Распределения ресурсов между предприятиями

Если модели линейного  программирования можно использовать в экономике для принятия крупномасштабных плановых решений в сложных ситуациях, то модели ДП применяются при решении задач значительно меньшего масштаба, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении дефицитных капитальных вложений между возможными новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т. п.

В реально функционирующих  больших экономических системах еженедельно требуется принимать  микроэкономические решения. Модели ДП ценны тем, что позволяют на основе стандартного подхода с использованием при минимальном вмешательстве человека принимать такие решения. И если каждое взятое в отдельности такое решение малосущественно, то в совокупности эти решения могут оказать большое влияние на прибыль.

Рассматривается управляемый процесс, например, экономический процесс распределения средств между предприятиями, использования ресурсов в течение ряда лет, замены оборудования, пополнения запасов и т. п. В результате управления система (объект управления) S переводится из начального состояния (So) в конечное состояние^). Предположим, что управление можно разбить на п шагов, т.е. решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее систему S из начального состояния в конечное, представляет собой

■

совокупность п пошаговых управлений: So —>■ Si —> S2 —>• ...■—> S_n.i —» S_n

 

На каждом шаге применяется  некоторое управленческое решение xfe, при этом множество х-{х_{,х₂,...,х_п) называется управлением. Таким образом, задача оптимального управления имеет следующую структурную схему:

Предположим, что

1-е Задача принятия  оптимального решения может быть  интерпретирована как n-шаговый процесс управления.

2-е Показатель эффективности  всего процесса управления является  аддитивной (суммарной) функцией  показателей эффективности каждого шага.

3-е   Состояние  Sk зависит только от состояния  Sk-i  и управления Хь

Sk (Sk-i, Xk)

4-е   Выбор   управления   на   k-ом   шаге   зависит   только   от   состояния системы к этому шагу Xk (Sk-i)

5-е На каждом шаге  управления Xk зависит от конечного числа управляющих переменных. Состояние системы на каждом шаге зависит от конечного числа параметров.

Принцип оптимальности  Беллмана.

Принцип оптимальности  впервые был сформулирован Р. Беллманом в 1953 году: «Каково бы ни было состояние S системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный». Беллманом были четко сформулированы и условия, при которых принцип верен.

 

Основное требование — процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать  влияния на предшествующие шаги.

Принцип оптимальности  утверждает, что для любого процесса без обратной связи оптимальное управление таково, что оно является оптимальным для любого подпроцесса по отношению к исходному состоянию этого подпроцесса. Поэтому решение на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом. Если изобразить геометрически оптимальную траекторию в виде ломаной линии, то любая часть этой ломаной будет являться оптимальной траекторией относительно начала и конца.

X*n=x’1

S*n       S’1

Для каждого состояния  системы на ближайшем шаге нужно выбрать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к наивысшим показателям эффективности всего процесса управления.

Т.е. на каждом шаге управление должно быть наилучшим с точки  зрения     управления в-целом.

Соотношение Беллмана (конкурентное соотношение)

Обратная схема Беллмана

Z n(Sn-1) max fn(Sn-2<xn)

Zn-1(Sn-2)=max xn-1 fg-1(Sg-2,xn)+Z*n(Sn-1)

…

Zk(Sk-1)=max xk(fk(Sk-1,xk)+Z*k-1(Sk), k=n-1.1

В результате будет найдено:

 

Z1                          Z2                       Z3                         …                        Zn-1                                 Zn*

                 X1*                        x2*                 …                        xn-2*                                    xn-1*                    xn*

Прямая схема Беллмана

Z1(S0)=max x1 f1(S0,x1)

Z2(S1)max x2 f2(s1?x2)+Z1*(S0)

Zk(Sk-1)=max Xk(fk(Sk-1,xk)+Z*k-1(Sk-2),k=2,n

 

В результате будет написано:

Zn*                          Zn-1*                       Zn-2*                         …                        Z2*                                 Z1*

                 Xn*                        xn-1*                 …                        x3*                                     x2*                    x1*

 

4. Решение задачи распределения ресурсов

Решение задачи распределения  ресурсов было произведено по прямой схеме .     Белмана. В следующих таблицах представлены полученные значения:

таблица 1 В данной  таблице представлены  значения  прибыли (F;(Q)),которые     были     получены     путем     решения     в     MathCAD  производственно-экономической задачи каждого инвестируемого предприятия. Эти значения изменяются в зависимости от объемов  вложенных инвестиции.

таблица 2 В данной таблице представлены данные  о дополнительном   доходе, которое предприятие-инвестор получит от каждого  инвестируемого предприятия в зависимости от объема вложенных  инвестиций.

таблица 3 В данной таблице рассчитаны показатели эффективности (Zi(QJ инвестируемых предприятий, которые были получены с помощы прямой схемы Беллмана.

Данные значения рассчитаны для каждого предприятия:

1. ОАО «Вамин Татарстан» - Fi(Q), pi(Q), Z^Q);
2. ОАО «Пищекомбинат» - F₂(Q), p₂(Q), Z₂(Q);
3. мебельная фабрика ООО «МебельСтиль» - F₃(Q), p3(Q), Z₃(Q);
4. ООО «Завод строительных конструкций»- F₄(Q), p4(Q), Z₄(Q);
5. ОАО "Радуга" - F₅(Q), p₅(Q), Z₅(Q).

 

 

		■\		таблица 1
средства		Прибыль от проектов
Q	F1(Q)	F2(Q)                  F3(Q)		F4(Q)	F5(Q)
0	1 330,430	30 607,400	29 522,865	19 790,100	3 794,112
200000	82 011,782	134 682,596	536 954,807	138 521,427	106 864,117
400000	117 685,701	215 607,795	809 057,811	223 274,790	184 225,048
600 000	149 847,217	296 531,331	1 081 160,815	308 028,153	261 585,980
800 000	172 070,525	377 454,867	1 353 263,820	379 405,502	333 998,978
1 000 000	194 293,834	444 842,283	1 625 366,824	442 237,360	405 672,702
				таблица 2
средства		Дополнительный доход от проектов
Q	P1Q)	P2(Q)	P3(Q)	P4(Q)	P5(Q)
0	0	0	0	0	0
200 000	70 681,352	104075,196	507 431,942	118 731,327	103 070,005
400 000	25 673,919	80925,199	272 103,004	84 753,363	77 360,931
600 000	22 161,516	80 923,536	272 103,004	84 753,363	77 360,932
800 000	12 223,308	80 923,536	272 103,005	71 377,349	72 412,998
1 000 000	12 223,309	67 387,416	272 103,004	62 831,858	71 673,724
				таблица 3
средства		:■«.:,.-:		ги проектов
Q	Z1(Q)	Z2(Q)	Z3(Q)	Z4(Q)	Z5(Q)
0	0	0	0	0	0
200 000	80 681,352	104 075,196	507 431,942	507 431,942	507 431,942
400 000	35 673,919	184 756,548	611 611,138 669 038,493	626 163,269	626 163,269
600 000	32 161,516	161 606,551	692188,490	730 238,465	730 238,465
800 000	22 223,308	161 604,888	669038,493	810919,817	833 308,470

Рассмотрим нахождение каждого из показателей эффективности: Для показателей эффективности  одного предприятия [Zi(Q)] Zi(0) = pi(0) = 0

 

Z1(200’000) = p1(200'000)= 70 681,352

Z1(400'000) = p1(400'000)= 25 673,919

Z1(600'000) = p1(600'000)= 22 161,516

Z1(800'000) = p1(800'000)= 12 223,308

Z1(l 'OOO'OOO) = p1(l'000'000)= 12 223,309

Для показателей эффективности  двух предприятия [Z2(Q)]

. Z₂(0)=p₂(0)=0 ■

Z₂(200'000)= max{0 + 70 681,352; 104 075.196 + 0)=94 075,196

Z₂(400'000)= max{0 + 25 673,919; 94 075.196 + 80 681.352; 80 925,199 + 0}= 94 756,548

Z₂(600'000)=max{0 + 22 161,516; 94 075.196 +35 673.919 ; 80 925.199 +80 681.352; 80 923.536 + 01= 132 606.551

Z₂(800'000)= max{0 + 12 223,308; 104 075,196 + 32 161,516; 80 925,199 + 35 673,919; 80 923.536 + 80 681.352: 80 923,536 + 0}= 133 604,888

Z₂(l'000'000)=max{0 + 12 223,309; 104 075,196 + 22 223,308; 80 925,199 +

32 161,516; 80 923,536 + 35 673,919; 80 923.536 + 80 681.352; 67 387,416 + 0}= 133 604,888

       Для показателей эффективности  трех предприятия [Z₃(Q)]

Z₃(0)= p₃(0)= 0

     Z₃(200'000)= max (0 + 104 075.196; 507 431.942 + 0>= 507 431.942

Z₃(400'000)= max {0 + 184 756,548; 507 431.942 + 104 075.196; 272 103,004 + \ 0}= 611 507,138

    Z₃(600'000)= max {0 + 161 606.551; 507 431.942 + 184 756.548; 272 103,004 +

104 075,196; 272 103,004 + 0}= 692 188,490 Z₃(800'000)= max {0 + 161 604.888:507 431.942 + 161 606.551; 272 103,004 + ;. j  184 756,548; 272 103,004 + 104 075,196; 272 103,005 + 0}= 669 038,493

Z_?(l "000'000)= max {0+161 604,888; 507 431,942 + 161 604,888; 272 103,004 - 161 606,551; 272 103,004 + 184 756,548; 272 103,005 + 104 075,196; 272 103,004 + 0}=669 036,830

Для показателей эффективности четырех предприятия [Z4(Q)]

Z₄(0)=p₄(0)=0

Z₄(200'000)= max 10 + 507 431.942; 118 731,327 + 0}= 507 431,942

Z₄(400'000)= max {0 + 611 607,138; 118 731.327 + 507 431,942; 84 753,363 +

0}= 626 163,269

■ i

Z₄(600'000)= max {0 + 692 188,490; 118 731.327 + 611 507,138; 84 753,363 +    * 507 431,942; 84 753,363 + 0}= 730 238,465

Z₄(800'000)= max {0 + 669 038,493; 118 731.327 + 692 188.490; 84 753,363 + 
611 507,138; 84 753,363 + 507 431,942; 71 377,349 + 0}= 810 919,817 ft

Z₄(l '000'000)= max {0 + 669 036,830; 118 731.327 + 669 038,493; 84 753,363 
 + 692 188,490; 84 753,363 + 611 507,138; 71 377,349 + 507 431,942; 62 831,858 + 0}= 787 769,820

Для показателей эффективности пяти предприятия [Zs(Q)] Z₅(0)=p₅(0)=0

Z₅(200'000)= max 10 + 507 431,942; 103 070,005 + 0}= 507 431,942

Z₅(400'000)= max 10 + 626 163,269; 103 070,005 + 507 431,942; 77 360,931 + ;-;   0}= 626 163,269

Z₅(600'000)= max (0 + 730 238,465; 103 070,005 + 626 163,269; 77 360,931 +

507 431,942; 77 360,932 + 0}= 730 238,765

Z₅(800'000)= max {0 + 810 919,817; 103 070,005 + 730 238,465; 77 360,931 + 626 163,269; 77 360,932 + 507 431,942; 72 412,998 + 0}= 833 308,470

Z₅(l '000^?000)= max {0 + 787 769,820; 103 070.005 + 810 919.817; 77 360,931 + 730 238,465; 77 360,932+ 626 163,269; 72 412,998+507 431,942; 71 673,724 + •>    ,       0}= 913 989,822

- 

 После   получения   последнего   показателя   эффективности   [Zs(l 000 000)]

можно получить решение  задачи: 

Z₅(1'000'000)= 103 070,005 + 810 919,817 =913 989,822       Qi = 200 000 p.

Z₄(800'000)= 118 731,327+ 692 188,490 = 810 919,817 Q₂ = 200 000p.     |

Z₃(600'000)= 507 431,942 + 184 756,548 = 692 188,490 Q₃ = 200 000 p.

■   *

Z₂(400'000)= 104 075,196+ 80 681,352 = 184 756,548    Q₄ = 200 000p.

Z^OO'OOO) = p!(200'000)= 80 681,352 Q₅ = 200 000

       

. Вывод: 

 

Для    получения    максимальной    прибыли    предприятием-    инвестором выделенные ресурсы (денежные средства в размере 800 000 рублей) должны      

быть    распределены     следующим     образом    -    каждому    инвестируемому  

предприятию следует выделить по 150 000 рублей. При этом максимальный объединенный показатель эффективности будет равен 720 989,822 рублей.

 

Заключение ;   -

Решение   задачи  распределения  ресурсов   между   пятью  предприятиями •    , 
(ОАО «Булгарпиво», ОАО «Мясокомбинат», мебельная фабрика «Яна», Комбинат

Строительных   Материалов,   ОАО   «Либерти»)   было   произведено   методами \   ..

линейного и динамического  программирования. г-

Метод линейного программирования позволил найти оптимальные планы 
производства продукции и значения прибыли каждого предприятия в зависимости * »

от объема вьщеленных инвестором денежных средств. Также  этим методом были 
найдены   значения   прибыли,   которую   получит   каждое   из   инвестируемых

предприятий без выделения  инвестором дополнительных ресурсов (денежных      

средств): ОАО «Вамин Татарстан» - 9 540,23 рублей; ОАО «Пищекомбинат» - 42 500,15 рублей; мебельная фабрика ООО «МебельСтиль», - 25 369,15 рублей; ООО «Завод строительных конструкций», - 10 963,36 рублей; ОАО «Радуга» - 2 195,30 рублей.

Метод       динамического       программирования       позволил      определить оптимальный   план   распределения  ресурсов   между  предприятиями,   который

обеспечит    предприятию-инвестору    максимальную     совокупную     прибыль.

Оптимальный план распределения  ресурсов предполагает, что каждое предприятие должно получить от инвестора определенное количество. ;.; дополнительных средств:

л

' » • * i

I. 150 000 рублей - ОАО «Вамин Татарстан»;

_Г¹

2. 150 000рублей - ОАО «Пищекомбинат»; ,',::,

3. 150 000 рублей - мебельная фабрика ООО «МебельСтиль»; ';

.   ■••:'

4. 150 000 рублей - ООО «Завод строительных конструкций»;

 

5.150 000 рублей – ОАО  «РАДУГА»;  ' :'-  ' ч 5. 200 000 рублей - ОАО «Либерти».

Данный оптимальный  план предполагает, что максимальный объединенный ,

показатель эффективности (совокупная прибыль  от пяти предприятий) будет      равен 756 365,574 рублей.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Учебное пособие «ЭММиМ». Под редакцией: Н.П.Кондракова. Издательство ИНФРА-М, Москва 2009 год.
2. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. 430 с.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1986. 534 с.
4. Каллихман И.Л., Войтенко М.А. Динамическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1979. 124 с.
5. Химмельблау Д.М. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534с.