Решение системы линейных алгебраических уравнений

Лабораторная  работа 3. Решение системы линейных алгебраических уравнений

 

Цель: Освоить технологию решения систем линейных алгебраических уравнений в интегрированной среде MathCad.

 

Задание: Решить систему линейных алгебраических уравнений

1. матричным методом;
2. методом Гаусса;
3. используя функцию lsolve;
4. методом простой итерации;
5. методом Зейделя.

 

Методика  выполнения задания:

 

Чтобы решить систему  линейных алгебраических уравнений  можно использовать несколько способов, причем технология нахождения параметров заданной системы линейных алгебраических уравнений на первых этапах аналогична, а именно, пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными, найдем ее решение. Для этого присвоим некоторой переменной М матрицу значений коэффициентов при неизвестных, воспользуемся динамической кнопкой , расположенной на панели инструментов Матрица, входящей в Математическую палитру интегрированной среды MathCad. Некоторой переменной V присвоим матрицу – столбец значений, расположенных в правой части системы алгебраических уравнений (то есть после знака =).

1. Определение решения системы матричным методом.

Используем представление  системы линейных алгебраических уравнений в векторной форме, то есть A*X=B, где A – матрица значений при неизвестных, B – вектор свободных членов, а Х – вектор неизвестных, тогда исходя из этого уравнения Х=A^-1*B, задав последнюю формулу получим решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Определение решения методом Гаусса.

Сформируем расширенную матрицу системы Mr добавлением к матрице М справа матрицу V, используя встроенную функцию augment. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду Mg, с помощью функции rref и выделим из нее блок матрицы  – ее последний столбец, содержащий решение системы, с помощью функции submatrix.

 

 

 

3. Определение решения системы с помощью встроенной функции lsolve.

Активизируем кнопку Мастер функций на панели инструментов Стандартная и в категории Solving выберем встроенную функцию lsolve (M, V);

Результаты решения заданной системы линейных алгебраических уравнений отображены на рис. ().

l

Рис. Пример решения системы  линейных уравнений

 

4. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простой итераций.

Порядок выполнения:

Введем  переменную ORIGIN = 1 для нумерации столбцов и строк матрицы с 1 (по умолчанию ORIGIN=0). Сформируем матрицы α и β эквивалентной системы х= β + αх.

Для описания i и j воспользуемся кнопкой на панели Калькулятор, для нижних индексов – кнопкой на панели Матрицы.

Определим  нормы матрицы α с помощью встроенных функций, используя кнопку на панели инструментов Стандартная.

Зададим начальное приближение, используя кнопку    на панели Матрицы.

Вычислим 10 последовательных приближений и погрешности каждого из них.

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями приведен ниже на рис ().

 

Рис. Пример решения системы линейных уравнений методом простой итерации

5. Решение системы линейных уравнений методом Зейделя.

Сформируем матрицы α и β преобразованной системы х= β + α1х+ α2х и матрицу α= α1+ α2.

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями по методу Зейделя приведен ниже на рис ().

 

Рис. Пример решения системы линейных уравнений методом Зейделя

 

Варианты  индивидуальных заданий

Решить систему линейных уравнений:

1. матричным методом;
2. методом Гаусса;
3. используя функцию lsolve;
4. методом простой итерации;
5. методом Зейделя.

 

№ В	Система линейных уравнений	№ В	Система линейных уравнений
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30