Роль математики в химии

                                             Введение

Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности.

Химия – наука, изучающая природу. Основные вопросы, которые решает химия – «Какие бывают вещества и как они устроены?», «Как связано строение веществ с их свойствами?» и «Как из одних веществ получить другие, более полезные или интересные?».

Химия не имеет собственных законов (закон сохранения массы – следствие общего закона сохранение энергии, а периодический закон подчиняется правилам физики). Три теории химии (квантовая химия, химическая термодинамика и химическая кинетика) образуют специальный раздел науки, который называют физической химией.

У химии вместо своих собственных законов и теорий есть колоссальное многообразие изучаемых объектов: одних только индивидуальных веществ в химии охарактеризовано около 60 миллионов (не считая многочисленных смесей). А ведь есть ещё химические реакции между веществами... Лишь очень небольшая доля известных химии веществ (всего несколько процентов) имеется в природе, остальные вещества – продукты деятельности человека. Выдающийся американский химик Роальд Хоффман считает, что химики отличаются от других учёных тем, что собственноручно творят те объекты, которые потом воспринимают и изучают.

Химикам присущ характерный только для них, уникальный, взгляд на окружающий мир, они «чувствуют вещество». Современные химики и физики умеют работать даже с отдельными атомами и молекулами. Первостепенные задачи химии – поиск новых веществ, обладающих полезными свойствами, катализаторов, лекарственных средств, строительных материалов, аккумуляторов энергии.

 

Глава 1. Роль математики в химии.

 

С помощью математики мы производим как простейшие расчёты по химическим формулам и уравнениях химических реакций, так и сложнейшие математические операции, моделирующие сложнейшие химические процессы как в живой, так и неживой природе. Без математики невозможно ни одно химическое производство. Если на мгновение представить, что было бы, если из химии исчезли числа и математические расчёты… Мир бы лишился пищи, лекарств, красок, фотоплёнок, минеральных удобрений, пластмасс, металлических сплавов и многих других полезных веществ и вещей. Математика для химиков – это, в первую очередь, полезный инструмент решения многих химических задач.  Очень трудно найти какой-либо раздел математики, который совсем не используется в химии.  Функциональный анализ и теория групп широко применяются в квантовой химии, теория вероятностей составляет основу статистической термодинамики, теория графов используется в органической химии для предсказания свойств сложных органических молекул, дифференциальные уравнения –

основной инструмент химической кинетики, методы топологии и дифференциальной геометрии применяются в химической термодинамике.

Остановимся подробнее на применении математики в химии.

Математические уравнения и методы, используемые в химии, имеют дело с конкретными свойствами атомов и молекул. Поэтому, математические уравнения, применяемые в химии, а также их решения должны иметь химический смысл. Рассмотрим конкретные примеры в примечании :

Вывод: роль математики в химии велика (многие математические законы и формулы используются для решения химических задач, но в тоже время, химия накладывает ограничения на решение математических уравнений, так как они должны иметь химический смысл).

 

                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.1 Геометрия и симметрия в химии.

Симметрия – понятие, которое лежит в основе фундаментальных законов природы (например, закона сохранения энергии). Оно распространено в химии: практически все известные молекулы либо сами обладают симметрией какого-либо рода, либо содержат симметричные фрагменты.

В современной химии для определения структуры молекул (их геометрического строения) используют разнообразные физические методы, наиболее распространённые из которых – инфракрасная спектроскопия (ИК), спектроскопия ядерного магнитного резонанса (ЯМР) и масс-спектроскопия (MS). Сочетание данных методов позволяет определить структуру даже очень сложных молекул.

Атомы в составе молекулы испытывают небольшие колебания относительно друг друга, так как не фиксированы жёстко. Частоты этих колебаний можно измерить с помощью ИК. Для каждой группы атомов, например, –О–Н, =C=O, –CH3 , имеются свои, характерные только для них частоты. Определяя весь набор частот, устанавливают, какие именно группы атомов входят в состав молекулы.

Спектроскопия ЯМР основана на том, что уровни энергии некоторых магнитных ядер (например, водорода 1H или тяжёлого углерода 13C) изменяются в постоянном магнитном поле, причём это изменение зависит не только от самого ядра, но и от окружения. Помещая образец вещества в магнитное поле (измеряя сдвиг уровней энергии), можно определить окружение каждого ядра, установить строение молекулы. Каждому типу атомов соответствует свой сигнал (пик) в спектре ЯМР.

МS-спектроскопический метод определения строения основан на разложении молекулы на фрагменты под действием пучка электронов высокой энергии. При разложении (в присутствии электронов) фрагменты молекул приобретают отрицательный заряд. В MS-спектрометрах измеряется отношение массы к заряду и находится молекулярная масса фрагментов. Знания состава фрагментов помогают восстановить структуру исходной молекулы.

Рассмотрим геометрию некоторых химических структур. Известно всего пять правильных многогранников – тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Они реализованы в химических структурах .  ( Смотреть  примечание)

Расчётные методы геометрии активно используются химиками при анализе расположения атомных частиц в молекулах или упаковки отдельных частиц (молекул, атомов и ионов) в более крупных агрегатах (кристаллах, кластерах, мицеллах, наночастицах). В подобных задачах требуется умение решать плоские фигуры (треугольники и многоугольники) и знание выражений для объёмов различных тел (шаров, кубов, цилиндров), представляющих модели химических частиц.

Вывод: геометрия в химии имеет большое значение: многие вещества обладают формой геометрических фигур. С помощью графов можно представить строение молекул органических веществ, их изомеров; расчет топологических индексов позволяет прогнозировать физико-химические свойства веществ, количественно отражать одну из основных идей химии – «Структура определяет свойства». А использование знаний о симметрии помогает устанавливать структуру вещества.

 

 

 

 

 

Глава 2. Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач?  

Математические уравнения и методы, используемые в химии, имеют дело не с абстрактными величинами, а с конкретными свойствами атомов и молекул, которые подчиняются естественным природным ограничениям.  Иногда эти ограничения бывают довольно жесткими и приводят к резкому сужению числа возможных решений математических уравнений. Математические уравнения, применяемые в химии, а также их решения должны иметь химический смысл   Многие физические величины, используемые для описания химических веществ и реакций, могут принимать только неотрицательные значения:

масса, объем, концентрация, скорость реакции и др.

   Химикам часто  приходится решать задачи на  расчет состава равновесной смеси. В них возникают полиномиальные  уравнения относительно доли  превращения исходных веществ в продукты. Согласно основной теореме Алгебры полином n-ой степени имеет ровно n корней,  среди которых могут быть и комплексные.  Однако во всех уравнениях, возникающих в химии, только один корень имеет химический смысл.   В химии нет иррациональных чисел. Иррациональное число содержит бесконечное число знаков в десятичной записи. Химия – наука экспериментальная, она оперирует с результатами измерений, которые выражаются или целыми числами, или дробными, но полученными с конечной точностью, как правило, не более 4 значащих цифр.  Например,  показатель преломления вещества может быть равен 1.414,  но не бывает равным √2.

    Поэтому числа  π и e, часто возникающие в химических  расчетах, обычно округляют до 3.14 и 2.72, соответственно.   В химии нет понятия  «бесконечность». Число атомов в наблюдаемой части Вселенной очень велико, и, конечно, поэтому в природе нет бесконечно больших величин. Каковы же самые большие числа, используемые химиками? Число атомов во Вселенной оценивается как 1050, на Земле – 1080атомов, в человеческом организме их примерно 1027. В статистической термодинамике возникает число способов перестановки одинаковых молекул в порции жидкого вещества,  которое равно N!,  где N ~ 1023. Для оценки этого числа используем формулу Стирлинга.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3.  Математическая химия

раздел теоретической химии, область исследований, посвящённая новым применениям математики к химическим задачам

Основная область интересов это математическое моделирование  гипотетически возможных физико-химических и химических явлений и процессов, а так же их зависимость от свойств атомов и структуры молекул. Математическая химия допускает построение моделей без привлечения квантовой механики. Критерием истины в математической химии являются математическое доказательство, вычислительный эксперимент и сравнение результатов с экспериментальными данными .

В математической химии разрабатывают новые приложения математических методов в химии. Новизна обычно выражается одним из двух способов: развитие новой химической теории; развитие новых математических подходов, которые позволяют проникнуть в суть или решить проблемы химии.

Модели  математической химии— это закон действующих масс, созданный математиком К. Гульдбергом и химиком-экспериментатором П. Вааге, граф механизма химических превращений и дифференциальные уравнения 

химической кинетики. Один из создателей «химической динамики»  Вант -Гофф  писал о себе: «Двойное стремление: к математике, с одной стороны, и к химии — с другой, проявилось во всех моих научных устремлениях».

             

 

 

Заключение

В книге В. В. Ерёмина «Математика в химии» рассматриваются примеры, показывающие, как некоторые математические понятия используется в химии. Они дают определенное, но неполное представление о задачах, решаемых химиками с помощью математики, и ограничениях, которые химия накладывает на применяемую в ней математику.

Взаимодействие химиков и математиков не ограничивается решением только химических задач: иногда и в химии возникают абстрактные задачи, которые приводят даже к появлению новых областей математики. Например, математики работают над доказательством второго закона термодинамики – одного из законов химии, справедливость которого для химиков вытекает из известных экспериментальных данных о химических веществах и химических реакциях.

История науки говорит о том, что именно на границах различных областей знания происходят очень интересные события, открытия. И хотя химики и математики мыслят по-разному, те случаи, когда им удается взаимодействовать, как пишет Вадим Владимирович Еремин, приводят к появлению «красивых и нетривиальных результатов и способствуют обогащению обеих наук».

 

                                        

 

 

 

 

 

Примеры

Роль математики в химии.

Пример 1

Число атомов в молекулах должно быть положительным целым числом. Рассмотрим уравнение 12x+y=16. Для математика это уравнение описывает прямую. Оно имеет бесконечно много решений. Для химика выражение 12x+y описывает молекулярную массу углеводорода CxHy (A(C) = 12 г/моль; А(Н) = 1 г/моль). Молекулярную массу 16 имеет единственный углеводород, первый член гомологического ряда алканов – метан (CH4), поэтому только одно решение данного уравнения обладает химическим смыслом: x=1, y=4.

Пример 2

Физические величины, используемые для описания химических веществ и реакций, могут принимать только неотрицательные значения: масса, объём, концентрация, скорость реакции др.

Часто химикам приходится решать задачи на расчет состава равновесной смеси. В них возникают полиномиальные уравнения относительно доли превращения исходных веществ в продукты реакции. Согласно основной теореме алгебры полином n–ой степени имеет ровно n корней, среди которых могут быть и комплексные. Между тем, во всех уравнениях, возникающих в химии, только один корень имеет смысл.

Пример 3

В химии нет иррациональных чисел. При математических расчетах в химии используют целые числа или дробные, но полученные с конечной точностью (как правило, не более 4 значащих цифр: числа π и е в расчетах округляют до 3,14 и 2,72 соответственно).

Геометрия в химии

Пример 1

Тетраэдр. Молекула с такой геометрией существует в природе это – молекула белого фосфора (P4). Каждая вершина связана с тремя другими (атомы фосфора в P4 трёхвалентны).

175px-White_phosphrous_molecule

tetrahedrane-3d-balls

Валентность III характерна для групп С–Н, поэтому можно представить себе углеводород, углеродный скелет которого имеет форму тетраэдра – тетраэдран.

Пример 2

Углеводород в форме куба (формула C8H8) называется кубан.

File:Cubane-3D-balls.png

Пример 3

Органических молекул, имеющих форму икосаэдра, не существуют, так как углерод пятивалентным не бывает. Однако, известен отрицательный ион такой формы – додекаборан B12H122–.