Решение систем алгебраических уравнений методом Крамера

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется  для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число  неизвестных переменных равно числу  уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера  находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого  перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

При изучении материала  Вам может быть полезна статья вычисление определителя матрицы, свойства определителя.

Навигация по странице.

• Метод Крамера - вывод формул.
• Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
• Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера - вывод формул.

Пусть нам требуется  решить систему линейных уравнений  вида 
 
где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные переменные, a_{i j} , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b₁, b₂, …, b_n - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x₁, x₂, …, x_n при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где   - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных,   - матрица – столбец свободных членов, а   - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, матрица   становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество  .

Будем считать, что  матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при  разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

1. Определитель квадратной матрицы   равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения: 
   
2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю: 
   

Итак, приступим  к нахождению неизвестной переменной x₁. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А_{1 1} , обе части второго уравнения – на А_{2 1} , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А_{n 1} (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А): 

Сложим все левые  части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений: 

Если обратиться к озвученным ранее свойствам  определителя, то имеем 
  
и предыдущее равенство примет вид 
  
откуда 

Аналогично находим x₂. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А: 

Складываем все  уравнения системы, группируем слагаемые  при неизвестных переменных x₁, x₂, …, x_n и применяем свойства определителя: 

Откуда 
.

Аналогично находятся  оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить 
 
  
 
то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера  .

Замечание.

Если система  линейных алгебраических уравнений  однородная, то есть  , то она имеет лишь тривиальное решение   (при  ). Действительно, при нулевых свободных членах все определители   будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы   дадут  .

К началу страницы

Алгоритм  решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

1. Вычисляем определитель основной матрицы системы   и убеждаемся, что он отличен от нуля.
2. Находим определители 
     
   которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.
3. Вычисляем искомые неизвестные переменные x₁, x₂, …, x_n по формулам  .
4. Выполняем проверку результатов, подставляя x₁, x₂, …, x_n в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.

К началу страницы

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Разберем решения  нескольких примеров.

Пример.

Найдите решение  неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера  .

Решение.

Основная матрица  системы имеет вид  . Вычислим ее определитель по формуле  : 

Так как определитель основной матрицы системы отличен  от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено  методом Крамера. Запишем определители   и  . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель  . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .

Вычисляем эти определители: 

Находим неизвестные  переменные x₁ и x₂ по формулам  : 

Выполним проверку. Подставим полученные значения x₁ и x₂ в исходную систему уравнений: 

Оба уравнения системы  обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

.

Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать  соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример.

Пример.

Найдите решение  системы линейных уравнений методом  Крамера  .

Решение.

Перепишем систему  в виде  , чтобы стало видно основную матрицу системы  . Найдем ее определитель по формуле 

Имеем 

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет  единственное решение. Найдем его методом  Крамера. Вычислим определители  : 

Таким образом, 

Ответ:

.

Обозначения неизвестных  переменных в уравнениях системы  могут отличаться от x₁, x₂, …, x_n. Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.

Пример.

Используя метод  Крамера, найдите решение системы  трех линейных алгебраических уравнений  с тремя неизвестными  .

Решение.

В данном примере  неизвестные переменные имеют другое обозначение (x, y и z вместоx₁, x₂ и x₃). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать  . Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как  . Теперь основную матрицу системы хорошо видно  . Вычислим ее определитель: 

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители   (обратите внимание на обозначения) и вычислим их: 

Осталось найти  неизвестные переменные по формулам  : 

Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу  на полученное решение   (при необходимости смотрите раздел операции над матрицами): 

В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение  найдено верно.

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3.

Пример.

Решите методом  Крамера систему линейных уравнений  , гдеa и b – некоторые действительные числа.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы: 

Определитель отличен  от нуля, следовательно, можно применить  метод Крамера. 

Находим неизвестные  переменные 

Рекомендуем проверить  полученные результаты.

Ответ:

.

Пример.

Найдите решение  системы уравнений   методом Крамера,   - некоторое действительное число.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы:  . Область значений выражения   есть интервал  , поэтому   при любых действительных значениях  . Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем   и  : 

Таким образом,  .

Выполним проверку: 

Уравнения системы  обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

.

Пример.

Решите систему  линейных алгебраических уравнений  методом Крамера  .

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы уравнений: 

Определитель основной матрицы равен нулю, следовательно, метод Крамера не подходит для  решения такой системы уравнений.

Пример.

Методом Крамера  найдите решение СЛАУ  .

Решение.

Эта система однородная, так как все свободные члены  равны нулю. Определитель основной матрицы отличен от нуля  , поэтому ее единственным решением является x₁ = 0, x₂ = 0. О таких СЛАУ мы уже упоминали вышев замечании.

Ответ:

x₁ = 0, x₂ = 0.

Пример.

Найдите решение  системы четырех линейных алгебраических уравнений   содержащую четыре неизвестных переменных.

Решение.

Сразу скажем, что  не будем подробно описывать вычисление определителей матриц, так как  это выходит за рамки данной статьи.

Вычислим определитель основной матрицы системы, разложив его по элементам второй строки: 

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому можно воспользоваться  методом Крамера для решения  системы.

Найдем  : 
  
аналогично вычисляются 

Таким образом, 

Ответ:

.

К началу страницы

Подведем  итог.

Метод Крамера позволяет  находить решение систем линейных алгебраических уравнений, если определитель основной матрицы отличен от нуля. По сути метод сводится к вычислению определителей  матриц порядка n на n и применению соответствующих формул для нахождения неизвестных переменных.

Если число уравнений  в системе велико (больше трех), то целесообразно искать решениеметодом Гаусса.