Реализация модифицированного симплекс-метода

Содержание

 

1. Линейное программирование

1.2 История возникновения транспортной задачи и лин6ейного программирования

1.3 Основные понятия линейного программирования

2. Теоремы линейного программирования

3. Методы нахождения начального опорного решения транспортных задач линейного программирования

3.1 Метод северо-западного угла

3.2 Метод минимальной стоимости 

3.3 Метод потенциала

3.4 Метод Фогеля

5. Решение транспортной задачи методом Фогеля

6. Решение задачи в  электронных таблицах

7. Решение транспортной задачи на программе Pascal

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Развитие современных  экономических, производственных и  других систем невозможно без эффективного управления, обеспечивающего их переход  из одного качественного состояния  в другое, в соответствии с определенными  целями и задачами. Процесс управления всеми звеньями системы предусматривает  необходимость выработки наилучших (оптимальных) управленческих решений. Подавляющее количество проблем  и задач, по которым руководителю приходится принимать решения, являются прогнозного или планового характера. Поэтому для выработки наиболее эффективных решений лицам, ответственным  за подготовку и принятие решений, необходимо стремиться к наиболее полному привлечению  информации о многочисленных факторах, влияющих не только на процесс принятия решения, но и на ход и исход  его выполнения. При современных  масштабах производства даже незначительные ошибки оборачиваются громадными потерями. В связи с этим возникла необходимость  применять для анализа и синтеза  экономических ситуаций и систем математические методы и современную  вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием  – математическое программирование.

Математическое программирование в применении к анализу и управлению экономикой представляет собой теорию эффективного использования ресурсов. Она применяется для определения  оптимальных планов, решения проблемы наилучшего сочетания желаемого и возможного.

Линейное программирование – это область математического  программирования,  оно является одним из основных научных направлений  в области оптимальной деятельности при ограниченных ресурсах, его методы активно используются в прогнозных расчетах, планировании и организации  производственных процессов, а также  в финансовой сфере. Актуальность темы данной курсовой работы заключается в том, что изучение решения задач линейного программирования позволит приобрести необходимые навыки, которые понадобятся для профессиональной деятельности и успешной работы.

Целью транспортной задачи является обеспечение получения (доставки) продукции (товара) потребителю в нужное время и место при минимально возможных совокупных затратах трудовых, материальных, финансовых ресурсов.

Цель транспортной деятельности считается достигнутой при выполнении шести условий:

нужный товар;

необходимого качества;

в необходимом количестве доставлен;

в нужное время;

в нужное место;

с минимальными затратами.

Объектом изучения являются материальные и соответствующие им финансовые, информационные потоки, сопровождающие производственно-коммерческую деятельность.

В данной курсовой работе будут  рассмотрены понятие транспортной задачи, ее типы, различные методы решения. Решена задача по варианту 6.2 с помощью ТЗprog  и приложена компьютерная программа по решению задачи данного типа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Линейное программирование 

 

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать.

Действительно, путь необходимо исследовать на экстремум линейную функцию : Z = С

₁х₁+С₂х₂+... +С_Nx_N

при линейных ограничениях

a₁₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_1NХ_N = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2NХ_N = b₂

. . . . . . . . . . . . . . .

a_М1x₁ + a_М2x₂ + ... + a_МNХ_N = b_М

Так как Z - линейная функция, то    = С_j (j = 1, 2, ..., n), то все

коэффициенты линейной функции  не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют.

Они могут быть на границе  области, но исследовать точки границы  невозможно, поскольку частные производные являются константами.

Для решения задач  линейного  программирования потребовалось создание

специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей

между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.

 

 

 

1.2 История возникновения  транспортной задачи и лин6ейного  программирования

 

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая  ограниченными средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь  была бы менее интересной, если бы это  было не так. Не трудно выиграть сражение, имея армию в 10 раз большую, чем  у противника. Чтобы достичь наибольшего  эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу  действий. Раньше план в таких случаях  составлялся “на глазок” (теперь, впрочем, зачастую тоже). В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать “по  науке”. Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Слово “программирование” здесь  и в аналогичных терминах (“линейное  программирование, динамическое программирование”  и т.п.) обязано отчасти историческому  недоразумению, отчасти неточному  переводу с английского. По-русски лучше  было бы употребить слово “планирование”. С программированием для ЭВМ  математическое программирование имеет  лишь то общее, что большинство возникающих  на практике задач математического  программирования слишком громоздки  для ручного счета, решить их можно  только с помощью ЭВМ, предварительно составив программу. Временем рождения линейного программирования принято  считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича  Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”. Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.

Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение  линейным программированием, вызвавшее  в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т.Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за “вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике”.

В автобиографии, представленной в Нобелевский комитет, Леонид Витальевич Канторович рассказывает о событиях, случившихся в 1939 году. К нему, 26-летнему  профессору-математику, обратились за консультацией сотрудники лаборатории  планерного треста, которым нужно  было решить задачу о наиболее выгодном распределении материала между  станками. Эта задача сводилась к  нахождению максимума линейной функции, заданной на многограннике. Максимум такой  функции достигался в вершине, однако число вершин в этой задаче достигало  миллиарда. Поэтому простой перебор  вершин не годился. Леонид Витальевич писал: “оказалось, что эта задача не является случайной. Я обнаружил  большое число разнообразных  по содержанию задач, имеющих аналогичный  математический характер: наилучшее  использование посевных площадей, выбор  загрузки оборудования, рациональный раскрой материала, распределение  транспортных грузопотоков… Это настойчиво побудило меня к поиску эффективного метода их решения”. И уже летом 1939 года была сдана в набор книга Л.В.Канторовича “Математические методы организации и планирования производства”, в которой закладывались основания того, что ныне называется математической экономикой.

Однако идеи Л.В.Канторовича не встретили понимания в момент их зарождения, были объявлены ересью, и его работа была прервана. Концепции Леонида Витальевича вскоре после войны были переоткрыты на западе. Американский экономист Т.Купманс в течение многих лет привлекал внимание математиков к ряду задач, связанных с военной тематикой. Он активно способствовал тому, чтобы был организован математический коллектив для разработки этих проблем. В итоге было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик  А.Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течение пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.

Примерно в это время  Купманс узнал, что еще до войны в далекой России уже было сделано нечто похожее на разработку начал линейного программирования. Как легко было бы Данцигу и Купмансу проигнорировать эту информацию! Маленькая книжица, изданная ничтожным тиражом, обращенная даже не к экономистам, а к организаторам производства, с минимумом математики, без четко описанных алгоритмов, без доказательств теорем – словом, стоит ли принимать такую книжку во внимание… Но Купманс настаивает на переводе и издании на западе книги Канторовича. Его имя и идеи становятся известны всем. Воздадим должное благородству американского ученого!

А самому Леониду Витальевичу  – как естественно было бы ему, испытав первые грозные удары  ретроградов, остеречься от “грехов” молодости, забыть про всю эту  экономику и вернуться к математике. Но Л.В.Канторович продолжает писать математические работы, навеянные экономическими идеями, участвует и в конкретных разработках на производстве. При этом (одновременно с Данцигом, но, не зная его работ) он разрабатывает метод, позже названный симплекс-методом. Как только в 50-е годы образуется маленький просвет, и кое-что из запретного становится возможным, он организует группу студентов на экономическом факультете ЛГУ для обучения методам оптимального планирования. А, начиная с 1960 года, Леонид Витальевич занимается только экономической и связанной с нею математической проблемами. Его вклад в этой области был отмечен Ленинской премией в 1965 году (присуждена ему совместно с В.С.Немчиновым и В.В.Новожиловым) и, как уже говорилось, Нобелевской премией в 1975 году.

 

 

 

 

1.3 Основные понятия линейного  программирования 

 

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений  в виде линейных уравнений или  линейных неравенств относятся к  задачам линейного программирования.

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического  программирования. Это объясняется  следующим:

• математические модели очень большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;
• эти типы задач в настоящее время наиболее изучены;
• для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на ЭВМ;
• многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;
• некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Итак, Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие  ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего  или наименьшего значения некоторой  функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений.

Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями  производства. Задачей линейного  программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).