Решение уравнений, содержащих параметр

                                             

 

Содержание

 

введение

1.Линейные и  квадратные  уравнения, содержащие параметр

2.Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к линейным

3.Иррациональные  уравнения, содержащие параметр

4.Показательные    уравнения,  содержащие  параметр

5.Логарифмические  уравнения, содержащие параметр

6. тригонометрические  уравнения, содержащие параметр

7.Графический метод.

 заключение

литература

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

         Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные затруднения. Это связано с тем, что данная  тема отсутствует в обычных программах для общеобразовательных классов, а  в  профильных классах ограниченно время на ее изучение, хотя из года в год эти задачи предлагаются на Едином Государственном Экзамене и на ГИА.  Существующие пособия адресованы абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.

              Актуальность выбранной мною темы определяется необходимостью уметь решать такие задачи с параметрами при сдаче Единого Государственного экзамена.

              Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами линейной, квадратичной, дробно-линейной, иррациональной, показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

           Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2. выделить общие методы решения данных уравнений;
3. показать решение основных типов уравнений с параметрами

           

 

 

 

Объектом исследовательской  работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.

Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.

Определим понятие уравнений  с параметрами. Если в уравнении  некоторые коэффициенты заданы не конкретными  числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой небольшой  класс задач многим не позволяет  усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как  бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а  во-вторых, - степень свободы общения  ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют  предварительных исследований. Как  правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить  при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения  с фиксированным, но неизвестным  числом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейные и  квадратные  уравнения, содержащие параметр

 

Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр, можно  объединить в одну группу – группу уравнений с параметром не выше второй степени.

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид  определяется многочленом  . Контрольные значения параметра определяются уравнением .

Тогда решением всякого уравнения  с параметром не выше второй степени  осуществляется по следующим этапам:

1. На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.
2. На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду .
3. Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых .
4. Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень .
5. Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта.

 

 

Множеству значений параметра, для которых  и , соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где и , частные уравнения имеют два различных действительных корня.

 

Пример 1.

Для каждого параметра  решить уравнение:

(– 2 ) = – 1

Решение. Для решения данного уравнения, достаточно рассмотреть два случая:

 

1)Пусть  , тогда уравнение принимает вид . То есть, уравнению удовлетворяет любое действительное число.

2) Пусть , тогда уравнение (– 2 ) = – 1 является линейным и

имеет  одно решение,  

Ответ:   при , при .

 

 Пример 2. Решить уравнение

(а — 1)∙ х²+2∙ (2а+1)∙ х + (4а+3) =0.   

 

 

 

 

 

 

Решение. В данном случае контрольным значением параметра a является единица. Дело в том, что при a=1 уравнение является линейным, а при а≠1 оно квадратное. Значит, целесообразно рассмотреть уравнения, получающиеся из него при следующих значениях параметра: 1) a=1; 2) а≠1. Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = – .

2) Из множества значений  параметра а≠1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения обращается в 0.

Составим дискриминант уравнения:

=(2а + 1)² — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.

Из уравнения =0 находим — второе контрольное значение параметра а. При этом если , то D < 0; если  , то  D ≥ 0; 

Таким образом, осталось решить уравнение в случае, когда  и  в  случае, когда    и .

Если  ,  то  уравнение не  имеет действительных корней;

если  же  и , то  находим ;

если  , то и тогда .

 

 

 

 

Ответ: 1) если  ,  то  корней  нет;

2) если  а = 1,  то  х = ;

3) если  , то ;

4)  если  ,    то    .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к линейным

 

Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной  схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих  частей уравнения на общий знаменатель  левой и правой его частей. После  чего решаем известным нам способом целое уравнение, исключая посторонние  корни, то есть числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В  случае уравнений с параметрами  эта задача более сложная. Здесь, чтобы посторонние корни исключить, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в  нуль, то есть решать соответствующие  уравнения относительно параметра.

 

Пример 3. Решить уравнение каждого параметра :

.  

Решение. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если  а≠0, то после преобразований уравнение примет вид:

х²+2 (1 — а) х +а² — 2а — 3=0. 

Найдем дискриминант уравнения: = (1 — a)² — (a² — 2а — 3) = 4. Находим корни: х₁ =а + 1,   х₂ = а — 3. При переходе от одного уравнения к другому расширилась область определения, что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х₁+1=0, х₁+2=0, х₂+1=0, х₂+2=0.

 

 

 

 

Если  х₁+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а = - 2.

Таким образом, при а = - 2  х₁-посторонний корень уравнения.

Если х₁+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а = - 3.

Таким образом, при а = - 3 x₁- посторонний корень уравнения.

Если х₂+1 =0, т. е. (а-3)+1=0, то а=2.

Таким образом, при а=2 х₂ - посторонний корень уравнения.

Если х₂+2=0, т. е. (а - 3)+2=0, то а=1.

Таким образом, при а = 1 х₂- посторонний корень уравнения

При а = - 3  получаем х = - 6; при a = - 2   х = - 5; 

При a=1   х = 1+1=2; при a=2    х=2+1=3. Итак, можно записать

Ответ: 1) если a = - 3, то х = - 6;

2) если a = -2, то х = - 5;

3) если a=0, то корней нет;

4) если a = 1, то х=2;

5) если а=2, то х=3;

6) если  , то  х₁ = а + 1, х₂ = а – 3.

 

 

 

 

 

 

  

Иррациональные  уравнения, содержащие параметр

 

Главными особенностями  при решении уравнений такого типа являются:

1. ограничение области определения неизвестной х, так как она меняется в зависимости от значения параметра.
2. в решении уравнений вида при возведении в квадрат необходимо учитывать знак и проводить проверку корней.

При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в  квадрат мы переходим к решению  квадратного уравнения с параметром.

Рассмотрим пример и попробуем заметить эти особенности при решении.

Пример 4. Решить уравнение:

 

Решение. Для решения данного уравнения необходимо возвести обе части в квадрат, но при этом нужно накладывать ряд ограничений. Во-первых, под арифметическим корнем может стоять только число неотрицательное, тот есть  . Во-вторых, , . После возведение в квадрат и соответствующих преобразований, получаем:

 

 

 

 

 

 

, тогда , подставляя это значение в первоначальное уравнение, получим:

 

 

 

Из неравенств следует, что  при ,  определяется на промежутке

Ответ: при , , а при уравнение не имеет корней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательные    уравнения,  содержащие  параметр

 

Большинство показательных  уравнений с параметрами сводится к показательным уравнениям  вида:  а ^{f (x)} = b ^φ(х)  (*), где  а>0, b>0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как  пересечение областей допустимых значений функций  f(x)  и φ (х). Для решения уравнения  (*) необходимо  рассмотреть  следующие  случаи:

1. При а=b=1 решением уравнения (*) является область его допустимых  значений  D.
2. При  а=1, b≠1 решением уравнения  (*) служит решение уравнения  φ(х)=0  на  области допустимых  значений  D.
3. При  а≠1, b=1  решение уравнения (*)  находится как решение уравнения      f(х) = 0  на  области D.
4. При  а=b  (а>0, а≠1, b>0, b≠1)  уравнение  (*)  равносильно  уравнению    f(х) = φ(х)  на  области D.

При  а≠b  (а>0, а≠1, b>0, b≠1)  уравнение  (*)  тождественно  уравнению    (c>0, c≠1) на области D.

Пример 5.  Решить уравнение:

 

Решение. Проведем некоторые преобразования:                                                                                                 

 

 

 

 

 

Так как, не может быть отрицательным числом определяем значения параметра n при которых уравнение имеет смысл.

            

Решая это неравенство  методом интервалов, получим промежутки , только при этих n уравнение имеет корень

 

Ответ: при 

при   нет корней

 

 

             

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логарифмические  уравнения, содержащие параметр

 

Решение  логарифмических  уравнений  с  параметрами  сводится  к  нахождению  корней  элементарного  логарифмического  уравнения. Важным  моментом  решения  уравнений  такого  типа  является   проверка  принадлежности  найденных  корней  ОДЗ  исходного  уравнения:

 

Пример 6. Решить  уравнение

2 – log

(1 + х) = 3 log _а - log (х ² – 1)².

Решение. ОДЗ: х > 1,  а > 0, а ≠ 1.

Осуществим  на  ОДЗ  цепочку  равносильных  преобразований  исходного  уравнения:

log _а а² + log _a(х² - 1) = log _а (

) ³ + log _a ,

log _а (а² (х² - 1)) = log _а ((

) ³ ),

а² (х² - 1) = (х - 1)

,

а² (х - 1) (х + 1) = (х - 1)

.

Так  как  х ≠ -1  и х ≠ 1, сократим  обе части уравнения на  (х - 1) и на . Тогда получим = .

Возведем  обе  части  полученного  уравнения  в  квадрат:

а⁴ (х + 1) =  х – 1 а⁴ х + а⁴ =  х – 1 х( 1 - а⁴ ) =  а⁴ + 1.