Расчет металлического анкера в железобетонной конструкции

Федеральное агентство по образованию 
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

РАСЧЕТ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО АНКЕРА В ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ КОНСТРУКЦИИ

Автор курсовой работы 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение

Напряжённое состояние  металлических шпонок, гибких упоров, анкеров и т. п., в соединениях  железобетонных конструкций описываются ДУ технической теории изгиба стержней, находящихся в упругой среде, т. е. уравнениями изгиба балок, лежащих на винклеровском основании.

Проблема расчёта металлических  анкеров стоит довольно давно, одним  из первых учёных, который занялся  разрешением этой проблемы, был немецкий инженер Эмиль Винклер, работавший в Лейпцигском университете. Он занимался изучением поведения грунтовых оснований, в последствии он построил свою модель среды с коэффициентом постели (коэффициентом упругости основания), которую впервые применил в 1867г. в задаче об изгибе рельсового пути, лежащего на грунтовом основании.

Основное допущение  этой модели отражается пропорциональной зависимостью между осадкой основания грунта и реакцией основания (давлением, возникающим в области контакта). Взаимодействие стержней, балок на упругом основании Винклера, хорошо изучено, но оно не учитывает старение материала основания. Поэтому в настоящей работе рассматривается задача о расчёте металлического анкера с учётом старения материала основания.

Применяя интегральное преобразование с экспонециально-тригонометрическими  ядрами к ДУ изгиба балок на основании  Винклера с учётом ползучести, задача сведена к ДУ первого порядка  по времени, относительно трансформанты  перемещения.

Построено решение полученного ОДУ и затем с помощью обратного интегрального преобразования, получено решение исходной задачи.

 

1. Расчёт металлического анкера в железобетонной конструкции

Напряжённое состояние металлических  шпонок, гибких упоров, анкеров и  т. п., в соединениях железобетонных конструкций описываются ДУ технической теории изгиба стержней, находящихся в упругой среде, т. е. уравнениями изгиба балок, лежащих на винклеровском основании.

1. Постановка задачи

Напряжённое состояние  металлических шпонок, гибких упоров, анкеров и т. п., в соединениях железобетонных конструкций описываются ДУ технической теории изгиба стержней, находящихся в упругой среде, т. е. уравнениями изгиба балок, лежащих на винклеровском основании.

Рассмотрим задачу о  нагружении постоянной сосредоточенной силой и моментом достаточно длинного анкера, моделируемого полубесконечной балкой в винклеровской среде, с учётом деформаций ползучести [1]

Рисунок 1

ДУ имеет вид

 

 (1.1)

 

Здесь q(x) – внешняя распределённая нагрузка, не зависящая от времени;

p(x,t) – реактивное давление среды (реакция основания, контактное напряжение) ;

u(x,t) – прогиб стержня;

E – модуль Юнга, ;

J – момент инерции, .

Зависимость между давлением p(x,t) (контактным напряжением) и перемещениями основания с учётом ползучести по линейной теории старения [2] имеет вид

 

  (1.2)

 

где k – коэффициент упругости среды, ;

- характеристика ползучести  среды, равная отношению деформации  ползучести к упругим деформациям.

Продифференцируем (1.2) по времени

 

  (1.3)

 

Умножим соотношение (1.3) на , получим

 

 (1.4)

 

Очевидно, формула (1.4) равносильна формуле

 

  (1.5)

 

Проинтегрируем теперь выражение (1.5), найдём

 

  (1.6)

 

или

 

  (1.7)

 

Предположим, что q(x)=0.

Учитывая условие в области контакта стержня и основания, u(x,t)= и подставляя (1.7) в (1.1) имеем

 

 

Перепишем это уравнение  в виде

 

 

Продифференцируем полученное соотношение по

 

 

Последнее уравнение  можно преобразовать к виду

 

 

Сократим на , получим

 

  (1.8)

 

Краевые условия задачи при нагружении анкера моментом и силой имеют вид

 

  (1.9)

 (1.10)

2. Построение решения

Обозначим через  прогиб балки в начальный момент t=0, , когда деформации ползучести ещё не проявились, т.е. Тогда решение задачи (1.8) – (1.10) можно представить в виде

 

  (1.11)

где - прогиб анкера, вызванный только ползучестью основания, а функция удовлетворяет уравнению

 

. (1.11а)

 

Подставим (1.11) в (1.8), получим ДУ относительно функции

 

 

Учитывая, что 

 

 

Перепишем последнее  уравнение в виде

 

. (1.12)

 

При этом функция  будет уже удовлетворять однородным краевым условиям:

 

, (1.12а)

а функция  условиям

 

  (1.12б)

 

Перейдём к безразмерным параметрам

 

, , .

 

Уравнение (1.12) преобразуется к виду

 

 

или

 

 

Граничные условия (1.12а) в безразмерном виде. В дальнейшем для удобства символ ” ” опускаем.

 

  (1.13)

 

Для решения уравнения (1.13) воспользуемся интегральным преобразованием вида

 

  (1.14)

 

с ядром

 

 

Обратное преобразование

 

 

Для преобразования уравнения (1.13) вычислим интеграл

 

.

.

 

Учитывая нулевые краевые  условия, найдём

 

,

,

,

В итоге получим

 

. (1.15)

 

Умножим уравнение (1.13) на и проинтегрируем обе части уравнения по параметру от до .

Тогда с учётом формулы (1.14) получим уравнение

 

 

Представим это выражение в виде

 

,

 

Сгруппируем слагаемые, найдём

 

. (1.16)

 

или

 

. (1.17)

 

Здесь – трансформанта функции ,

 – трансформанта функции .

Построим решение уравнения (1.17).

Вначале строим решение однородного уравнения

 

,

. (1.18)

 

Далее ищем частное решение  неоднородного уравнения (1.17) в виде

 

. (1.19)

 

Подставляя это решение  в (1.17) найдём неизвестную константу A

 

, отсюда находим  .

 

Следовательно,

 

.

 

Общим решением уравнения (1.17) является сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

 

 

Как уже отмечалось, начальным условием является

 

.

 

Это условие в трансформантах имеет вид

 

.

 

Кроме того, в начальный момент времени ползучесть среды предполагается равной нулю ( ).

Тогда используя эти условия, получим

 

.

 

Окончательно, решением уравнения (1.17) является

 

.

 

Определив функцию  , по формуле обращения находим

 

.   (1.20)

 

Формула описывает прогиб анкера, вызванный ползучестью основания.

3. Построение решения вспомогательной задачи

Функцию определим, решив ДУ (1.11ф) с граничными условиями (1.12б)

 

  (1.21)

 

где

 – коэффициент постели для основания Винклера.

Граничные условия в  общем случае

 

  (1.22)

 

Как и ранее, нам в дальнейшем потребуется интеграл

 

.

.

 

С учётом краевых условий (1.22) для общей задачи, получим

 

. (1.23)

4. Частный случай. Нагружение конца анкера сосредоточенной силой

Предположим, что анкер нагружен только силой  , а момент .

Перепишем (1.21) в виде

 

. (1.24)

 

Граничные условия задачи

 

 (1.25)

 

В безразмерных параметрах (1.21) имеет вид

 

, (1.26)

 

и граничные условия (1.25)

 

 

или

 

, 

, 

 

где

 

Далее для удобства символ “ ” опускаем.

Аналогично предыдущему, применяя к уравнению (1.26) интегральное преобразование (1.14), учитывая формулу (1.23), в которой следует положить , получим

 

.

 

Отсюда находим

 

. (1.27)

 

Подставим (1.27) в (1.19) и получим

 

  (1.28)

 

Воспользовавшись формулой (1.11) и переходя к размерным параметрам, окончательное решение задачи получим в виде

 

 

2. Уравнение изгиба тонкой балки, опирающейся по своей  длине на непрерывное упругое  основание модели Винклера

Нагрузки, действующие  на промышленные и гражданские сооружения, через фундаменты передаются на грунтовое основание. При проектировании сооружения возникает необходимость определения напряжений по площади контакта фундамента и основания, которые используются как для расчета грунтового основания, так и для расчета фундамента.

Иногда фундамент имеет  вид балки, опирающейся по своей  длине на грунт. Решение задачи об изгибе тонкой балки в общем случае переменной высоты , лежащей на грунтовом основании, на которую действует некоторая заданная на балку внешняя приведенная к оси балки нагрузка , где – ширина балки (рис. 1).

Рисунок 2

При действии нагрузки система  «Балка-основание» деформируется. Неразрывность  вертикальных и горизонтальных перемещений площади контакта в каждой точке с координатами приводит к возникновению нормальных и касательных напряжений.

Обычно при расчете  тонких балок влиянием касательных напряжений на изгибные деформации и нормальные напряжения в балке пренебрегают. Это равносильно допущению не учета неразрывности перемещений точек контактной плоскости в горизонтальном направлении.

Иными словами, при нормальной к оси балки, лежащей на упругом основании, нагрузке при изгибе балки предполагается свободное (без трения) проскальзывание балки по плоскости контакта с основанием.

При таком допущении  по площади контакта балки возникают  только нормальные напряжения . При небольшой ширине балки эти напряжения при одинаковой координате считаются постоянными по ширине и приводятся к оси балки в виде реактивного удельного усилия (рис. 1).