Решение нелинейных уравнений средствами системы Maple

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………       3

 

1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ………………………..      5

 

2 ОСНОВНЫЕ ВОЖМОЖНОСТИ СИСТЕМЫ  MAPLE

 

2.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ…………………………………………..      8

2.2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ………………………………      9

 

3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

3.1 РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ…………………     10

3.2 РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ 

      УРАВНЕНИЙ……………………………………………………...        12

3.3 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ

      УРАВНЕНИЙ………………………………………………………       15

3.4 РЕШЕНИЕ ФУНКЦИАНАЛЬНЫХ 

      УРАВНЕНИЙ……………………………………………………......     17

 

4 СИМВОЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ  НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

4.1 РЕШЕНИЕ ФУНКЦИАНАЛЬНЫХ И  РЕКУРЕНТНЫХ 

      УРАВНЕНИЙ………………………………………………………       18

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………       20

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………….    21

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Системы компьютерной математики (СКМ) класса Maple были созданы корпорацией Waterloo Maple, Inc. (Канада) как системы компьютерной алгебры с расширенными возможностями в области символьных (аналитических) вычислений. Новейшая версия Maple 8 позиционируется как универсальная система компьютерной математики, рассчитанная на широкого пользователя. Система содержит средства для выполнения быстрых численных расчетов, лежащих в основе математического моделирования различных явлений окружающего нас мира, систем и устройств различного назначения.

Цель данной курсовой работы –  изучение литературы по теме “Решение нелинейных уравнений средствами системы Maple” и изучение области применения.

В качестве задачи поставленной передо мной руководителем, является решение нелинейных уравнений средствами системы Maple.

Заслуженной популярностью системы  Maple (всех версий) пользуются в системах образования многих стран мира. Свыше 300 самых крупных университетов мира (включая и наш МГУ) взяли эту систему на вооружение и используют ее в научных и учебных расчетах. А число только зарегистрированных пользователей системы уже давно превысило миллион.

Maple — типичная интегрированная система. Она объединяет в себе:

• мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);
• редактор для подготовки и редактирования документов и программ;
• современный  многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;
• мощную справочную систему со многими тысячами примеров;
• ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений;
• численный и символьный процессоры;
• систему диагностики;
• библиотеки встроенных и дополнительных функций;
• пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых других языков программирования и программ.

Ко всем этим средствам имеется  полный доступ прямо из окна программы. Система Maple прошла долгий путь развития и апробации. Она реализована на больших ЭВМ, рабочих станциях Sun, ПК, работающих с операционной системой Unix, ПК класса IBM PC, Macintosh и др. Все это самым положительным образом повлияло на ее отработку и надежность (в смысле высокой вероятности правильности решений и отсутствия сбоев в работе). Не случайно ядро системы Maple используется целым рядом других мощных систем компьютерной математики, например системами класса Mathcad и MATLAB.

Системы компьютерной математики в  образовании — они становятся не только удобным инструментальным средством для выполнения огромного числа учебных расчетов, но и средством предоставления учащимся, а нередко и педагогам, знаний в области математики, физики и иных наук, использующих математические методы. Это позволяет отнести такие системы к интеллектуальным компьютерным системам представления знаний и к экспертным системам в области математических расчетов. Трудно переоценить и их роль в подготовке высококачественных электронных уроков, учебных курсов и книг, имеющих великолепные (в том числе анимационные) средства визуализации вычислений и «живые» примеры, которые учащиеся могут перекраивать, как говорится, на свой «вкус и цвет».

 

 

 

1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ

В системе Maple имеется несколько способов представления функции.

Способ 1.Определение функции с помощью оператора присваивания (:=): какому-то выражению присваивается имя, например:

> f:=sin(x)+cos(x);

Если задать конкретное значение х ,то получится значение функции f для этого х .Например, если продолжить предыдущий пример и вычислить значение f при х= /4,то следует записать:

> x:=Pi/4;

> f;

После выполнения этих команд переменная x имеет заданное конкретное значение /4.

 Чтобы насовсем  не присваивать переменной конкретного  значения, удобнее использовать  команду подстановки subs({x1=a1, x2=a2,…,},f), где в фигурных скобках указываются переменные хi и их новые значения аi (i=1,2,…), которые следует подставить в функцию f . Например:

> f:=x*exp(-t);

> subs({x=2,t=1},f);

Все вычисления в Maple по умолчанию производятся символьно, то есть результат будет содержать в явном виде иррациональные константы, такие как, е,p и другие. Чтобы получить приближенное значение в виде числа с плавающей запятой, следует использовать команду evalf (expr,t), где expr –выражение в числах после запятой. Например, в продолжение  предыдущего примера, вычислим полученное значение функции приближенно:

 > evalf(%);

Здесь использован символ (%) для  вызова предыдущей команды.

Так же имеется  возможность переходить в функции  к полярным координатам, после ее определения.

 Способ 2. Определение функции с помощью функционального оператора, который ставит в соответствие набору переменных (x1,x2,…)  одно или несколько выражений (f1,f2,…). Например, определение функции двух переменных с помощью функционального  оператора выглядит следующим образом:

> f:=(x,y)->sin(x+y);

 

_{Обращение к этой функции осуществляется наиболее привычным  способом, когда в  скобках вместо аргументов функции указываются  конкретные значения переменных. В продолжение  предыдущего примера вычисляется значение функции:}

 > f(Pi/2,0);

 _{Способ 3.С  помощью команды  unapply (expr,x1,x2,…),где  expr- выражение, x1,x2,…-набор  переменных, от которых  оно зависит, можно  преобразовать выражение  expr в функциональный  оператор. Например:}

> f:=unapply(x^2+y^2,x,y);

> f(-7,5);

_{В Maple имеется возможность определения неэлементарных функций вида посредством команды piecewise(cond_1,f1, cond_2,f2,…) .}

_{Например, функция     записывается следующим образом:}

 > piecewise(x<0,0,0<=x and x<1,x,x>=1,sin(x));

 

А функция f(x)= записывается так:

 

> f:=piecewise(x<-1,x,-1<=x and x<1,-x^2,x>=1,-x);

 

2 ОСНОВНЫЕ  ВОЗМОЖНОСТИ СИСТЕМЫ MAPLE  ПРИ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

_{Maple –это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики. Работа в Maple проходит в режиме сессии- пользователь вводит предложения (команды, выражения, процедуры), которые воспринимаются условно и обрабатываются Maple.}

 

 

_{2.1 Решение уравнений}

 

Для решения уравнений в Maple существует универсальная команда solve(eq,x),где eg - уравнение, х – переменная, относительно которой уравнение надо разрешить. В результате выполнения этой команды в строке вывода появиться выражение, которое является решением данного уравнения. Например :

> solve(a*x-b=c,x);

Если уравнение имеет несколько решений, которые могут понадобятся для дальнейших расчетов, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name.Обращение к какому-либо k-ому решению данного уравнения производится  указанием его имени name с номером решения k в квадратных скобках:name[k].Например:

> x:=solve(x^2=a,x);

> x[1];

> x[2];

> x[2];

> x[1]+x[2];

 

 

 

2.2 Решение  систем уравнений

 

 Cистемы уравнений решаются с помощью такой же команды solve({eg1,eg2,…},{x1,x2,…}),только теперь в параметрах команды следует указать в первых фигурных скобках через запятую уравнения ,а во вторых фигурных скобках перечисляются через запятую переменные , относительно которых требуется решить систему. Если будет необходимо для дальнейших вычислений использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name.Затем выполняется команда присвоения assign(name).После этого над решениями можно будет производить математические операции.     Например, решим следующую систему:

> s:=solve ({a*x-y=1,5*x+a*y=1},{x,y});

> assign(s);simplify(x-y);

_{Приведем еще  один пример решения  системы уравнений. содержащей три переменные:}

  > s:=solve({65*x-2*y+z=98,54*x-y+3*z=38,z+6*x+y=0},{x,y,z});

_{Найдем сумму  полученных решений:}

> s[1]+s[2]+s[3];

 

 

 

 

_{3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ}

 

_{Нелинейное уравнение  в общем виде записывается следующим образом: F(X) = 0. Нелинейные уравнения могут быть двух видов:}

_{1.Алгебраические: anxⁿ+an-1x^n-1+…+a0=0}

_{2.Трансцендентные  – это уравнения,  в которых  x является аргументом тригонометрической, логарифмической или показательной функции.}

_{Значение  x0, при котором существует равенство f(x0)=0 называется корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти этот корень.}

 

_{3.1 Решение алгебраических  уравнений}

 

_{Для численного решения уравнений используется специальная команда fsolve ( eg ,x ), где eg-уравнение, а x-переменная, относительно которой это уравнение надо разрешить.}

_{Рассмотрим такой  пример: численно решить уравнение 23x⁵+105x⁴-10x²+17x=0  на отрезке [-1;1].}

_{Заранее присвоим нашему уравнению имя poly :}

• poly := 23*x^5 + 105*x^4 – 10*x^2 + 17*x:

fsolve( poly, x, -1..1 );

• fsolve( poly, x, maxsols=3 );

_{Решим еще одно уравнение, найдя  его корни на отрезках [1;2] и [4;8] .}

_{3x⁴-16x³-3x²+13x+16=0}

• q := 3*x^4 – 16*x^3 – 3*x^2 + 13*x + 16:

fsolve(q, x, 1..2);

• fsolve(q, x, 2..5);

fsolve(q, x, 4..8);

_{Так же можно  найти решение  этого уравнения  на множестве комплексных  чисел, используя  дополнительный параметр complex:}

> fsolve(q, x, complex);

 

_{3.1 Решение алгебраических  уравнений}

 

_{Для численного решения уравнений  используется специальная  команда fsolve ( eg ,x ), где eg-уравнение, а x-переменная, относительно которой это уравнение надо разрешить.}

_{Рассмотрим такой  пример: численно решить уравнение 23x⁵+105x⁴-10x²+17x=0  на отрезке [-1;1].}

_{Заранее присвоим нашему уравнению  имя poly :}

• poly := 23*x^5 + 105*x^4 – 10*x^2 + 17*x:

fsolve( poly, x, -1..1 );

• fsolve( poly, x, maxsols=3 );

_{Решим еще одно уравнение, найдя  его корни на отрезках [1;2] и [4;8] .}

_{3x⁴-16x³-3x²+13x+16=0}

• q := 3*x^4 – 16*x^3 – 3*x^2 + 13*x + 16:

fsolve(q, x, 1..2);

• fsolve(q, x, 2..5);

fsolve(q, x, 4..8);

_{Так же можно  найти решение  этого уравнения  на множестве комплексных  чисел, используя  дополнительный параметр complex:}

> fsolve(q, x, complex);

 

 

_{3.2 Решение трансцендентных уравнений.}

Для решения данной группы уравнений  применяется универсальная команда fsolve.При решении уравнений можно осуществлять упрощение выражений посредством команды simplify(eg).

> eg:=(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x)):

> simplify(eg);

Приведение подобных членов в выражении  осуществляется командой collect(exp,var), где exp – выражение, var – имя переменной, относительно которой следует собирать подобные. В команде simplify в качестве параметров можно указать, какие выражения преобразовывать. Например, при указании simplify(eq,trig) будет производиться упрощение при использовании большого числа тригонометрических соотношений.

С помощью команды convert(exp, param), где exp – выражение, которое будет преобразовано в указанный тип param. В частности, можно преобразовать выражение, содержащее sinx и cosx, в выражение, содержащее только tgx, если указать в качестве параметра tan, или, наоборот, tgx, ctgx можно перевести в sinx и сosx, если в параметрах указать sincos.