Решение задач линейного программирования симплекс методом

 

 

«Решение задач линейного  программирования симплекс методом»

 

 

 

 

Введение

 

 

Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном  пространстве при заданных линейных ограничениях.

 

Заметим, что каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем  линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый  многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным  комплексом. Уравнение W(x) = c, где W(x) - максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. Тогда экстремальная задача приобретает следующую формулировку - требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c) пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Заметим, что пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причём, их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено.

 

Целью данной курсовой работы является нахождения решения задач  симплекс методом.

 

Задачи курсовой работы:

 

.Изучить что такое симплекс-метод

 

.Рассмотреть методы решения

 

.Рассмотреть решение задачи

 

 

1. Теоретические основы  линейного программирования

 

 

.1 Что такое линейное  программирование

 

 

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений  в виде линейных уравнений или  линейных неравенств относятся к  задачам линейного программирования.

 

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического  программирования. Это объясняется  следующим:

 

·математические модели очень  большого числа экономических задач  линейны относительно искомых переменных;

 

·эти типы задач в настоящее  время наиболее изучены;

 

·для них разработаны  специальные конечные методы, с помощью  которых эти задачи решаются, и  соответствующие стандартные программы  для их решения на ЭВМ;

 

·многие задачи линейного  программирования, будучи решенными, нашли  уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;

 

·некоторые задачи, которые  в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут  стать линейными или могут  быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного  программирования.

 

Итак, Линейное программирование - это направление математического  программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые  характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

 

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие  ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

 

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего  или наименьшего значения некоторой  функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы  и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное  множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе  ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой  определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором  достигается максимум или минимум  функции F, называется оптимальным планом задачи.

 

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями  производства. Задачей линейного  программирования (ЗЛП) является выбор  из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

 

В общей постановке задача линейного программирования выглядит следующим образом:

 

Имеются какие-то переменные х = (х1, х2, … хn) и функция этих переменных f(x) = f (х1, х2, … хn), которая носит название целевой функции. Ставится задача: найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции f(x) при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G:

 

 

1.2 Симплекс-0метод

 

 

Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует  максимуму (минимуму), то переходят  к соседней, увеличивая значение функции  цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход  от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как  число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется  нахождение оптимального значения или  установление того факта, что задача неразрешима.

 

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного  программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система  линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем  выбрать r неизвестных, которые выразим  через остальные неизвестные. Для  определенности предположим, что выбраны  первые, идущие подряд, неизвестные X1, X2,…, Xr. Тогда наша система уравнений может быть записана как

 

 

 

 

К такому виду можно привести любую совместную систему, например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно  выражать через остальные первые r неизвестных (мы это сделали для  определенности записи). Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными.

 

Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных (выраженных через  свободные), мы будем получать различные  решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое  ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны  нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных  базисных видов у данной системы  ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным  решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные X1, X2,…, Xr, то решение {b1, b2,…, br, 0,…, 0} будет опорным при условии, что b1, b2,…, br ? 0.

 

Симплекс-метод основан  на теореме, которая называется фундаментальной  теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных  планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно  есть опорное решение ее системы  ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает  с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы  ограничений конечное число. Поэтому  решение задачи в канонической форме  можно было бы искать перебором опорных  решений и выбором среди них  того, для которого значение F самое  большое. Но, во-первых, все опорные  решения неизвестны и их нужно  находить, a, во-вторых, в реальных задачах  этих решений очень много и  прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод  представляет собой некоторую процедуру  направленного перебора опорных  решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному  алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором  значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов  мы приходим к опорному решению, которое  является оптимальным планом.

 

 

1.3Пример решения линейного  уравнения симплекс-методом

 

линейный симплекс уравнение

 

К такому виду можно привести любую совместную систему, например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно  выражать через остальные первые r неизвестных (мы это сделали для  определенности записи). Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными.

 

Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных (выраженных через  свободные), мы будем получать различные  решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое  ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны  нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных  базисных видов у данной системы  ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным  решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные X1, X2,…, Xr, то решение {b1, b2,…, br, 0,…, 0} будет опорным при условии, что b1, b2,…, br ? 0.

 

Симплекс-метод основан  на теореме, которая называется фундаментальной  теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных  планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно  есть опорное решение ее системы  ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает  с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы  ограничений конечное число. Поэтому  решение задачи в канонической форме  можно было бы искать перебором опорных  решений и выбором среди них  того, для которого значение F самое  большое. Но, во-первых, все опорные  решения неизвестны и их нужно  находить, a, во-вторых, в реальных задачах  этих решений очень много и  прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод  представляет собой некоторую процедуру  направленного перебора опорных  решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному  алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором  значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов  мы приходим к опорному решению, которое  является оптимальным планом.

 

Итак, симплексный метод  вносит определенный порядок как  при нахождении первого (исходного) базисного решения, так и при  переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем.

 

Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то есть к системе m линейных уравнений с n переменными (m < n), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще.

 

Если первое же найденное  базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то, осуществляется переход к другому, обязательно  допустимому базисному решению.

 

Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении  линейная форма, если и не достигнет  оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят  решение, которое является оптимальным.

 

Если первое найденное  базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений.

 

Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного  решения системы ограничений  или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения.

 

При этом каждый этап может  включать несколько шагов, соответствующих  тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений  всегда ограниченно, то ограниченно  и число шагов симплексного метода.

 

Приведенная схема симплексного метода явно выражает его алгоритмический  характер (характер четкого предписания  о выполнении последовательных операций), что позволяет успешно программировать  и реализовать этот метод на ЭВМ. Задачи же с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.

 

Не останавливаясь подробнее  на сути алгоритма, опишем его вычислительную сторону. Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц, которые являются сокращенной записью  задачи линейного программирования в канонической форме. Перед составлением симплекс-таблицы задача должна быть преобразована, система ограничений  приведена к допустимому базисному  виду, c помощью которого из целевой  функции должны быть исключены базисные переменные. Вопрос об этих предварительных  преобразованиях мы рассмотрим ниже. Сейчас же будем считать, что они  уже выполнены и задача имеет  вид:

 

 

 

 

Здесь для определенности записи считается, что в качестве базисных переменных можно взять  переменные X1, X2,…, Xr и что при этом b1, b2,…, br ? 0 (соответствующее базисное решение является опорным)

 

 

 

1.4 Пример составления  симплекс-таблицы

 

 

Для составления симплекс-таблицы  во всех равенствах в условии задачи члены, содержащие переменные, переносятся  в левую часть, свободные оставляются  справа, т.е. задача записывается в виде системы равенств: