Решение Слау методом Гаусса

Теперь обнулим коэффициент  при y в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4 :

В результате мы привели  исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

z = - 1 из третьего;

y = 3 из второго, подставив полученное z

 x = 2 из первого, подставив полученные z и y.

Таким образом, исходная система  решена.

В случае если число уравнений  в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда  ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

 

Пример 2)

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную  форму. Получится матрица 3 × 4, слева  от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят  свободные члены.

Проведём следующие действия:

Из  второй строки  вычтем первую строку, умноженную на 3;

Из третьей строки  вычтем первую строку:

Вторую строку умножим на -1;

Из третьей строки вычтем вторую строку:

Третью строку умножим на -1;

Из второй строки вычтем третью строку, умноженную на 2;

Из первой строки вычтем третью строку, умноженную на 3:

Из первой строки вычтем вторую строку, умноженную на 2:

В левой части матрицы  по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:

 х₁ = -4

 х₂ = -13

 х₃ = 11

Пример 3) 

 Найдите общее решение  системы уравнений 

 

где неизвестными являются  x₁,..x₆.

Выпишем расширенную матрицу  системы 

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число -4;

к третьей строке прибавим первую, умноженную на  -3:

 

Прибавим к третьей  строке вторую, умноженную на число  -2:

Прямой ход метода Гаусса закончен. Выписываем по полученной матрице систему уравнений:

 

Переносим в правую часть  неизвестные x₁, x₃, x₄, x₆ (неизвестное x₁ реально в ней присутствовать не будет, коэффициент перед ним равен нулю). Получаем :

Пусть x₁=C₁, x₃=C₂, x₄=C₃, x₆=C₄ . Из уравнений находим:

Ответ: x₁=C₁ ,  x₂= 5-C₂+ C₃+C₄ , x₃=C₂ , x₄=C₃ , x₅= - 2- C₄ , x₆=C₄ , где C₁, C₂, C₃, C₄ -произвольные числа.        

Замечание:  В процессе решения можно также установить, какие ранги у матриц  и  где расположены их базисные миноры. В предыдущем примере  базисный минор расположен в строках с номерами 1, 2, в столбцах с номерами 2, 5.        

Пример 4)

Найдите общее решение системы уравнений

 

Запишем расширенную матрицу  системы:

 

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на -20;

к третьей строке прибавим первую, умноженную на -4;

к четвертой строке прибавим первую, умноженную на -5:

 

Вторую строку, умноженную на  -1, прибавим к третьей:

 

В третьей строке все элементы a_3j  равны нулю, а элемент b₃ ≠ 0 . Значит, система несовместна.

Ответ: Система несовместна.        

Пример 5)

Решите систему 

 

Запишем расширенную матрицу  системы:

 

Первую строку, умноженную на числа  ,  -1,  -2, прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам:

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на  . Получим:

 

К четвертой строке прибавим третью, умноженную на :

Выписываем по полученной матрице  систему уравнений:

 

Находим последовательно  значения неизвестных:

 

Ответ: x₁ = , x₂ = , x₃ = , x₄ = .        

 

 Замечание: Так же, как и при решении системы уравнений по правилу Крамера, при использовании метода Гаусса приходится выполнять большой объем вычислительной работы. Из-за этого вполне возможно, что будет допущена какая-либо ошибка в вычислениях. Поэтому желательно после решения системы выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Для выполнения полной проверки подстановку нужно произвести во все уравнения системы. Если же по каким-то причинам это невыполнимо, то можно подставить найденные значения в одно уравнение. В отличие от правила Крамера в методе Гаусса эту подстановку нужно производить в ПОСЛЕДНЕЕ уравнение исходной системы. При наличии в этом уравнении всех неизвестных эта подстановка почти всегда покажет наличие ошибки, если таковая была допущена.