Разработка модели и решение задачи линейного программирования

Варианты раскроя							Таблица 1.3.
ширина рулона	варианты раскроя						заказанное кол-во рулонов
	1	2	3	4	5	6
0,5	0	2	2	4	1	0	150
0,7	1	1	0	0	2	0	200
0,9	1	0	1	0	0	2	300
Отходы  (м)	0,4	0,3	0,1	0	0,1	0,2

 

Обозначим переменные:

х₁ – количество рулонов раскроенных первым способом

х₂ – количество рулонов раскроенных вторым способом

х₃ – количество рулонов раскроенных третьим способом

х₄ – количество рулонов раскроенных четвертым способом

х₅ – количество рулонов раскроенных пятым способом

х₆ – количество рулонов раскроенных шестым способом

Целью нашей  задачи будет минимизация отходов. Целевая функция будет рассчитываться как:

О = 0,4* х₁ + 0,3* х₂ + 0,1* х₃ + 0,1* х₅ + 0,2* х₆ → min

Поскольку при  раскрое рулона четвертым способом отходы не образуются, то значение величины х₄ не будет влиять на целевую функцию. Исходя из имеющихся заказов, пропишем ограничения:

2*х₂ + 2*х₃ + 4*х₄ + х₅ ≥ 150

х₁ + х₂ +2* х₅ ≥ 200

х₁ + х₃ +2* х₆  ≥ 300

 

 

1.5 Транспортная задача

 

 

Транспортная  задача заключается в отыскании оптимального плана перевозок с минимальными транспортными расходами, она бывает открытая и закрытая. В открытой задаче количество продукции, находящейся на складе, больше (либо меньше) количества, требующегося потребителям. В закрытой задаче количество продукции, находящейся на складе, равно количеству, требующемуся потребителям.

Пример закрытой транспортной задачи.

 На товарных станциях  А ₁ и А ₂ имеется по 30 комплектов мебели. Известно, что перевозка одного комплекта со станции С₁ в магазины М₁, М₂, М₃ стоит 1р., 3р., 5р., а стоимость перевозки со станции С₁ в те же магазины – 2р., 5р., 4р. необходимо доставить в каждый магазин по 20 комплектов мебели. Составить план перевозок так, чтобы затраты на транспортировку мебели были наименьшими.

Количество комплектов мебели, перевозимых  со станции А₁ в магазины М₁, М₂, М₃ обозначим через х₁₁, х₁₂, х₁₃, а со станции А ₂ – через х₂₁, х₂₂, х₂₃. Тогда схема перевозок буде выглядеть следующим образом (см. таблицу 1.4.):

           Схема перевозок                                                                    Таблица 1.4.

	в М1	в М2	в М3	Всего отправлено
Из А1	х11	х12	х13	30
Из А 2	х21	х22	х23	30
Всего получено	20	20	20	60

 

Целевая функция (стоимость перевозок) будет находиться:

С = х₁₁ + 3 х₁₂ + 5 х₁₃ + 2 х₂₁ + 5 х₂₂ + 4 х₂₃

Ограничения:

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ = 30

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ = 30

х₁₁ + х₂₁ = 20

х₁₂ + х₂₂ = 20

х₁₃ + х₂₃ = 20

 

2. ЗАДАЧА О СОСТАВЛЕНИИ ГРАФИКА РАБОТЫ ПЕРСОНАЛА.
1. Разработка экономико-математической модели.

 

Очень важно  правильно организовать работу предприятия  для получения качественной продукции  с минимальными затратами. Для этого  необходимо подобрать оптимальный  график работы персонала.

Рассмотрим  пример: Открывается новый филиал супермаркета. Необходимо рассчитать численность кассиров и подобрать оптимальные графики их работы. Количество покупателей зависит от времени суток и отличается по дням недели. Магазин работает с 8-00 до 24-00 ч. Известно количество касс, необходимое для эффективного обслуживания покупателей, данные сведены в таблицу (таб. 2.1.).

Потребность в  кассирах таблица 2.1.

Часы работы	8-12	12-16	16-20	20-24
пн	3	5	8	3
вт	3	5	8	3
ср	3	5	8	3
чт	3	5	8	3
пт	3	5	8	5
сб	3	8	5	5
вс	3	8	5	3

 

По условиям задачи кассир получает заработную плату 40 у.е. в день, из расчета 8-ми часовой рабочей смены.

Для решения  данной задачи определяем цель – минимизировать расходы на оплату труда кассиров. Значит, целевая функция будет вычисляться как сумма произведений числа кассиров в каждую смену на заработную плату. Переменными решения (х₁, х₂, х₃, … х₂₈) будет количество персонала, работающего в четырехчасовой отрезок времени. Ограничения:

х₁ : х₂₈ ≥0, целые числа

Чтобы обеспечить наиболее комфортную для покупателей атмосферу, количество кассиров должно быть больше или равно данным, приведенным в таблице 2.1.

 

2.2. Решение поставленной  задачи с помощью программы EXCEL

 

Вначале создаем  форму для ввода условий задачи (см. рис.1)

Рисунок 1. Форма для ввода условий

В нашей задаче оптимальные решения будут помещены в ячейках АD3: АD23. Оптимальное значение целевой функции поместим в ячейку В27.

Затем вводим исходные данные в форму. В ячейки В26:АС26 переносим  данные из таблицы 2.1. Составляем 21 вариант графиков работы. Причем цифра 1 – будет обозначать работу, а 0 – отдых. (см. рис.2)

Рисунок 2. Ввод исходных данных

 

Введем формулу  расчета количества персонала в ячейку В24:

=СУММПРОИЗВ(B3:B23;$AD3:$AD23)

Затем копируем эту формулу на диапазон ячеек  С24:АС24. (см. рис.3)

 

Рисунок 3. Ввод формулы расчета количества персонала

Поскольку мы разделили  каждый день недели на 4 отрезка времени, равных 4 часам, а зарплата кассира  в смену ( 8 часов) составляет 40 у.е., то половинка смены будет стоить 20 у.е. Сумма в диапазоне B24:AC24 будет равняться количеству отработанных всеми работниками половинок смен. Соответственно целевая функция будет представлять собой недельный фонд оплаты труда всего персонала.

В ячейку В27 вводим формулу расчета целевой функции:

 =СУММ(B24:AC24)*20

Далее запуск Поиска решения.

Устанавливаем целевую ячейку (вводим адрес ячейки целевой функции В27). Направление целевой функции «минимальному значению».

Вводим адреса искомых переменных - АD3: АD23

Далее – ограничения:

АD3: АD23 – целые, АD3: АD23 ≥ 0

Поскольку число  кассиров не должно быть меньше числу, заданному условиями задачи, в соответствующий отрезок времени, то вводим ограничение:   В24:АС24 ≥ В26:АС26 (см. рис. 4)

 

Рисунок 4. Ввод условий для поиска решений

Нажимаем «Выполнить», а затем «сохранить найденное  решение».

В итоге компьютер  подобрал 11 графиков работы, вычислил оптимальное количество работников (16 человек), а так же рассчитал  недельный фонд оплаты труда (3200 у.е.). (см. рис.5)

 

Рисунок 5. Итоговая таблица

 

2.3. Анализ результатов  расчетов и выработка управленческого решения.

 

Одним из важных этапов решения задач оптимизации  является анализ полученных данных с  последующей выработкой управленческого  решения. Поскольку компьютер может лишь рассчитать и предложить оптимальные варианты решения, но именно принятие решения целиком и полностью лежит на человеке, а точнее руководителе.

По условиям задачи недельный фонд оплаты труда, исходя из потребности в кассирах, должен быть:

Требуемый ФОТ = СУММ(B26:AC26)*20 у.е .= 2740 у.е.

То есть, по результатам решения нашей задачи, перерасход ФОТ составит 460 у.е. Сравнивая данные полученные компьютером и потребность гипермаркета в кассирах по условиям задачи, видно, что в понедельник 1 кассир будет не загружен работой целую смену с 8-00 до 16-00. А в остальные дни недели некоторые работники будут загружены не полностью. Соответственно гипермаркет понесет лишние затраты, связанные с оплатой труда в момент простоя.

С целью минимизации  расходов на оплату труда, кого-то из сотрудников можно привлекать на неполный рабочий день, либо предоставлять дополнительный выходной день (например, в понедельник). Так же можно предложить использование совмещения профессий. То есть в момент полной загрузки работник выполняет функции кассира, а во время вынужденного перерыва функции (например) фасовщика.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В процессе выполнения курсовой работы, мною изучены задачи линейного программировании, методы оптимальных решений. Так же мною получены практические навыки составления и решения задач линейного программирования на примере составления графика работы кассиров в гипермаркете, используя программу EXCEL (надстройку «Поиск решений»).

Актуальность  задач линейного программирования в настоящее время сомнений, как правило, ни у кого не вызывает, так как проблема оптимального планирования и организации производства, является важнейшей составляющей поиска скрытых ресурсов предприятия, помогает снизить затраты, повысить производительность труда и прибыль предприятия.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Глухов В. В., Медников М.  Д., Коробко С. Б.  Математические методы и модели для менеджмента. 2-е изд., испр. и доп. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 528 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература).

2. Зайцев М.Г.  Методы оптимизации управления  для менеджеров. – М: Дело, 2002.

3. Н.Ш. Кремер, Б А Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под рея- проф. НЖ Кремера. Исследование операций в экономике – М: ЮНИТИ, 2002. - 407 с.