Розв’язування фізичних задач із застосуванням теорії поля

Зміст

I. Теоретична частина

     1. Скалярні та векторні поля. Поверхні рівня скалярного поля, числові лінії векторного поля.

     2. Похідна за  напрямками, градієнт скалярного  поля.

     3. Потік векторного  поля через поверхню

     4. Теорема Остроградського  - Гауса. Дівергенція векторного  поля.

     5. Циркуляція  та ротор векторного поля.

II. Практична частина

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Скалярні та  векторні поля. Поверхні рівня  скалярного поля, числові лінії  векторного поля.

Якщо в кожній точці  певної просторової області (v) а то і всього простору задано значення скалярної величини U або векторної величини , то кажуть, що в області (v) (задано скалярне поле U або векторне поле). Поле температур, поле електростатичних потенціалів є прикладами скалярних полів. Поле швидкостей не стискуваної рідини (частот), поле електромагнітної індукції і т. д. – векторні поля.

Скалярне поле однозначно задається функціональною залежністю скалярної величини U=Uвід декартових координат є (v) точок області, де це поле задане.

А далі функцію U ми вважатимемо такою,що має неперервні частинні похідні

, , є С (v) .

Тоді множина точок  області (v), де скаляр U=С є поверхня з неявним рівнянням

U=U= С (1). Такі поверхні називаються поверхнями рівня.

Неважко переконатись, що через  кожну точку,області (v) проходить лише одна поверхня рівня.

Вектор з координатами = { (), (), ()}, =() – вектор нормалі до поверхні рівня, яка проходить через т.=() у цій точці.

Векторне поле однозначно задається трьома функціями

       є (v)

 

,, - проекції на координатні осі ,, відповідно. Ці функції ми вважатимемо такими, що мають неперервні частинні похідні по кожній із змінних .

Силовими  лініями векторного поля називаються криві в (v) в кожній точці з них вектор є дотичною до силової лінії.

Можна показати, що через  кожну точку (v) проходить лише одна силова лінія.

Нехай - силова лінія векторного поля, яка проходить через , M – точки радіус-вектори яких (), (М).

З курсу диференціальної  геометрії відомо, що d () – головна частина простору радіус-вектора при переході () до М напрямленій на дотичній

до   у точці () як і вектор у цій точці. То вектори d () як і () колінеарні.

Умови їх колінеарності у  всіх точках сил лінії 

  =  ,   (2)

Де d = - є рівняннями силової лінії.

В теорії поля розглядають  і поверхні, які суцільним чином  заповнені силовими лініями поля.

Якщо розглянемо поверхні замкнені,то їх називають силовими трубками.

 

     2. Похідна  за напрямками, градієнт скалярного  поля.

Нехай в області (v) задано скаляр поля U, а l – якась пряма в (v)

- фіксована на l точка, М – змінна точка прямої.  М – число, яке дорівнює довжині відрізка [М], якщо вектор М і l мають однаковий напрям, і довжині відрізка [М] зі знаком – (мінус) , якщо вони протилежно напрямлені.

Похідною  скалярного поля U за напрямком l

(познач. Цю похідну )у точку наз. наступну границю:

,

якщо вона існує.

):=- ця  похідна характеризує швидкість, з якою міняється скалярна величина U  в т. у напрямку l. Віднесемо (v) до певної  декартової системи , і позначимо , , напрямні косинуси напрямленої прямої  l.

=^ l; =^ l; =^ l, а {}- координати одиничного напрямного вектора прямої l, l і =1.

Вибравши параметром t величину запишемо параметр рівняння прямої l

x= t +

y= t +       (1)

z= t +

де  (, ,)= , (x,y,z)=М (змінна точка).

 Скаляр U залежить від  t через x,y,z.

U(t)= U( + t, + t, + t).

Обчислимо:

= , як похідну від скалярної функції:

()= ()  ()+ () ()+  () ()= () +  ()+ ()         (2)

Формулу

() () +  () +();

Можна розглянути поки що формально, як

()=( { ) скалярний добуток вектора з координатами

{ на одиничний напрямлений вектор напрям. l.

Вектор{ називається градієнтом скалярного поля U у т. . (познач grad U())

Таке означення нажаль звязане з вибором у просторі системи координат .Для того щоб означити градієнт незалежно від вибору системи координат запишемо (2) у вигляді:

() (grad U()), ) = * * ^ =

= grad U()* ^      (3)

Де = grad U

Коли ^ = 0, то () приймає найбільше значення рівне градієнтом скалярного поля U у т. називається вектор напрямлений по прямій, похідна від U в напрямку якої приймає найбільше значення, останнє ж є модулем градієнта. Оскільки в кожній точці (v), де визначається скалярне поле, за умов на функцію U, зазначених вище існує градієнт, покажуть, що скалярне поле U породжує векторне поле градієнта U.

 

3. Потік векторного  поля через поверхню.

Нехай гладка поверхня (S) знаходиться в нестискуваній рідині з питомою масою ().

() – векторне поле швидкостей частинок рідини, що залежить і від їх координат і від часу.

Визначемо кількість рідини, яка протече через (S) за маленький проміжок

 часу dt.

Через елементарну площадку площі dS , поверхні з нормалю до неї протече за час dt кількість рідини, яка заповнює елементарний циліндр з основою d S у всіх точках dS і всі моменти часу dt можна вважати наближено сталими).

    Висота цього  циліндра дорівнює скалярному  добутку ( dt * ) = dt, де            

- проекція  на його об’єм dv = dtdS, а маса рідини в циліндрі

 d = dtdS.

Кількість рідини, що протече  через всю поверхню за час dt дорівнює

 dt   dS-поверхневий інтеграл Iтипу.

Активність рідини , яка протікає за одиницю часу протягом проміжка dt, тобто у момент часу t (dt0).

Q = dS називається потоком векторного поля нестискуваної рідини.

В загальному випадку, коли гладка поверхня (S) знаходяться в векторному полі (), поверхневий інтеграл I типу.

   Q = dS= dS, де - одиничний вектор нормалі до вибраної сторони поверхні, називається потоком векторного поля через поверхню (S) у вибраному напрямку.

Якщо  віднесемо до певної декартової системи координат , то:

= {},

= ^

= ^

= ^

то:

   Q = + _{+ )} dS

де = {, ,_}

Як показано вище потік векторного поля через поверхню має наступний гідродинамічний смисл:

Q- це маса нестискуваної рідини, яка потікає за одиницю часу t через                        поверхню (t).

Розглянемо ще один приклад:

Нехай (v) внутрішня питома теплоємність якого (x,y,z) знаходиться в скалярному полі  (x,y,z) температур.

Відомо, що тепло тече від  більш нагрітих до менш нагрітих частин тіла, і що кількість тепла, яке  протече за проміжок часу від t до t+dt через елементарну площадку (dS) гладкої двосторонньої поверхні (S) у напрямку – нормалі до (dS) дорівнює  -     dtdS, де - похідна поля температур за напрямом .

(знак «-»(мінус) стоїть,тому  що потік тепла напрямлений  протилежно , напрямлений в старому зростанні температур).

Відомо,що = () є пропорцією градієнта скалярного поля на .

Вектор - = називаэться вектором потоку тепла.

Тоді за одиницю часу в момент t через всю поверхню (S) протече потік тепла

   Q = dS

 

4. Теорема Остроградського  – Гауса.(Дівергенція векторного поля)

Нехай замкнена галадка двостороння  поверхня (S) знаходиться у векторному полі = {, ,_{}відносимо до декартової системи} . За Формулою Остроградського:₌)dxdydz.

Інтервал в лівій частині (1) є повний інтеграл I типу, в якому () напрямлені косинуси векторної нормалі до зовнішньої сторони (S).Згідно з попереднім це потік векторного поля   через поверхню (S) в напрямку зовнішньої нормалі.

Скаляр +) називають дивергенцією векторного поля (di).

Тоді (1) набуває вигляду 

ds=dv                   (2)

Дорівнює потрійному інтегралу  від дивергенції 

Векторного поля по тілу (V), обмеженому поверхню (S).

Означення дивергенції  векторного поля

=+ звя'зано з вибором декартової системи. Позбавимося від цього недоліку. Нехай потрібно обчислити y т. М тіла (V).

Оточимо М двохсторонньою гладкою поверхнею (S) , і запишемо формулу Остроградського- Гауса.

=dv  і застосуємо до потрійного інтеграла теорему про середнє   ds= * V , де - якась середня точка тіла (V) обмеженого (S) .В загальному випадку не більша М.

  V  об’єм тіла (V) .Перейдемо до границі в рівності   =   , спрямувавши діаметр (S) до нуля. При цьому   буде прямувати до М.

   = (3)

(3) і є означенням дивергенції векторного поля , що не залежить від вибору .

 

 5. Циркуляція та ротор векторного поля.

Криволінійний інтеграл II типу

 dx + dy+ dz dl

 по кусково гладкому, шляху (контуру) у векторному полі :

  = + +

Називається циркуляцією векторного поля А по контуру

Якщо  сила, наприклад тяжіння, що діє на мат. точку одиничної маси в положенні то dl має смисл роботи сили тяжіння при переміщенні точки по контуру .

За формулою Стокса:

= ds , де s- гладка поверхня, натягнута на контур

{}- напрямні косинуси нормалі до відповідної до напрямку обходу сторони поверхні.

Вектор з координатами

{

називається ротором вектора  і позначаються rot .

 

 

Практична частина

№1. Дано скалярне поле u=ln , де r = + .      В яких точках простору виконується нерівність

Розв’язання. Приймаючи до уваги нерівність = , =,=, отримаємо = . Рівність =1 виконується на сфері одиничного радіуса з центром в т. М (a,b,c), тобто на множині точок r=1.

№2 Знайти кут між градієнтами поля u= в точках А(1,2,2) та                             В(-3,1,0).

Розв’язання . Косинус кута обчислимо за формулою

= .

Позначивши =++, послідовно отримаємо: u=, = -, =, = =,

r(A)=3, r (B)= ,

 =, = - ,= - ,

= - , =  ,= 0

( (A), (B))= - ,

*=,

= - := -

№3. Обчислити a) ,b) , c) , де = .

Розв’язання.Розглянемо скалярне поле (М)=f (), де f ()- диференцуюча функція. Її поверхня рівня- сфери з центром початку координат О. Градієнт поля (М) напрямлена по нормалі до сфери, тобто по радіусу ОМ. Функція                  f () - зростає якщо  f’(r)<0, і спадає, якщо  f’(r)>0, тому вектор напрямлений в сторону зростання , якщо f’(r)>0, і в сторону спадання , якщо f’(r)<0 ,причому .В силу сказаного вище, маємо: =    *  , де r= {x,y,z}.

У випадку a) )=1,тому =; у випадку b) )=2, тому                = 2; у випадку c) = - , тому = .

№4.Рідина , що заповнює простір , обертається навколо осі  проти часової стрілки з постійною кутовою швидкістю .Знайти розбіжність вектора швидкості і вектора прискорення в точці М(x,y,z) простору в даний момент часу.

Розвя’зання .

Лінійна швидкість  частинки рідини в точці М дорівнює вектору = [], де = k, = ix+ jy + kz, тому отримаємо: = jx - iy, div (M) =                      (-)+ ()= 0

Прискорення (x,y,z) виражається формулою =[] = [[] = (, r) – r() = k - r = - (ix + iy).

За допомогою формули  потока  і розхідності  векторного поля знаходимо:

div (x,y,z) = (- )+ = - 2

                                                          

 

 

                                                                                                                          

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаної літератури

1.Математический анализ в примерах и задачах, ч.2.-Ляшко И.И.,Боярчук А.К.

2.Лекції з курсу математичного аналізу – Процай В.Ф.