1-x² ) dx = arcsin x +c

ò 1/Ö (1-x² ) dx = - arccos x +c

ò 1/1+ x² dx = arctg x + c

ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

Геометрия

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a² = b² +c² - 2bc cos a

b² = a² +c² - 2ac cos b

c² = a² + b² - 2ab cos g

Медиана дели треуг. на два  равновеликих. Медиана делит 

противопол. сторону напополам.

Биссектриса - угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=½ (a+b+c)

S = Ö p(p-a)(p-b)(p-c)

S = ½ ab sin a

S_равн.=(a² Ö 3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S= p R²

S_{сектора}=(p R² a )/360

Стереометрия

Параллепипед

V=S_осн× Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3S_осн.× H

S_полн.= S_бок.+ S_осн.

Усеченная :

H .

V = 3 (S₁+S₂+Ö S₁S₂)

S₁ и S₂ — площади осн.

S_полн.=S_бок.+S₁+S₂

Конус

V=1/3 p R² H

S_бок. =p Rl

S_бок.= p R(R+1)

Усеченный

S_бок.= p l(R₁+R₂)

V=1/3p H(R₁²+R₁R₂+R₂²)

Призма

V=S_осн.× H

прямая: S_бок.=P_осн.× H

S_полн.=S_бок+2S_осн.

наклонная :

S_бок.=P_пс× a

V = S_пс× a, а -бок. ребро.

P_пс — периметр

S_пс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=p R² H ; S_бок.= 2p RH

S_полн.=2p R(H+R)

S_бок.= 2p RH

Сфера и шар .

V = 4/3 p R³ - шар

S = 4p R³ - сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 p R³ H

H - высота сегм.

Шаровой сегмент

V=p H² (R-H/3)

S=2p RH

Табличные данные

град

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

180°

a

-p /2

-p /3

-p /4

-p /6

0

p /6

p /4

p /3

p /2

2p /3

3p /4

3p /6

p

sina

-1

-Ö 3/2

-Ö 2/2

- ½

0

½

Ö 2/2

Ö 3/2

1

- ½

0

cosa

1

Ö 3/2

Ö 2/2

½

0

- ½

-Ö 2/2

- Ö 3/2

-1

tga

Ï

-Ö 3

-1

-1/Ö 3

0

1/Ö 3

1

Ö 3

Î

-Ö 3

-1

0

ctga

---

Ö 3

1

1/Ö 3

0

-1/Ö 3

-1

--

 

n	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	9	16	25	36	49	64	81
3	8	27	64	125	216	343	512	729
4	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561
5	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049
6	64	729	4096	15625	46656
7	128	2181
8	256	6561

 

	-a	p -a	p +a	p /2-a	p /2+a	3p /2 - a	3p /2+a
sin	-sina	sina	-sina	cosa	cosa	-cosa	-cosa
cos	cosa	-cosa	-cosa	sina	-sina	-sina	sina
tg	-tga	-tga	tga	ctga	-ctga	ctga	-ctga
ctg	-ctga	-ctga	ctga	tga	-tga	tga	-tga