Решение различных типов задач по аналитической геометрии

ГОМЕЛЬСКИЙ  ФИЛИАЛ

УЧРЕЖДЕНИЕ  ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЦИИ ПРОФСОЮЗОВ БЕЛАРУСИ

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ТРУДОВЫХ И  СОЦИАЛЬНЫХ ОТНОШЕНИЙ 
 

                                                   СУРС 

По дисциплине:

«Высшая математика»

                                                                                  На тему 

«Решение различных типов задач по аналитической геометрии» 
 
 
 

Выполнила:                                                                                Авчинникова А. В.                                               ст.гр. 1073

Проверил:                                                                                   Косенок Н. С. 
 

   

Гомель 2010 
 
 
 

Содержание

1. Предмет аналитической  геометрии.

2. Метод координат.

3. Декартова и полярная системы координат.

4. Основные  виды уравнения прямой.

5. Угол между  прямыми.

6. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

7. Расстояние от точки до прямой.

8. Кривые  второго порядка: эллипс, парабола, гипербола.

     9.  Параметрическое и полярное представления линий 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                   Теоретические вопросы

Вопрос 1. Предмет аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия, созданная одновременно двумя французскими учеными —  Декартом (1596—1650) и Ферма (1601 — 1655) дает единообразные приемы решения геометрических задач и сводит решение широкого круга задач к немногим методически применяемым способам.

Для достижения этой цели все данные и искомые  точки и линии относят к  некоторой системе координат (принципиально  безразлично, как ее выбрать, но удачный выбор упрощает решение задачи). Выбрав систему координат, мы можем каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию — уравнением, графиком которого эта линия, является. Этим данная геометрическая задача сводится к алгебраической, а для решения алгебраических задач мы располагаем хорошо разработанными общими методами.

Вопрос 2. Метод координат.

Метод координат заключается в установлении соответствия между точками прямой (плоскости пространства) и их координатами действительными числами при помощи системы координат.

Прямоугольная система координат Оx,y на плоскости задается двумя взаимно-перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и единичны отрезок. Эти прямые называются осями координат, одну из них называют осью абсцисс и обозначают Оx, другую осью ординат и обозначают Оy.

Расстояние между  двумя точками  и на плоскости вычисляются по формуле:

            (1)

Координаты точек  делящей в заданном отношении λ отрезок АВ, где находятся по формулам:

                                              (2) 

В частности, когда  λ=1, т.е. точка М делит отрезок АВ пополам, имеет следующие формулы:

                                                      (3)

 Площадь треугольника  с вершинами  вычисляются по формуле:

   , где

            (4) 

Вопрос 3. Декартова и полярная системы координат.

Декартовая прямоугольная  система координат на плоскости называют совокупность двух взаимно перпендикулярных прямых этой плоскости, на каждой из которых выбрано положительное направление и единица масштаба. В заданной системе координат на плоскости, положение любой точки определяется с помощью пары чисел. Это даёт возможность описать геометрические объекты алгебраическими методами.

Вопрос 4. Основные виды уравнения прямой.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: y=kx+b, где

k – угловой коэффициент прямой (т.е. tgα, который образует прямая с положительным направлением оси

b – ордината точки пересечения прямой с осью

2. Общее уравнение прямой

, где

 постоянные коэффициенты, причём  А и B одновременно не равны 0.

Частные случаи этого уравнения:

(C=0) – прямая проходит через начало координат.

   (B=0) – прямая параллельна оси

    (A=0) – прямая параллельна оси

 

3. Уравнения прямой в отрезках

a и b – длины отрезков, отсекаемых прямой на осях

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

K = tgα

 координаты данной точки. 

Уравнение также  называют уравнением пучка прямых.

      Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ,  
      где (

Вопрос  5. Угол между прямыми.

Угловой коэффициент  прямой, проходящий через две данные точки определяется по формуле:

Под углом между  прямыми в плоскости понимают наименьший (острый) из двух смежных  углов, образованный этими прямыми. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: y = y = то угол между ними определяется по формуле: tg

Вопрос 6. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Условие перпендикулярности прямых

       Условие их параллельности:

        Для нахождения общих точек прямых необходимо решить систему уравнений:

       

Вопрос 7. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние (d) от точки называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

        Расстояние d  определяется по формуле:

        d =

Вопрос 8. Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола.

Линии определяемые алгебраическими уравнениями второй степени относительно переменных x и y, т.е. уравнение вида называется кривыми второго порядка. Причем .                                                    1. Эллипс

Эллипсам называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых  до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, величина постоянная большая чем расстояние между фокусами.

Каноническое  уравнение эллипса:

                           (2), где а – большая полуось, b – малая полуось эллипса.

Координаты фокусов  , где с – половина расстояния между фокусами.

Числа a, b, c связаны соотношением .

Точки А, В, С, D называются вершинами эллипса, точка О – центром эллипса.

Расстояние  и от произвольной точки М эллипса до его фокусов называется фокальными радиусами этой точки.

Эксцентриситетом  эллипса ( ) называется отношение фокусного расстояния 2с (расстояние между фокусами) к большой оси 2а, т.е.   ( <1, т.к. с<a).

Директрисами  эллипса называются  прямые и параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии .

2. Парабола

        Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки этой же плоскости, называемой фокусом и заданной прямой, называемой директрисой.

        Каноническое уравнение параболы: , где

        число p , равное расстоянию от фокуса F до директрисы , называется      параметром параболы.

Координаты фокуса: F ( , точка называется вершиной  параболы. Длина r отрезка FM – фокальный радиус точки М. Ось ось симметрии параболы. Уравнение директрисы параболы . Фокальный радиус r вычисляется по формуле:

3. Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний, под каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами.

        Каноническое уравнение гиперболы:

, где 

а – действительная полуось

b – мнимая полуось гиперболы

Координаты фокусов: .

Точки a, b, c связаны соотношением .

Точки А и  В называют вершинами гиперболы, точка О – центром гиперболы.

Число т.к. называется эксцентриситетом гиперболы.

Вопрос  9. Параметрическое и полярное представления линий 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                           ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 

Даны вершины  , , треугольника ABC. Требуется найти:

1. длины сторон АC и BC;
2. уравнения прямых на которых лежат стороны АC и BC;
3. уравнение прямой, на которой лежит высота, проведенная из точки A;
4. длину этой высоты;
5. уравнение прямой, на которой лежит медиана, проведенная из точки A;
6. длину этой медианы;
7. уравнение прямой, на которой лежит биссектриса угла С, проведенная из точки A;
8. угол В
9. площадь треугольника;

Сделать чертеж.

      Решение

Пункт 1.

Пункт 2.

Пункт 3.

Пункт 4.